誤差理論與數(shù)據(jù)管理組織第6版費(fèi)業(yè)泰-課后答案解析全

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理練習(xí)題第一章緒論1-7用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力得100.2Pa，該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測(cè)得為100.5Pa，問(wèn)二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差為多少？【解】在實(shí)際檢定中，常把高一等級(jí)精度的儀器所測(cè)得的量值當(dāng)作實(shí)際值。故二等標(biāo)準(zhǔn)活 塞壓力計(jì)測(cè)量值的絕對(duì)誤差二測(cè)得值-實(shí)際值二100.2 - 100.5 =- 0.3 ( Pa )。相對(duì)誤差二二03x 100% 20.3%100.51-9使用凱特?cái)[時(shí)，g由公式g=4n2( h +h )/T2給定。今測(cè)出長(zhǎng)度(h +h )為(1.04230 0.00005 )m，振動(dòng)時(shí)間丁為(2.04800.0005瓦試求及其最大相對(duì)誤差:如果(h

2、 +h ) 測(cè)出為( 1.042200.0005 )m,為了使9的誤差能小于0.001m/s2,T的測(cè)量必須精確到多 少？【解】測(cè)得(h1+h2)的平均值為1.04230 (m) ,T的平均值為2.0480 ( s )。,4冗 2 ,由 g = - (h1 + h2) ,得：4n2g =x 1.04230= 9.81053加 / s 2)2.048(2當(dāng)(h1+ h2)有微小變化A(h1+ h2)、T有AT變化時(shí)，令h=h1+ h2g的變化量為： TOC o 1-5 h z dgdg4兀 28兀 2Ag =g A(h + h ) + 上 AT = 一A(h + h ) (h + h )AT 6

3、(h + h )127dTt2 127t3 127124兀 22A T=一 A(h + h )(h + h )T212 T 12A g 二絲 A h + 次 A T 二處 A h - 比 h A T d hd TT 2T 34 兀22A T=(A h -h)T 2TAg = 4兀2T JAh - 2 ATThT4兀2 t j+停Ah_2AT TT100% a 0.054%g 的最大相對(duì)誤差為：+0.00005 2 x (0.00051=x1.042302.0480如果(h1 + h2)測(cè)出為(1.042200.0005 )m，為使g的誤差能小于0.001m/s2,即：Ag 0.001也即 Ag

4、 =壬A(h + h ) - 2AT (h + h ) 0.001 T 212 T 124兀 2_2AT0.0005 x 1.04220 0.0012.048022.0480T|0.0005 - 1.01778A T| 0.00106求得：A T 0.00055( s )1-10.檢定2.5級(jí)（即引用誤差為2.5% ）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為最大誤差，問(wèn)該電壓表是否合格？【解】弓1用誤差二示值誤差/測(cè)量范圍上限。所以該電壓表的引用誤差為：r =工m Um2=而=2%由于：2%2.5%所以該電壓表合格。1-13多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)

5、定點(diǎn)不超過(guò)0.lkm，優(yōu)秀射手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高?多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為解：-0. = 0.00001 = 0.001% 10000射手的相對(duì)誤差為：1cm0.01 m50 m50 m=0.0002 = 0.002%多級(jí)火箭的射擊精度高。附加1 -1測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180000 02”，試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 解：絕對(duì)誤差等于：180 0002 -180 0 = 2相對(duì)誤差等于22180 o 180 x 60 x 60=0.00000308641 您 0.000031% 648000第二章誤差的基本性質(zhì)與處理2-2.試述單次測(cè)

6、量的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差o，兩者物理意義和實(shí)際用途有何X不同？【解】單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差表征同一被測(cè)量n次測(cè)量的測(cè)量值分散性的參數(shù)，可作為測(cè)量列中單次測(cè)量不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。o二2 +2 +822TTn算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差O是表征同一被測(cè)量各個(gè)獨(dú)立列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可Xo作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)O 二一x 4匕1在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的力當(dāng)測(cè) 量次數(shù)n愈大時(shí)，算術(shù)平均值愈接近被測(cè)量的真值，測(cè)量精度也愈高。2-3.試分別求出服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在牛，+?！恐械母怕?。P(V2a) =【解】（1）誤差服從正態(tài)分布時(shí)(2*db

7、=J 2/(2cr2)db o o引入新變量七，=凡6=，經(jīng)變換上式成為：O22一 2 力=2=2 x 0.4195 = 0.84 = 84% o(2 )誤差服從反正弦分布時(shí)-a, a故:因反正弦分布的標(biāo))隹差為：。=益，所以區(qū)間卜后, +而=P（土、尾）=1+a . 1 而= 1兀 -a aa2-82(3)誤差服從均勻分布時(shí)因其標(biāo)隹差為：。二a3，所以區(qū)間卜所,+&，故一 1.21 12P（土%2。）=+，二ad8= x2X :a = 0.82= 82%兀!2a 2a2a333a2-4.測(cè)量某物體重量共8次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為g )為236.45 ,236.37,236.51 ,236.34

8、, 236.39 , 236.48,236.47,236.40，求其算術(shù)平均值及其標(biāo)隹差?！窘狻窟x參考值二236.0Q計(jì)算差值朗=xi 236.00 %和殘差A(yù)v等列于表 中。序號(hào)XiA x z匕匕21236. 450.45+0. 020. 00042236. 370. 37-0. 060. 00363236.510. 51+0. OS0. 00644236. 340. 3-0. 090. 00815236. 390. 39-0. 040. 00166236. 480. 48+0. 050. 00257236. 470. 47+0. 040. 00168236. 400. 40-0. 030.

