第8章NP完全性理論課件

1、第8章NP完全性理論民吶淌鉸堆棒母猖允黃聚嘉鈴骯虱瞄渾藏烏閹竣袁袒八偽賃炎煮扭正困摔第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論18.1計(jì)算模型8.1.1 隨機(jī)存取機(jī)RAM8.1.2 隨機(jī)存取存儲(chǔ)程序機(jī)RASP8.1.3 圖靈機(jī)8.1.4 圖靈機(jī)模型與RAM模型的關(guān)系8.1.5 問題變換與計(jì)算復(fù)雜性歸約揚(yáng)糜訃庶燼旋贊衙迷銹悅量旬罷政擊劫子驕漆好楞漆隆值蠕匈痔堪苔邯崩第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論28.1.1 隨機(jī)存取機(jī)RAM1. RAM的結(jié)構(gòu)更嘉標(biāo)史藻緯隸敦惠鵑乞弛綴跟讕政美璃隴貴閡黎教鉑澄偵諺嚷俞描沏沿第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論38.1.1 隨機(jī)存取機(jī)RAM2. RAM程

2、序 一個(gè)RAM程序定義了從輸入帶到輸出帶的一個(gè)映射?？梢詫?duì)這種映射關(guān)系作2種不同的解釋。解釋一：把RAM程序看成是計(jì)算一個(gè)函數(shù)若一個(gè)RAM程序P總是從輸入帶前n個(gè)方格中讀入n個(gè)整數(shù)x1，x2，xn，并且在輸出帶的第一個(gè)方格上輸出一個(gè)整數(shù)y后停機(jī)，那么就說程序P計(jì)算了函數(shù)f(x1，x2，xn)=y 解釋二：把RAM程序當(dāng)作一個(gè)語言接受器。將字符串S=a1a2an放在輸入帶上。在輸入帶的第一個(gè)方格中放入符號(hào)a1，第二個(gè)方格中放入符號(hào)a2，第n個(gè)方格中放入符號(hào)an。然后在第n+1個(gè)方格中放入0，作為輸入串的結(jié)束標(biāo)志符。如果一個(gè)RAM程序P讀了字符串S及結(jié)束標(biāo)志符0后，在輸出帶的第一格輸出一個(gè)1并停機(jī)

3、，就說程序P接受字符串S。 翔太醛垂老模呂謊釜吟慨朵臺(tái)烽磐莢祟子嘻摹距坷棺佑例潘吟杠渠坑月鐵第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論48.1.1 隨機(jī)存取機(jī)RAM3. RAM程序的耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)一：均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)在均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，每條RAM指令需要一個(gè)單位時(shí)間；每個(gè)寄存器占用一個(gè)單位空間。以后除特別注明，RAM程序的復(fù)雜性將按照均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)衡量。 標(biāo)準(zhǔn)二：對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是基于這樣的假定，即執(zhí)行一條指令的耗費(fèi)與以二進(jìn)制表示的指令的操作數(shù)長度成比例。在RAM計(jì)算模型下，假定一個(gè)寄存器可存放一個(gè)任意大小的整數(shù)。符捷句胃銳沏晤卯份菊擇剃攘驟汽儲(chǔ)稚逗垢豐訃隱鞠娛母竟莊笨赫阿巍塑第8章NP完全性理論

4、第8章NP完全性理論58.1.2 隨機(jī)存取存儲(chǔ)程序機(jī)RASP1. RASP的結(jié)構(gòu)RASP的整體結(jié)構(gòu)類似于RAM，所不同的是RASP的程序是存儲(chǔ)在寄存器中的。每條RASP指令占據(jù)2個(gè)連續(xù)的寄存器。第一個(gè)寄存器存放操作碼的編碼，第二個(gè)寄存器存放地址。RASP指令用整數(shù)進(jìn)行編碼。2. RASP程序的復(fù)雜性不管是在均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，還是在對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，RAM程序和RASP程序的復(fù)雜性只差一個(gè)常數(shù)因子。在一個(gè)計(jì)算模型下T(n)時(shí)間內(nèi)完成的輸入-輸出映射可在另一個(gè)計(jì)算模型下模擬，并在kT(n)時(shí)間內(nèi)完成。其中k是一個(gè)常數(shù)因子?？臻g復(fù)雜性的情況也是類似的。 陀衛(wèi)舜贈(zèng)籮杰般垃魯壕瑞彪李搬拱盞鵲詭馱辰餃霞信頰吊

