專題02 直線與橢圓方程（教師版）-【高考總復(fù)習(xí)】2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之解析幾何篇

1、專題02 直線與圓錐曲線方程【突破滿分數(shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：第一步：代入消元，聯(lián)立 化簡：第二步：計算判別式；可直接利用結(jié)論：（范圍、最值問題）第三步：根與系數(shù)關(guān)系表達式； ，第四步：利用 ，計算第五步：利用，計算 第六步：利用，計算弦中點第七步：利用,計算弦長和的面積進而計算原點到直線的距離第八步:利用,，計算第九步：利用,計算 【考點精選例題精析】：例1.（2021江西高安中學(xué)高二期中（理）直線被橢圓截得最長的弦為（ ）ABCD【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程和橢圓方程，解方程可得兩根，運用弦長公式，結(jié)合配方法，以及二次函數(shù)的最值求法，可得答案【詳解】解：聯(lián)立直線和橢圓，可得，解得或，

2、則弦長，令，則，當(dāng)，即，取得最大值，故選：B例2（2021江西南昌十中高二月考（文）已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）AB或C且D且【答案】C【分析】由直線，可得直線恒過定點，轉(zhuǎn)化為只需點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，直線，可得直線恒過定點，要使得直線與橢圓恒有公共點，只需點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，可得，即實數(shù)的取值范圍為且.故選：C.例3（2021全國高三其他模擬（文）已知為橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點.若，則實數(shù)的值為_.【答案】【分析】依題意聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點坐標，即可得到，再根據(jù)，則，即可得到方程，解得即可；【詳解】解

3、：依題意聯(lián)立直線與橢圓方程，消去并整理得，解得或，不妨取，則，所以，又，所以，因為，所以，即，即所以，解得故答案為：例4（2020江蘇高二專題練習(xí)）若直線與橢圓無公共點，則的取值范圍為_.【答案】【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)求解出的取值范圍.【詳解】解析：由得，整理得，所以，解得或，即，故答案為：.【點睛】方法點睛：直線與橢圓的交點個數(shù)判斷方法：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)與的大小關(guān)系判斷直線與橢圓的交點個數(shù)：當(dāng)時，有兩個交點；當(dāng)時，有一個交點；當(dāng)時，沒有交點.例5（2020安徽省宣城市第三中學(xué)高二月考（文）若曲線C：和直線l：只有一個公共點

4、，那么k的值為（ ）A或B或C或D或【答案】D【分析】將直線方程與曲線的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，然后根據(jù)求解出的值.【詳解】聯(lián)立直線與曲線的方程，所以，所以，所以，所以，故選：D.【點睛】思路點睛：直線與橢圓方程聯(lián)立，可通過所得的一元二次方程的與的大小關(guān)系判斷直線與橢圓的交點個數(shù)：當(dāng)時，直線與橢圓有兩個交點；當(dāng)時，直線與橢圓有一個交點；當(dāng)時，直線與橢圓沒有交點.例6（2021全國高三專題練習(xí)（文）已知是橢圓外一點，經(jīng)過點的光線被軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】B【分析】由題知反射光線經(jīng)過點，設(shè)反射光線方程為：，代入橢圓方程，消后

5、得，則，化簡得，討論此方程有唯一解，即可得值，從而算出離心率.【詳解】由題知反射光線經(jīng)過點，設(shè)反射光線方程為：，代入橢圓方程，消后得，則，化簡得，當(dāng)即時，此方程有唯一解，所以，則離心率為；當(dāng)時，則，所以此方程有兩個不同的解，不滿足題意，故舍去.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是能夠分類討論方程有唯一解的情況. 例7（2020安徽省淮北市高三一模（理）已知橢圓過點離心率為.（1）求的方程；（2）如圖，若菱形內(nèi)接于橢圓，求菱形面積的最小值.【答案】（1）；（2）4【解析】（1）由題意得又解得，.所以的方程為 （2）當(dāng)與軸或軸重合時，可求菱形的面積為；當(dāng)為時，為，由得，所以由弦長公式得，同理可得所以菱

6、形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.菱形面積的最小值為4。例8（2020安徽六安市立人中學(xué)高二期末（文）已知橢圓過點（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點交于兩點，求直線的方程【答案】（1）；（2）.【分析】（1）運用代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到一個一元二次方程，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】解析：（1）由題意可得，橢圓的方程為（2）當(dāng)直線斜率不存在時，由橢圓的方程可知：橢圓的右焦點坐標為：，所以直線方程為：，代入橢圓方程中，得，不妨設(shè)，不合題意；設(shè)直線，由得：，即解得，直線的方程為例9