9、 0009x = x0 + A.yo = 236.43Axo = = 0.43之 = -0.031=1士匕2 = 0.0251 f=l或依算術(shù)平均值計(jì)算公式上8,直接求得：x二8.二236.439計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算:GO2 - 6測(cè)量某電路電流共5次測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA）為168.41 ,168.54 ,168.59 ,168.40 , 168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。解：f I.I = 51 = 168.49( mA)工(I -1)ii: 0.08 二工二空二0.04X -，n 5工占 0.08 : 0.055 -13R = 0.6745。= 0.02,

10、X 0.08 = 0.065 -15T = 0.7979。= 0.0327 在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具,重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mm）為5 -1200015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布,試以99的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。解：求算術(shù)平均值X = -i=1- n=20.0015mm求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差用貝塞爾公式計(jì)算：。用別捷爾斯公式計(jì)算:求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差2.55 X10-4=1.14 x10-4 mmo7n2.24 X10-4= 0.0001求單次測(cè)量的極限誤差和算術(shù)平均值的極限誤差做法1因n = 5較小，算術(shù)平均值的極限誤

11、差應(yīng)按t分布處理?，F(xiàn)自由度為：v=n-1=4 ; a = 1-0.99 = 0.01 ,查t分布表有：=4.60單次測(cè)量的極限誤差：bl. x =to =4.60 x2.55x104 = 1.173X10-3 x 1.17x103mm 算術(shù)平均值的極限誤差：S. x =t o_ =4.60 x1.14x10-4 = 5.24x10-4mm寫(xiě)出最后測(cè)量結(jié)果 L = X + 5 X =(20.0015 土5.24x10-4)nmlim做法2 :因假設(shè)測(cè)量值服從正態(tài)分布，并且置信概率P=2(t)=99%，則(t)=0.495，查正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t = 2.6單次測(cè)量的極限誤差：5 X =t

12、G =2.60 x 2.55x10m = 6.63x10m x 0.00066算術(shù)平均值的極限誤差：5 X =t o_ =2.60 x1.14x104 = 2.964x12 x0.0003寫(xiě)出最后測(cè)量結(jié)果L = X +5 X =(20.0015t 0.0003)mmlim2 -10用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差Q = 0.001mm，若要求測(cè)量的允許極限誤差為0.0015mm，而置信概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次？解：根據(jù)極限誤差的意義，有 to_ =t _ 0.0015X nn根據(jù)題目給定得已知條件，有t r = 0.004，故無(wú)根據(jù)懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。n-l 101（馬利科

13、夫準(zhǔn)則）按殘余誤差校核法：前5個(gè)殘余誤差和與后5個(gè)殘余誤差的差值A(chǔ) = 2 v, v. = 0.4 （0.4） = 0.8i=1j=6兩部分之差顯著不為0，則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有系統(tǒng)誤差。阿卑-赫梅特準(zhǔn)則_ 21_ -0.26 x 0.04 + 0.04 x 0.24 - 0.24 x 0.16 - 0.16 x 0.54u =1+1 0.54 x 0.36 + 0.36 x 0.06 + 0.06 x 0.16 - 0.16 x 0.14 + 0.14 x 0.04i=1=0.3056 工 0.3ynL 2 - 9 x0.263 = 0.21u%nL2 = 0.21所以測(cè)量列中含有周期性系

14、統(tǒng)誤差（為什么會(huì)得出互為矛盾的結(jié)論？問(wèn)題出在本題給出的數(shù)據(jù)存在粗大誤差這就提醒我們?cè)谂袛嗍欠裼邢到y(tǒng)誤差前，應(yīng)先剔除粗大誤差，然后再進(jìn)行系統(tǒng)誤差判斷。）2-18、對(duì)某一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后4次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為mH ）:50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81試判斷前4次和后6次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻?將兩組數(shù)據(jù)混合排列，用秩和檢驗(yàn)法有:n1 =4,n2 =6,T=5.5+7+9+10=31.5T =14,T+ = 30,T T+所以有根據(jù)懷疑

15、存在系統(tǒng)誤差2-19等精度測(cè)得某一電壓10次，測(cè)得結(jié)果（單位為V ）為25.94,25.97,25.98 ,26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。測(cè)量完畢后，發(fā)現(xiàn)測(cè)量裝置有 接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為判明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新做了10次等精度測(cè)量，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.93，25.94，25.98，26.02，26.01 ,25.90 , 25.93 , 26.04,25.94,26.02。試用t檢驗(yàn)法（取a=0.05 ）判斷兩組測(cè)量值之間 是否有系統(tǒng)誤差?！窘狻坑?jì)算兩組測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值：元=E % = 26.00110