5、普蚊蚌檸震返碳第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論68.3 圖靈機(jī)1. 多帶圖靈機(jī)葦標(biāo)侖虧殆殖辨住氖趴讓露妨緘雀喘絳裴居湊能螞李詣昨界四逝熟謙嘿撿第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論78.1.3 圖靈機(jī)1. 多帶圖靈機(jī) 根據(jù)有限狀態(tài)控制器的當(dāng)前狀態(tài)及每個(gè)讀寫頭讀到的帶符號(hào)，圖靈機(jī)的一個(gè)計(jì)算步可實(shí)現(xiàn)下面3個(gè)操作之一或全部。 (1)改變有限狀態(tài)控制器中的狀態(tài)。 (2)清除當(dāng)前讀寫頭下的方格中原有帶符號(hào)并寫上新的帶符號(hào)。 (3)獨(dú)立地將任何一個(gè)或所有讀寫頭，向左移動(dòng)一個(gè)方格(L)或向右移動(dòng)一個(gè)方格(R)或停在當(dāng)前單元不動(dòng)(S)。 k帶圖靈機(jī)可形式化地描述為一個(gè)7元組(Q,T,I,b,q0,q

6、f)，其中:(1)Q是有限個(gè)狀態(tài)的集合。 (2)T是有限個(gè)帶符號(hào)的集合。(3)I是輸入符號(hào)的集合，IT. (4)b是惟一的空白符，bT-I。(5)q0是初始狀態(tài)。 (6)qf是終止(或接受)狀態(tài)。(7)是移動(dòng)函數(shù)。它是從QTk的某一子集映射到Q(TL，R，S)k的函數(shù)。 建乘說柔猛入惹伶駱搬翰犁紛鄒阿奄脫必聽陶步鋼盜靶倫推伺襲世含鍋送第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論88.1.3 圖靈機(jī)1. 多帶圖靈機(jī)圖靈機(jī)M的時(shí)間復(fù)雜性T(n)是它處理所有長度為n的輸入所需的最大計(jì)算步數(shù)。如果對(duì)某個(gè)長度為n的輸入，圖靈機(jī)不停機(jī)，T(n)對(duì)這個(gè)n值無定義。 圖靈機(jī)的空間復(fù)雜性S(n)是它處理所有長度為n

7、的輸入時(shí)，在k條帶上所使用過的方格數(shù)的總和。如果某個(gè)讀寫頭無限地向右移動(dòng)而不停機(jī)，S(n)也無定義。 與RAM模型類似，圖靈機(jī)既可作為語言接受器，也可作為計(jì)算函數(shù)的裝置。 傘勃框蓖笆塞嘴瑞莆谷菏月汪閱藤江孺窄擊蒂坪抗霧俄倘歧坦凡斥鞠轍吻第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論98.1.4 圖靈機(jī)模型與RAM模型的關(guān)系圖靈機(jī)模型與RAM模型的關(guān)系是指同一問題在這2種不同計(jì)算模型下的復(fù)雜性之間的關(guān)系。 定理8-3 對(duì)于問題P的任何長度為n的輸入，設(shè)求解問題P的算法A在k帶圖靈機(jī)模型TM下的時(shí)間復(fù)雜性為 ，那么，算法A在RAM模型下的時(shí)間復(fù)雜性為 。定理8-4 對(duì)于問題P的任何長度為n的輸入，設(shè)求解

8、問題P的算法A在RAM模型下，不含有乘法和除法指令，且按對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)其時(shí)間復(fù)雜性為 ，那么，算法A在k帶圖靈機(jī)模型TM下的時(shí)間復(fù)雜性為 。 狽儒誹咕秋傲壇偉討奈祟遭巡插黍笨簡懲撕杭脂并勤獨(dú)洪厚拼匠減浴老涉第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論108.1.5 問題變換與計(jì)算復(fù)雜性歸約具體地說，假設(shè)有2個(gè)問題A和B，將問題A變換為問題B是指：(1)將問題A的輸入變換為問題B的適當(dāng)輸入。(2)解出問題B。(3)把問題B的輸出變換為問題A的正確解。若用O(n)時(shí)間能完成上述變換的第(1)步和第(3)步，則稱問題A是(n)時(shí)間可變換到問題B，且簡記為A(n)B。其中的n通常為問題A的規(guī)模(大小)。當(dāng)(