7、（2021上海市松江二中高二月考）已知曲線，直線與曲線交于A，D兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C.記OAD的面積S1，四邊形ABCD的面積為.（1）當(dāng)點B坐標為時，求k的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意得出點的橫坐標為，代入曲線求出點的縱坐標；把點的坐標代入直線方程即可求出.（2）由題意可求出的取值范圍；把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及弦長公式可求，從而求出；利用直角梯形的面積公式可求；由的范圍，即可求出的最小值.【詳解】（1）當(dāng)點B坐標為時，點的橫坐標為 ，把代入曲線得，即，又因為點在直線上，所以，即.所以k的值為.（2）由，得，當(dāng)直線過

8、橢圓的左右頂點時， 因為直線與曲線有兩個交點，所以，即，設(shè)，則，所以，又原點到直線的距離為，所以，又因為，所以，因為，所以，所以的最小值為.例10（2021安徽華星學(xué)校高二期中（理）已知橢圓的焦距為4，過焦點且垂直于軸的弦長為（）求橢圓的方程；（）過橢圓右焦點的直線交橢圓于點，設(shè)橢圓的左焦點為，求的取值范圍【答案】（）；（）【分析】（）根據(jù)題意運用橢圓的定義進行求解即可；（）根據(jù)直線是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】解：()橢圓的焦距是，所以焦點坐標是，由題可得，橢圓過點，橢圓的方程是()由題易得，左焦點右焦點坐標為若直線垂直

9、于軸，則點若直線不垂直于軸，可設(shè)的方程為設(shè)點將直線的方程代入橢圓的方程得到則.，的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)直線是否存在斜率分類討論，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 【達標檢測】：1（2020河北高三其他模擬（文）已知直線與橢圓交于點，與軸交于點，若，則實數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】C【分析】設(shè)，的坐標，由題意可得的坐標，再由向量的關(guān)系求出，的坐標的關(guān)系，將直線與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與，的坐標聯(lián)立求出的值.【詳解】解：設(shè)，由題意可得，聯(lián)立，整理可得：，因為，則，可得，將其代入可得，可得，將，代入可得：，解得：，即，故選：C.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要

10、注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題2（2019象州縣中學(xué)高二月考（文）直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】求得直線恒過定點，由題意可得在橢圓內(nèi)或橢圓上，注意，可得所求范圍【詳解】解：直線恒過定點，焦點在軸上的橢圓，可得，由直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，可得在橢圓上或橢圓內(nèi)，即有，解得，由可得故選：C3（2021保定市第二中學(xué)高二期末）過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，設(shè)O為坐標原點，

11、則等于（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意求出直線的方程，設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，再計算的值即可.【詳解】由可得，可得，即，所以左焦點，且直線斜率為，所以直線的方程為，設(shè)，由 可得，可得，所以，故選：C.4（2021河南高二月考（理）已知橢圓上存在兩個不同的點，關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點坐標代入直線，列出方程，并利用判別式求出實數(shù)的取值范圍【詳解】依題意，設(shè)直線的方程是，代入橢圓方程化簡得，設(shè)，的中點是，則，解得，又，所以，.因為的中點在直線上，所以，所以，所以，

12、解得.故選：D.5（2020安順經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)大洋實驗學(xué)校高二期中（文）如圖，已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點，設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍（ ）A-1，1BCD(-1，0)【答案】B【分析】欲求點橫坐標的取值范圍，從函數(shù)思想的角度考慮，先將其表示成某一變量的函數(shù)，后求函數(shù)的值域，這里取直線的斜率為自變量，通過解方程組求得點橫坐標（用表示），再求其取值范圍【詳解】解：設(shè)直線的方程為，代入，整理得直線過橢圓的左焦點，方程有兩個不等實根記，中點，則，的垂直平分線的方程為令，得，點橫坐標的取值范圍為故選：B【點睛】本小

13、題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常是先聯(lián)立組成方程組，消去（或，得到（或的方程我們在研究圓錐曲線時，經(jīng)常涉及到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究主要涉及到：交點問題、弦長問題、弦中點（中點弦）等問題，常用的方法：聯(lián)立方程組，借助于判別式，數(shù)形結(jié)合法等6（2019福建南平市高二月考（文）經(jīng)過橢圓的一個焦點作傾斜角為45的直線，交橢圓于兩點設(shè)為坐標原點，則等于（ ）ABC或D【答案】B【分析】由方程可求橢圓的焦點為，先不妨設(shè)所作直線過右焦點，于是得到直線方程為與橢圓方程聯(lián)立后可求得點的坐標，然后由可得所