16、S 2 = E (% % )2 = 0.00155%10歹=E y = 25.97110S2 = E (y - y )2 = 0.00215 y 10 it = (26.001 - 25.971) ：10 x10(10 +10 - 2)= 1.48(10 +10)(10 x 0.00155 +10 x 0.00215)由丫 = 10+10-2 = 18 及取a=0.05，查 t 分布表，得，=2.1 因曰二1,48 1= 2，故無(wú)根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。2-20.對(duì)某量進(jìn)行了12次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，2

17、0.14，20.18，20.18，20.21，20.19，試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻肯扔?jì)算算術(shù)平均值：x = X=20.125。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為： ii=1V =-0.065 iv =-0.015 7V =-0.055 V =-0.065V =-0.045 v =-0.025v =-0.00523456v = 0.015v =0.055v =0.055 v =0.085 v = 0.06589101112根據(jù)殘余誤差觀察法:計(jì)算出的殘余誤差有規(guī)律地遞增，在測(cè)量開(kāi)始與結(jié)束時(shí)誤差符號(hào) 相反，故可判斷該測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。（馬利科夫準(zhǔn)則）按殘余誤差校核法：前6個(gè)

18、殘余誤差和與后6個(gè)殘余誤差的差值為A二v-v =-0.26- 0.26 = -0.52i=1i=7兩部分之差顯著不為0，則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有線性系統(tǒng)誤差。采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。按貝塞爾公式:O10.032112-1=0.054用別捷爾斯法計(jì)算：。=1.253 W = 1.2533 = 0.062(n -1) n-1 12-1=0.11，故無(wú)根據(jù)懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。阿卑-赫梅特準(zhǔn)則u = 2 v V = 0.02i i+1 nnl-b 2，所以測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差（又出現(xiàn)互為矛盾的結(jié)論，如何解釋呢？）221 對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：x. i0.620.861.13

19、1.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57y.0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：按照秩和檢驗(yàn)法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表：T123456789101112131415x.0.620.861.11.11.11.181.201.21.221.261.30V0.991.11.211.25T161718192021222324252627282930 x.1.341.31.41.5V1.311.311.31.

20、41.481.501.591.601.601.841.95因 n1 = 12=1510,秩和T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174T近似服從正態(tài)分布，N（n凹+ n2+1）小1n2（ni+ nz+D）2112a 二(ni(ni+ n2 + 1): 232.52nn (n + n +1)、1 2 112 2) = 24.11 求出：T-a=-2.43選取概率2。)= 0.95 ,即巾(t ) = 0.475，查教材附表1有乙96。由于卜|“ 因此，可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。選取置信概率99%(顯著度0.01 )，即取叭t) = 0.49

21、5，由附錄表1查得：，=2.60 由于t = 2.43g=0.795，故第4個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)含測(cè)量誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對(duì)剩余的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算，得：x = x = 28.50 o14 ii=1,0.01481 14 -1= 0.0337由表知第14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差：v(14)=0.173o =0.1011，故也含粗大誤差，應(yīng)3o = 3 x 0.0337 = 0.1011剔除。再重復(fù)驗(yàn)算，剩下的13個(gè)測(cè)得值已不包含粗大誤差。用格羅布斯準(zhǔn)則判別已經(jīng)計(jì)算出15個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征量：x = 28.57,。= 0.265。將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有：x = 28.40, x - x = 28

22、.57 - 28.4 = 0.17x(15) = 29.52, x(-x = 29.52 - 28.57 = 0.95首先判別x(i是否含有粗大誤差：g(15)=也二=藝;含7 = 3.585查表 2-13 得：g0(15* 0.05) = 2.41則：g(i5)= 3.585 go(15, 0.05) = 2.41故第4個(gè)測(cè)得數(shù)據(jù)包含粗大誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對(duì)剩下的14個(gè)測(cè)得值計(jì)算，判斷均)是否含有粗大誤差。已知：7 = 28.50.。=0.03428.50-28.400.034= 28.49, 將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，Tf ：28.40-28.4928.40-28.5329.52-

23、28.5329.52-28.49查表 2-14 得 q (15, 0,05) = 0.525 ,因：r22 = 1.04“ (15, 0.05)和 電=0 692 % (15, 0.05)去(14. 0.05) = 2.37用狄克松準(zhǔn)則判別判斷最小值”)與最大值.%5)是否包含粗大誤差。因n=l5,以統(tǒng)計(jì)量-2,和 計(jì)算故：%)和%5)(即所測(cè)的第4和第14個(gè)測(cè)量值)包含粗大誤差，應(yīng)予剔除。再重復(fù)檢驗(yàn)剩余的13個(gè)測(cè)得值，已不再包含粗大誤差。2-26對(duì)某被測(cè)量x進(jìn)行間接測(cè)量得：2X = 1.44,3x = 2.18,4x = 2.90其權(quán)分別為5:1:1 , 試求x的測(cè)量結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)差？1.44