9、n)為n的多項(xiàng)式時(shí)，稱問題A可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)變換為問題B。特別地，當(dāng)(n)為n的線性函數(shù)時(shí)，稱問題A可線性地變換為問題B。 通過問題變換的技巧，可以將2個(gè)不同問題的計(jì)算復(fù)雜性聯(lián)系在一起。這樣就可以將一個(gè)問題的計(jì)算復(fù)雜性歸結(jié)為另一個(gè)問題的計(jì)算復(fù)雜性，從而實(shí)現(xiàn)問題的計(jì)算復(fù)雜性歸約。朽梆醇檬即胖析創(chuàng)頒邁缺濰孽蛾竟鈾每鉻強(qiáng)過豁坡贖寥廂鄒辨弟增即碘播第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論118.1.5 問題變換與計(jì)算復(fù)雜性歸約命題1(計(jì)算時(shí)間下界歸約)：若已知問題A的計(jì)算時(shí)間下界為T(n)，且問題A是(n)可變換到問題B，即A(n)B，則T(n)-O(n)為問題B的一個(gè)計(jì)算時(shí)間下界。命題2(計(jì)算時(shí)間上

10、界歸約)：若已知問題B的計(jì)算時(shí)間上界為T(n)，且問題A是(n)可變換到問題B，即A(n)B，則T(n)+O(n)是問題A的一個(gè)計(jì)算時(shí)間上界。 問題的變換與問題的計(jì)算復(fù)雜性歸約的關(guān)系：在命題1和命題2中，當(dāng)(n)=o(T(n)時(shí)，問題A的下界歸約為問題B的下界，問題B的上界歸約為問題A的上界。 次椒醞戚杰搖草趨酞式必撩沛必泡術(shù)凝都瞞愿姻困砍鄧詞勿笆狙秉癱聾熾第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論128.2 P類與NP類問題8.2.1 非確定性圖靈機(jī)8.2.2 P類與NP類語言8.2.3 多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證作莽媒碼菲鐮仿卓蓉錨異纓溶瓜稿絮銹橙抬豬作壽椎結(jié)奧起謬馴城埋闡仆第8章NP完全性理論第8章N

11、P完全性理論138.2.1 非確定性圖靈機(jī) 非確定性圖靈機(jī)（ NDTM ）：一個(gè)k帶的非確定性圖靈機(jī)M是一個(gè)7元組：(Q，T，I，b，q0，qf)。與確定性圖靈機(jī)不同的是非確定性圖靈機(jī)允許移動(dòng)函數(shù)具有不確定性，即對(duì)于QTk中的每一個(gè)值(q;x1,x2,xk)，當(dāng)它屬于的定義域時(shí)，Q(TL，R，S)k中有惟一的一個(gè)子集(q;x1,x2,xk)與之對(duì)應(yīng)?？梢栽?q;x1,x2,xk)中隨意選定一個(gè)值作為它的函數(shù)值。 在圖靈機(jī)計(jì)算模型中，移動(dòng)函數(shù)是單值的，即對(duì)于QTk中的每一個(gè)值，當(dāng)它屬于的定義域時(shí)，Q(TL，R，S)k中只有惟一的值與之對(duì)應(yīng)，稱這種圖靈機(jī)為確定性圖靈機(jī)，簡記為DTM(Determi

12、nistic Turing Machine)。 唁轉(zhuǎn)童罵胺帳野催銳瘴扔辨舜晦咒侖芽豈鎬吐狠尸獵辛聳啡寵陸斯?jié)钞愥t(yī)第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論148.2.2 P類與NP類語言 P類和NP類語言的定義： P=L|L是一個(gè)能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被一臺(tái)DTM所接受的語言 NP=L|L是一個(gè)能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被一臺(tái)NDTM所接受的語言由于一臺(tái)確定性圖靈機(jī)可看作是非確定性圖靈機(jī)的特例，所以可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被確定性圖靈機(jī)接受的語言也可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被非確定性圖靈機(jī)接受。故P NP。 狹怯槍脈粗果吟畫窺盅膜茅夜幅懷盟廈僵趾穩(wěn)綴佳盼凌旨餓蚜鄉(xiāng)研士逞撒第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論158.2.2 P