14、求【詳解】由 ，得 ，焦點為 設(shè)直線過右焦點，傾斜角為 ，直線的方程為 代入得 即 設(shè) 則 同理當(dāng)直線過左焦點時，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立韋達定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是方程聯(lián)立由韋達定理得到再由數(shù)量積得出，將韋達定理代入即可，屬于基礎(chǔ)題.7（2020江西南昌十中高二月考（理）直線與橢圓總有公共點，則的取值范圍是（ ）AB或C或D且【答案】D【分析】求出直線恒過的定點，根據(jù)題意，該定點必在橢圓內(nèi)或橢圓上，根據(jù)點與橢圓的位置關(guān)系，代入點的坐標，即可求得結(jié)果.【詳解】由于直線ykx1恒過定點(0，1)，且直線ykx1與橢圓總有公共點，所以點(0

15、，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則且m5，解得m1且m5.故選：D.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于直線恒過的點在橢圓上或橢圓的內(nèi)部，屬于中檔題.8（2021四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二月考（文）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（ ）A相交B相切C相離D相切或相交【答案】C【分析】將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，解方程組，由解的個數(shù)即可判斷直線與橢圓的位置關(guān)系【詳解】解：由，得，化簡得，因為，所以方程無解，所以直線與橢圓的位置關(guān)系是相離，故選：C9（2020河南高二月考（理）直線與橢圓的位置關(guān)系為（ ）A相交B相切C相離D不確定【答案】A【分析】求得直線恒過的定點，判斷定點與橢圓的位置關(guān)

16、系，由此可得直線與橢圓的位置關(guān)系.【詳解】直線可化為，所以直線恒過點，又，即在橢圓的內(nèi)部，直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.10（2020金華市曙光學(xué)校高二月考）無論k為何值，直線和曲線交點情況滿足（ ）A沒有公共點B一個公共點C兩個公共點D有公共點【答案】D【分析】分析直線所過的定點，然后根據(jù)定點與橢圓的關(guān)系確定出直線與橢圓的關(guān)系.【詳解】因為過定點，且橢圓的上頂點也為，所以當(dāng)直線的斜率為時，此時直線與橢圓相切，僅有一個公共點，當(dāng)直線的斜率不為零時，此時直線與橢圓有兩個交點，所以無法確定直線與橢圓的公共點是一個還是兩個，故選：D.【點睛】本題考查分析直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及直線過定點問

17、題，對學(xué)生的分析能力要求較高，難度一般.11（2020黑龍江哈師大附中高二月考（理）已知斜率為的直線過橢圓的下焦點，交橢圓于兩點，為坐標原點，則的面積是（ ）ABCD【答案】D【分析】求出直線方程，代入橢圓方程，求得交點的坐標，然后求解OAB的面積.【詳解】橢圓的下焦點坐標為 ,斜率為1的直線過橢圓的下焦點，可得直線方程為，代入橢圓方程可得，或，的面積：，故選：D【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形的面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.12（2020江蘇姜堰中學(xué)高二月考）如圖，過，斜率為的直線交橢圓于兩點，為點關(guān)于軸的對稱點，直線交軸于點，則_【答案】8【分析】寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立解

18、得坐標，得坐標設(shè)，由三點共線求得得結(jié)論【詳解】由題意直線方程為，由，解得或，即，所以，設(shè)，則，所以故答案為：813（2021深州長江中學(xué)）已知橢圓：()的離心率為，直線：與橢圓交于，兩點，若直線，的斜率之和為4，其中為坐標原點，則橢圓的方程為_.【答案】【分析】設(shè)，由、的斜率之和為4，得到，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，再代入，即可求出，最后根據(jù)離心率及求出，即可得解；【詳解】解：設(shè)，則，因為， 即，所以聯(lián)立直線與橢圓方程消去得，所以，所以，解得因為離心率且即，解得，所以橢圓方程為故答案為：14（2021浦東新上海師大附中高三月考）如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線P

19、A、PB，斜率分別為、，若為定值，則_【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立切線與橢圓的方程，由結(jié)合韋達定理表示出，根據(jù)為定值，找出比例關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點，則，設(shè)過點的切線方程為，其中，聯(lián)立 ，得，由得，又因，所以，化簡得，故，又因為定值，所以，即.故答案為：.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值15（2021峨山彝族自治縣第一中學(xué)（理）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線與橢圓交于，兩點，且的重心恰為點，則直線斜率為_.【答案】【分析】由右焦點的坐標及a、b、