24、2.18 一 2.90【解】x = 0.72,x = 0.727, x = 0.725,122334選取 p = 5, p = 1, p = 1可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差：x = 0.72 +50 + 1x 0.007 + 1x 0.0055 + 1 + 1=0.722加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，先求殘余誤差：v_ = xx = 0.002#_ = 0.005, v. = 0.003x2x3算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：py 2i xiC _ =i=1x (m -1) pii=1=0.002A S =2 AD + 更 AK =吆AD + D A兀240.052 = 3416x 72.00

25、372.0032x (0.052) +A兀45 x 0.0022 +1 x 0.0052 +1 x 0.0032(3 -1)(5+1 +1)B. x = 3c_=3 x 0.002 = 0.006 /mx = 0.722 0.0062-28測(cè)量圓盤(pán)的直徑D = (72.0030.052)mm，按公式計(jì)算圓盤(pán)面積S =兀D2/4，由 于選取兀的有效數(shù)字位數(shù)不同，將對(duì)面積S計(jì)算帶來(lái)系統(tǒng)誤差，為保證S的計(jì)算精度與直 徑測(cè)量精度相同，試確定兀的有效數(shù)字位數(shù)？【解】測(cè)得D的平均值為72.003mm4兀2g =x 1.04230 = 9.81053( m / s 2)2.04802當(dāng)D有微小變化AD、兀有

26、A冗變化時(shí)，S的變化量為：0.052 5.8813 = 72.0032 A兀4A兀=0.0045 六 0.004冗取4位有效數(shù)字第三章 誤差的合成與分配3-2為求長(zhǎng)方體體積V,直接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為：a = 161.6mm,b = 44.5mm,c = 11.2mm , 已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為 A a = 1.2 mm, A b = -0.8 mm, A c = 0.5 mm，測(cè)量的極限誤差為 5 =0.8mm,5 =0.5mm,5 =0.5mm，試求立方體的體積及其體積的極限誤差。abc【解】立方體體積：V = abc，若不考慮測(cè)得值的系統(tǒng)誤差，則計(jì)算體積為：V0 = abc = 161.6 x

27、44.5 x 11.2 = 80541.44( mm 3)體積V的系統(tǒng)誤差為：考慮測(cè)量系統(tǒng)誤差后的立方體體積：V = Vq-AV = 80541.44-2745.744 = 77795.696 % 77795.70 (nun3)又直接測(cè)量值存在極限誤差，則間接測(cè)量體積存在的極限誤差為：=(44.5 xll.2x (0.8)2 +161.6xll.2x (0.5)2 +161.6x 44.5 x (0.5)2=+V398.722 + 904.963 - 3595.62 =3729.1 (nm?故測(cè)量結(jié)果為：V 5li V = 77795.70 3729.1(mm3)33長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為a1,

28、a2, a3測(cè)量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為。；標(biāo)準(zhǔn)差各為。1、。2、。3。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式為：V = a 1 a2 a3體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為：OV_ V)2o 2 + (._a 2 、2_、)2o 2_a33a v現(xiàn)可求出：_ = a2 a31V=a_a12_ V=a_a13若：o =o = o = o,_ V_ V_ V=；()2 o 2 + ()2 o 2 + (_a1_a2 、_a HYPERLINK l bookmark125 o Current Document 1123:_ V_ V_ V)2 o 2 =o ,()2 + ()2 + ()23 Y _a_a_a HYPER

29、LINK l bookmark251 o Current Document 1123=o J(a a )2 + (a a )2 + (a a )2則有：o =式a a )2o 2 + (a a )2o 2 + (a a )2o 2V 22 311 321 233-4測(cè)量某電路的電流I = 22.5mA ,電壓U = 12.6V ,測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為o廣0.5mA,u= 0._，求所耗功率P = UI及其標(biāo)準(zhǔn)差0P?！窘狻咳舨豢紤]測(cè)得值的誤差，則計(jì)算所耗功率為：P = UI = 12.6 x 22.5 x10-3 = 0.2835W TOC o 1-5 h z _P_P=I = 22.5 x10

30、-3一 = U = 12.6_uai且u、i完全線性相關(guān)，故P=1，所以:, ap、苫、 .ap apo =()2o2 + ()2o2 + 2po op a uuaiia u ai u i=；(22.5 x10-3)20.12 +12.62 x (0.5 x10-3)2 + 2x 22.5 x10-3 x 12.6x0.1x0.5x10-3=8.55 x10-3(W)若電壓、電流的測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立，則所耗功率標(biāo)準(zhǔn)差為4P、/P、.-kk(力o u+r o 廠 wo 尸(Uo y22.5 x 10-3 x0.1)2 + (12.6x0.5x 10-3)2=$36.69 + 500625 x10-

