高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)-集合與抽屜原理

1、第一講集合與簡易邏輯解 (AB)C= ，AC= 且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)04k24bk+10, 即 b214x2+(22k)x+(5+2b)=0BC= ,2=(1k)24(52b)0k22k+8b190從而8b20,即 b2.5 由及bN,得b=2代入由10和20知，方程只有負(fù)根，不符合要求; 當(dāng)m1時，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1內(nèi)，從而方程至少有一個根在區(qū)間0，2內(nèi) 故所求m的取值范圍是m1 例4設(shè)AXX=a2+b2,a、bZ，X1，X2A，求證：X1X2A。 證明：設(shè)X1a

2、2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、dZ,則X1X2(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、dZ，故ac+bd、bc-adZ，從而X1X2A例5已知集合MX，XY，lg(xy)，S0，X，Y，且MS，則(X )(X2 )(X2002 )的值等于 _.解：由MS知，兩集合元素完全相同。這樣，M中必有一個元素為0，又由對數(shù)的性質(zhì)知，0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，所以XY0，故X，Y均不為零，所以只能有l(wèi)g(XY)0，從而XY1.MX，1，0，S0，X， .再由兩集合相等知

3、當(dāng)X1時，M1,1，0，S0,1，1，這與同一個集合中元素的互異性矛盾，故X1不滿足題目要求；當(dāng)X1時，M1,1，0，S0,1，1，MS，從而X1滿足題目要求，此時Y1，于是X2K1 2 (K0,1，2，)，X2K 2 (K1,2，),故所求代數(shù)式的值為0. 例6一個集合含有10個互不相同的兩位數(shù)。試證，這個集合必有2個無公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。 解：已知集合含有10個不同的兩位數(shù)，因它含有10個元素，故必有2101024個子集，其中非空子集有1023個，每一個子集內(nèi)各數(shù)之和都不超過909198999451023，根據(jù)抽屜原理，一定存在2個不同的子集，其元素之和相等。如此2個子集無公共元素，即交集為空集，則已符合題目要求；如果這2個子集有公共元素，則劃去它們的公共元素即共有的數(shù)字，可得兩個無公共元素的非空子集，其所含各數(shù)之和相等。例7設(shè)A1,2，3，n，對X A，設(shè)X中各元素之和為Nx，求Nx的總和 . 解：A中共有n個元素，其子集共有2n個。A中每一個元素在其非空子集中都出現(xiàn)了2n-1次，(為什么？因為A的所有子集對其中任一個元素i都可分為兩類，一類是不含i的，它們也都是1,2，i-1,i+1,n的子集，共2n-1個；另一類是含i的，只要把i加入到剛才的2n-1個子集中的每一個中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的總和時，A中每一個元