20、c的關(guān)系求出m的值即可寫出橢圓的方程，設(shè)直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出兩根之和，進而求出弦MN的中點的坐標，由F為的重心可得，將點的坐標代入可得直線MN的斜率.【詳解】由橢圓的右焦點為知，則，設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，將直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立，整理可得，所以，所以MN的中點，因為F為的重心，所以，即，所以，即，兩式相比可得.故答案為：【點睛】直線與橢圓的綜合問題：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助求根公式，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊

21、情況；（3）弦長問題，利用根與系數(shù)的關(guān)系，弦長公式求解；（4）中點弦或弦的中點，一般利用點差法求解，注意判斷直線與方程是否相交；（5）與向量結(jié)合的問題，通常利用向量的坐標運算即可.16（2020全國）若直線與橢圓有且只有一個交點，則斜率的值是_.【答案】【分析】由方程聯(lián)立可得，根據(jù)條件有，從而可得答案.【詳解】已知直線與橢圓有且只有一個交點，由消去并整理，得，由題意知，解得：.故答案為： 17（2021合肥百花中學(xué)高二期末（理）已知焦點在x軸上的橢圓C的長軸長為，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左，右焦點分別為，點P在C上，且位于第一象限，的面積為1，求點P的坐標【答案】（1

22、）；（2）.【分析】（1）由離心率求出，然后可得，從而得橢圓標準方程；（2）由三角形面積求出點縱坐標后再得橫坐標【詳解】解：（1）由得，所以，所以橢圓的標準方程為（2）設(shè)，因為點P在C上，且位于第一象限，所以，由（1）得，且，得，所以，故 因為，解得所以點的坐標.18（2021江西南昌市高三開學(xué)考試（理）己知橢圓，分別為橢圓的左右焦點，O為坐標原點，P為橢圓上任意一點.（1）若，求的面積；（2）斜率為1的直線與橢圓相交于A，B兩點，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由橢圓的定義求出，由勾股定理判斷出，即可求出的面積；（2）直線斜率為1，設(shè)直線方程，用“設(shè)而不求法”表示出，由

23、，求出，均滿足，即可得到直線方程.【詳解】（1）由題意，解得，又，所以，即，所以；（2）直線斜率為1，設(shè)直線方程，由，消元得，得又，知，即而所以，得，均滿足，所以直線的方程或.19（2022廣西柳州市高三開學(xué)考試（文）已知動點P到點的距離與到點的距離之和為，若點P形成的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過作直線l與曲線C分別交于兩點M，N，當(dāng)最大時，求的面積.【答案】【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義可得動點P的軌跡是以為焦點的橢圓，求出a、b的值即可得出結(jié)果.(2)對直線l的斜率分類討論，若斜率不存在，直接求出和的值；若斜率不存在，設(shè)直線方程和點M、N坐標，聯(lián)立方程組并消元得到一元二次方程

24、，根據(jù)韋達定理表示出，進而表示出，化簡求值即可得出結(jié)果.【詳解】(1)動點P到兩定點的距離之和為，所以，則動點P的軌跡是以為焦點的橢圓，所以，即，所以曲線C的方程為：；(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，x=-1，則，此時，;當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)為，聯(lián)立方程，所以，有，綜合可得，當(dāng)直線l：x=-1時取得最大值，所以.20（2021北京高三開學(xué)考試）已知橢圓：，直線經(jīng)過橢圓的左焦點與其交于點，.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知點，直線，與直線分別交于點，若，求直線的方程.【答案】（1），；（2）或.【分析】（1）由題設(shè)得，所以，可得橢圓方程和離心率；（2）設(shè)，當(dāng)直線無斜率時，方程為，由平面幾何知識可以得到不合題意；當(dāng)直線有斜率時，設(shè)與橢圓方程聯(lián)立，直線的方程為，求出點的縱坐標、點的縱坐標，由利用韋達定理得可得答案.【詳解】（1）由題設(shè)得，又，所以，所以橢圓的方程為，所以橢圓的離心率為.（2）依題意，設(shè)，.當(dāng)直線無斜率時，方程為，所以，由平面幾何知識可以得到，不合題意，當(dāng)直線有斜率時，設(shè)，由得，則，直線的方程為，令，得點的縱坐標，同理可得點的縱坐標，解得或，所求直線的方程為或.21（2020廣東高三期中（文）已知橢圓E的長軸的一個端點是拋物線的焦點，離心率是（1）求橢圓E的標準方程；（2）設(shè)O為坐標原點，直線與橢圓E相交于A、B點，若直線、的斜