31、3=6.69 x 10-3( W)3-6已知x與y的相關(guān)系數(shù)Pxy =-1 ,試求u = x2 + ay的方差o 2。u【解】屬于函數(shù)隨機(jī)誤差合成問(wèn)題。3-S加圖3七所示理雙球法測(cè)星孔的宜筏D,其鋼球直徑分別為匕,右，測(cè)出距離分別為耳,各直摟測(cè)屋屋的誤差傳遞系赦如E&D啊犯 2 J圈+兄-鳳）區(qū)-區(qū)+凡） + ,爐 -&D 1試點(diǎn)披洲孔徑D與各直接測(cè)星星的函數(shù)突系口 =/0.心，耳，耳）漫其誤差傳遞系顏.【解】由幾何關(guān)弟品求掖測(cè)孔徑口&D &d.h&D ddt2優(yōu)匕+月-氏）&-氏+凡） 南-封+2區(qū)-2瑪3-12按公式V=nr2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm , h約為20cm，要使體積

32、的相對(duì)誤差等于1%,試問(wèn)r和h測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少？解： 若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為V =兀- r2 h = 3.14 x 22 x 20 = 251.2cm3根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1%，即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：G =1%即。=V - 1% = 251.2 x 1% = 2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出測(cè)定r的誤差應(yīng)為：o 12.51 1o = 0.007cmr22 dV /dr1.41 2兀hr測(cè)定h的誤差應(yīng)為：o =0 -1 = 2.51 1 = 0.142 cm h %；2 aV / ah1.41 兀 r 23-10假定從支點(diǎn)到重心的長(zhǎng)度為L(zhǎng)的單擺振動(dòng)周期為T，重力加速度

33、可由公式T=W給 出。若要求測(cè)量g的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差(0.1%，試問(wèn) g按等作用原則分配誤差時(shí)，測(cè)量L和T的相 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該是多少？解：由重力加速度公式，T = 2s得，44兀 2 LT 2 =g4兀2 Lg =十因?yàn)?，因?yàn)闇y(cè)爨項(xiàng)目有兩個(gè)，所以n=2。按等作 用原理分配誤差，得過(guò)xTO 1o T3o T2xTo g _ T_L_,o = g = g = g = g = g =一 g TT nn 血2舐2L2 8rt2L軟22L2 2g2-2 gST虎I O1區(qū)11二黑黑.oq-JL _ _二L1T 1=02-3X01楨臥 4兀 2 一 7一 正 綜上所述，溜量L和T的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.0707%

34、- 和0 皆本姬1%-0.07072%L 21 g v2第四章 測(cè)量不確定度評(píng)定與表示測(cè)量不確定度的步驟可歸納為1）分析測(cè)量不確定度的來(lái)源，列出對(duì)測(cè)量結(jié)果影響顯著的不確定度分量。2）評(píng)定標(biāo)注不確定度分量，并給出其數(shù)值4和自由度vi。3 ）分析所有不確定度分量的相關(guān)性，確定各相關(guān)系粼j。4）求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度”及自由度v .5）若需要給出展伸不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc乘以包含因子k，得展伸不確 定度U二kuc。6）給出不確定度的最后報(bào)告，以規(guī)定的方式報(bào)告被測(cè)量的估計(jì)像及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uc或展伸不確定度U，并說(shuō)明獲得它們的細(xì)節(jié)。根據(jù)以上測(cè)量不確定度計(jì)算步

35、驟。41某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測(cè)量得rQr =（3.1320.005）cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率P=99%。【解】求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D = 2冗 r其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：u =,吆o 2 = J(2兀)2o 2 =4義3.141592義0.0052dr) r r= 0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0.99 ( 9 )= 3.25,及K=3.25故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：U = Ku = 3.25x0.0314 = 0.102求圓球的體積的測(cè)量不確定度圓球體積為：V = 巴 冗

36、 r33其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：i( a v、2/u 二 o 2 =qM兀 r 2 o 2 = 166 * 3.141592 * 3.1324 義 0.0052 = 0.616i dr) r *r確定包含因子。查t分布表t0.01(9)=3.25,及K=3.25最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為U=Ku = 3.25x0.616 = 2.0024-3測(cè)量某電路電阻 R兩端的電壓U，由公式I = u/r算出電路電流I。若測(cè)得 U 。U = (16.50 土 0.05)V、R 。r= (4.26 土 0.02)0，相關(guān)系數(shù) p UR =-0.36，試求電流 I的標(biāo)準(zhǔn)不確定度?！窘狻縄 = U / R

37、aI_ 1ai _Ua uRarR 2UI =J（色）2。2 + 邑）2。2 + 2 色包 p。 d U ud.RR d U d.RUR u R1 1U 21 U、I X 0.052 + X 0.022 2p x 0.05 x 0.02RR2R4R R2 UR=0.024-6某數(shù)字電壓表的說(shuō)明書(shū)指出，該表在校準(zhǔn)后的兩年內(nèi)，其2V量程的測(cè)量誤差不超過(guò) 士（14x10-6讀數(shù)+1*10一6乂量程）V，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為20%,若按均勻分布，求1V測(cè)量時(shí)電 壓表的標(biāo)準(zhǔn)不確定度;設(shè)在該表校準(zhǔn)一年后，對(duì)標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行16次重復(fù)測(cè)量， 得觀測(cè)值的平均值為0.92857V，并由此算得單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.

38、000036V，若以平均 值作為測(cè)量的估計(jì)值，試分析影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來(lái)源，分別求出不確定度分量， 說(shuō)明評(píng)定方法的類別，求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其自由度?！窘狻浚?）測(cè)量誤差 根據(jù)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為20%1由B類評(píng)定，根據(jù)v = - = 12.5 , V服從均勻分布， 2a ）2u且2V量程測(cè)量誤差 （14x 10-6讀數(shù)+ 1x10-6 x量程），所以在區(qū)間（x-a,x+a ）中a = 14 x10-6 + 1x10-6 x 2 = 16 x10-6 = 1.6 x10-5a1.6 x 10-5=9.24 x 10 -6一年后，對(duì)標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行16次重復(fù)測(cè)量X = 0.928

39、57V 。 = 0.000036V影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來(lái)源:A 16次重復(fù)測(cè)量誤差B電壓表的示值誤差C電壓表的穩(wěn)定度A測(cè)量重復(fù)誤差引起的不確定度V = 0.92857Vo = 0.000036Vo一 二三二0.000009VV 6電壓重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度屬于人類評(píng)定u =o. = 9X10-6 = 9V自由度：vj16-1=15B標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uX 2示值誤差按均勻分布計(jì)算，屬于B類評(píng)定u = 14X叱6 X1 = 8.08X10-6自由度：v = -L-=1=12.5X2要2 2(0)2 2 X (20%)uC穩(wěn)定度引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u33電壓表穩(wěn)定度按均勻

40、分布，屬B類評(píng)定TF2 =8.08 x 10-6自由度：v 3 = 12.5合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u = Ju 12 + ux22 + u 32 = J(9x10-6)2 + (8.08x10-6)2 + (L15x10-6)2 = 28.0X10-6 = 28.0R V自由度：v =uc4= 28.0X10-6 = 28.0RVc u 4 u 4 u 4x1 + 32 + x3v v v1234-9用漏電測(cè)量?jī)x直接測(cè)量正常使用中微波爐的泄漏電流5次測(cè)量的平均值為0.320mA,平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為0.001mA;已知漏電測(cè)量?jī)x的示值誤差范圍為5%按均勻分布，取相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為10% ;測(cè)量時(shí)環(huán)境溫度和濕度

41、的影響范圍為2%按三角分布，其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為25%;試給出泄漏電流測(cè)量的不確定度報(bào)告（置信概率為99%）?！窘狻浚?）不確定度評(píng)定對(duì)泄漏電流測(cè)量不確定度影響顯著的因素有：A泄漏電流測(cè)量重復(fù)性引起的不確定度u1B示值誤差引起的不確定度u2C環(huán)境溫度與濕度引起的不確定度u3求uj u/ u3 A測(cè)量重復(fù)誤差引起的不確定度u =o = 0.001 mA = 1旦 Av = 5 1 41i示值誤差（均勻分布）：a0.320 x5%20%)2 = 501mA = 9.24u Av =2 O2(一)2u2環(huán)境溫度（三角分布）：au 3660.320 x 2%=2.61x10 - 3 mA = 2.61旦 A

42、183。產(chǎn),2x (25%)2 2( f )2u3因不確定度各個(gè)分量相互獨(dú)立，即p ij = 0，合成的不確定度為： u = J42 + u 22 + u 32 = J12 + 9.242 + 2.612 = 9.65|1 V = 0.00965mA自由度：v =u4= 57.1c u4 u4 u4v v v123根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則”，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行修約得u = 0.010 mA = 10 R A（3）展伸不確定度取置信概率P=99%, v =57 ,查t分布表，得1099（57） = 2.68 ,泄漏電流測(cè)量的展伸不確定度為U = ku = 2.68 x 9.65 = 25.862 =

43、0.025862mA根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則”，對(duì)展伸不確定度進(jìn)行修約得U = 0.026mA = 26r A（4）不確定度報(bào)告 1）用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定泄漏電流，則測(cè)量結(jié)果為：I = 0.320mAu = 10 R Av= 57.12）用展伸不確定度評(píng)定泄漏電流，則測(cè)量結(jié)果為：I = (0.320mA 0.026) mAP = 0.99v = 57第五章最小二乘法原理參數(shù)最小二乘法估計(jì)矩陣形式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)及回顧：由誤差方程V = L AX且要求VTV最小，則：V T V = (L - AX) T (L - AX)=(L - Xt At )(L - AX)=Lt L - Lt AX - X t A

44、t L + X t A t AX令其等于f(X)，要f(X)最小，需其對(duì)應(yīng)偏導(dǎo)為0：所以：df(X)=-LT A - LT A + (A T AX) t + Xt A t A = 0 dXLT A = X t A t AAtL = A t AXX =(At A)-i AtL理論基礎(chǔ)：f(X)= dXf(X)Td- f(X)g(X)=g(X) d- f(X) + f(X) d g(X) dXdXdX5-1 由測(cè)量方程3 x + y = 2.9X 2 y = 0.92 X 3 y = 1.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度?！窘狻糠椒ㄒ?常規(guī))1、列出誤差方程組匕=2.9 - (3 x +

45、2 y)=0.9 - ( x - 2 y)；=1.9 - (2 x - 3 y)3火 V2=(2.9 - (3x + y)2 + (0.9 - (x - 2y)2 + (1.9- (2x - 3y)2 ii=1分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)，并令它們的結(jié)果為02(3x + y) - 2.9)* 3 + 2(x - 2y) - 0.9) + 2(2x - 3y) -1.9)義 2 = 02(3x + y) - 2.9) - 2(x - 2y) - 0.9)* 2 + 2(2x - 3y) -1.9)義 3 = 014x -5y = 13.4即： 4，1-5x +14y =-4.6由上式可解得結(jié)果：x=0.9

46、626 y=0.0152 2. 直接列表計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)iai 1ai 2a 2i 1a 2i 2aaliala l1319132.98.72.921-214-20.90.9-1.832-349-61.93.8-5.71414-513.4-4.6可得正規(guī)方程14 x - 5 j = 13.45 x +14 j = 4.6將x,y的結(jié)果代入分別求得:v = 2.9 (3 x 0.9626+0.0152)= 0.0031 = 0.9 (0.9626 2 x 0.0152)= 0.0322v2 = 1.9 (2 x 0.9626-3 x 0.0152)=0.0204l 3得，火 v 2

47、= v 2 + v 2 + v 2 = (0.003)2 + (-0.0322)2 + (0.0204)2 i 123i =1=0.00146由題已知，n = 3, t = 2得由不定乘數(shù)的方程組14 d 5 d = 15 d + 14d = 014 d 5 d = 05 d + 14d = 111122122解得 d = 0.081911d 22 = 0.08190.03820.0819 = 0.0109=0.0382J0.0819 = 0.0109方法二（按矩陣形式計(jì)算）：由誤差方程V = L AX匕=2.9 - (3 x + 2 y)=0.9 - (x - 2 y)2匕=1.9 - (2

48、 x - 3 y)上式可以表示為1-2-32.90.91.9VV = V2VL 3可得：X= x = C-1AtL = (ATA)-1 AtL y式中：C-1 ： (A t A)-11 2-2 -31 -22314-5-51t141141 1414 -5-5 14141711_14所以:C-1A T L171141455311 2-22.90.91.947171L294 13-23 -322.90.91.91 164.6171 2.60.96260.0152即解得，X = 0.9626j = 0.0152將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得，V = L AX =2.90.91.9v1V 2v3 31-

49、2-3l1l2 l30.96260.01521-2-3-0.0030-0.03220.0204將計(jì)算得到的數(shù)據(jù)代入式中為求出估計(jì)量x,y的標(biāo)準(zhǔn)差，首先求出不定常數(shù)d (i, j = 1,2)。 j由已知，不定常數(shù)dj的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而dj是矩陣C -1中各元素1171141414d = 0.08191117114d = 0.081922 171可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為=o、=0.0382J0.0819 = 0.0109=o、 = 0.03820.0819 = 0.0109V 225-5測(cè)力計(jì)示值與測(cè)量時(shí)的溫度t的對(duì)應(yīng)值獨(dú)立測(cè)得如下表所示。t / 151821242730F / N43

50、.6143.6343.6843.7143.7443.78設(shè)t無(wú)誤差，F(xiàn)值隨t的變化呈線性關(guān)系F = k + kt，試給出線性方程中系數(shù)k和k的最 小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。解法一：利用矩陣求解，誤差方程V二L - AX可寫(xiě)成v1v2v3v4v5v6l l12l3 l l4l643.6143.6343.6843.7143.7443.78115118121AA =1241 271 30vl11511vl11822vl121k3二30Vl124k441vl12755vl130L 661-1可得X= k0 =C-1ATL=(ATA)-1 ATL式中C-1 = (A T A )-11115 1815182

51、1242730111111121 24 27 30 111-1- 6135 t135 3195-135613195-6135- -135 135 3195-13511 31956 _945_-135所以1-3195-1351r111111945_-1356 J15182124273043.6143.6343.6843.7143.7443.7843.43240.01152將最佳估計(jì)值代入誤差方程V = L - A玄彳導(dǎo)V111111151821 r43.432424 0.0115227300.0048-0.009760.005680.00112-0.003440.002為求出估計(jì)量k。，k的標(biāo)準(zhǔn)

52、差,需要求出不定乘數(shù)d的系數(shù),而不定乘數(shù)*的系數(shù)與正規(guī)id _ 1 r3195 d2 945 -13522L-1356方程的系數(shù)相同，因而d是矩陣C-1中各元素，即ddL 213195d =- = 3.3809511 945d = = 0.0063522 945可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為o =a.；d = 0.00647 3.38095 = 0.00119k0上o =ov,.d = 0.00647 0.00635 = 0.000516%2 22解法二：，由 V = F - (k + kt)得正規(guī)方程組:nk。+心工F TOC o 1-5 h z i=1i=1 tk+E 12 k 工 tFi 0ii

53、iI i =1i=1i=1 t = 135 12 = 3195iii=1i=1 tF = 5900.19 iii =12 F = 262.15ii =1,正規(guī)方程為6 k +135 k = 262.15135 k0 + 3195 k = 5900.19解得：k = 43.4324I k = 0.011520.0048-0.009760.005680.00112-0.003440.0026 d +135 d = 1135d + 3195 d = 01112解得:d = 3.38095d 22 = 0.006356 d +135 d = 0135d + 3195d : 1 2122o =o、丁 =

54、 0.00647%3.38095 = 0.00119k 0o =O：d = 0.00647 0.00635 = 0.0005165-7不等精度測(cè)量的方程組如下:x - 3 y = -5.6, P = 114 x + y = 8.1, P = 2 ,；2 x - 3 y = 0.5, P = 33試求x,y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解法一：利用矩陣計(jì)算-3-5.68.10.51 0 0P =0200 0 3=(A t PA )-1 A t PLC* = A* T A * = A T PAC*-i-345-1-114145 -1-1 142-11410201_ 1114145629 1 45-

55、3-31-1二(A T PA)-1A T PL = C*-1A T PL14 1 II 142629 1 45 II -31 -1-5.68.10.51.4352.352將最佳估計(jì)值代入誤差方程V = L - A玄，得可計(jì)算-31-11.4352.3520.0210.008-0.0180.03921X 0.0212 + 2 X 0.0082 + 3 X (-0.018)2又知14d = 0.02226 工 0.0223ii 62945d =0.07154 工 0.071522 629可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為o =o 瓦=0.0392/0.0223 = 0.0059o =O工=0.0392 0.07

56、15 = 0.0105解法二：正規(guī)方程為 Pa a yi i1 i2=2 Pa I.i=1i=12 Pa 2 y2i=1=2 Pa li i 2 ii=1i =1i=12 Pa 2 = 45i i 1i=12 Pa 2 = 14i i2i=12 Pa a =-12 Pa l = 62.2i1 i2i i1 ii=1i=1代入正規(guī)方程得:Pa l = 31.5i i 2 i i=145 x - y = 62.21x = 1.435解得 I-x +14 y = 31.5 y = 2.352V =-5.6 - (1.435 - 3 x 2.352) = 0.021N = 8.1 - (4 x 1.4

57、35 + 2.352) = 0.008 2V = 0.5 - (2 x 1.435 - 2.352) = -0.018l 3V T PV：1 x 0.0212 + 2 x 0.0082 + 3 x (-0.018)2o = .,= ,:= 0.0392 n -13 - 245 d - d = 1-d + 14d = 0111245 d - d = 0-d +14 d = 12122解得：d = 0.0223 d22 = 0.07 1 5，用=0.0392% 0.0223 = 0.0059J 1=0.0392 0.0715 = 0.0105 225 -10將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式,

58、并給出未知參數(shù)髭x2的二乘法處理=8.26 x及其相應(yīng)精度。v = 5.13 xv = 13.21 (x + x )12v = 3.01 4解：1.由前面三個(gè)線性的誤差方程V = L A文可解得, x2的近似估計(jì)值x10，x20利用矩陣形式求解:可得式中所以ll12l3x1x25.138.2613.21v1v2V3=C-1AtL = (A T A)-1A T LC-1 = (A t A)-112x1x2* x 一X = 1 =C-1A t LXL 22210015，131b3 -1-125.138.2613.215.07008.2000115.2100 3 24.60002.取x , x 得近

59、似值x =5.0700, x 8.200，令x = X +6x = x +6可將誤差方程線性化，現(xiàn)分別對(duì)測(cè)量方程求偏導(dǎo)affaxafaxafTax= = =11112 3a1 a aX = X110X1 = X10X = X110a12a22a321d.x2, 2d.x2/X =X 220X 2 = X20d.x2X =X 220XI 尢 aftaxafax(X +X ) 一XX(X + X )2(X +X ) 一XX(X + X )2X = X10X2 = X 20X =X10 =X202(X + X )2X 21(X + X )2=0.3818X = X10X 2 = X 20=0.146

60、0X = X10X 2 = X 20則誤差方程化成線性方程組V = L - A6 ,v1v2v3vL 4I； l2i341n x2。)l J與，X2Jl3 - f3( X10，X20)14 - f4(X10，X20)0.060.04-0.06-0.128=a11a21a31a41a12a22a32a421001110.38180.1460可得6=81 2=C-1A t L=(A t A)-1 A t L式中C-1 = (A t A)-1-1100.3818010.14600.38180.14602.14581.0557-10.6272 -0.32761.05572.0213-0.32760.6