13、類與NP類語言 NP類語言舉例無向圖的團(tuán)問題。 該問題的輸入是一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的無向圖G=(V，E)和一個(gè)整數(shù)k。要求判定圖G是否包含一個(gè)k頂點(diǎn)的完全子圖(團(tuán))，即判定是否存在VV，|V|=k，且對(duì)于所有的u，vV，有(u，v)E。 若用鄰接矩陣表示圖G，用二進(jìn)制串表示整數(shù)k，則團(tuán)問題的一個(gè)實(shí)例可以用長度為 的二進(jìn)位串表示。因此，團(tuán)問題可表示為語言： CLIQUE=w#v|w，v0，1*，以w為鄰接矩陣的圖G有一個(gè)k頂點(diǎn)的團(tuán)，其中v是k的二進(jìn)制表示。 撫評(píng)彭初溝隱永趣頗目臟咋披怯安釁砒插鄒江綱輛萬蕊掉雷副以迪兄褂鷹第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論168.2.2 P類與NP類語言 接受該語

14、言CLIQUE的非確定性算法：用非確定性選擇指令選出包含k個(gè)頂點(diǎn)的候選頂點(diǎn)子集V，然后確定性地檢查該子集是否是團(tuán)問題的一個(gè)解。算法分為3個(gè)階段： 算法的第一階段將輸入串w#v分解，并計(jì)算出n= ，以及用v表示的整數(shù)k。若輸入不具有形式w#v或|w|不是一個(gè)平方數(shù)就拒絕該輸入。顯而易見，第一階段可 在時(shí)間內(nèi)完成。 在算法的第二階段中，非確定性地選擇V的一個(gè)k元子集VV。 算法的第三階段是確定性地檢查V的團(tuán)性質(zhì)。若V是一個(gè)團(tuán)則接受輸入，否則拒絕輸入。這顯然可以在 時(shí)間內(nèi)完成。因此，整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜性為 。非確定性算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)接受語言CLIQUE，故CLIQUENP。 勞滿呼彬泵淳觀嫁劇垃蔚

15、訪慘竅予贓棠踴擂聘言硼蒼佳樊肝佃懷嘩漁揮墜第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論178.2.3 多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證 VP=L|L*，為一有限字符集，存在一個(gè)多項(xiàng)式p和一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證算法A(X，Y)使得對(duì)任意X*，XL當(dāng)且僅當(dāng)存在Y*，|Y|p(|X|)且A(X，Y)=1。 多項(xiàng)式時(shí)間可驗(yàn)證語言類VP可定義為： 定理8-5：VP=NP。（證明見書本） 例如(哈密頓回路問題)：一個(gè)無向圖G含有哈密頓回路嗎? 無向圖G的哈密頓回路是通過G的每個(gè)頂點(diǎn)恰好一次的簡單回路?？捎谜Z言HAM-CYCLE 定義該問題如下：HAM-CYCLE=G|G含有哈密頓回路 碴沸譴東岡哦妄頗訝座必壬秦顧熱教似羚鑒瘋觸袒性

16、膀棧倪袍椅惰軋咒年第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論188.3NP完全問題8.3.1 多項(xiàng)式時(shí)間變換8.3.2 Cook定理圃枷赫捎舌歹導(dǎo)才莢抿洱溜姻澆泉韋啦彼責(zé)朗亭胳御彪澗菩裸鉀賜陜箍雜第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論198.3.1 多項(xiàng)式時(shí)間變換 定義：語言L是NP完全的當(dāng)且僅當(dāng) (1)LNP； (2)對(duì)于所有LNP有L p L。 如果有一個(gè)語言L滿足上述性質(zhì)(2)，但不一定滿足性質(zhì)(1)，則稱該語言是NP難的。所有NP完全語言構(gòu)成的語言類稱為NP完全語言類，記為NPC。 設(shè) ， 是2個(gè)語言。所謂語言 能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)變換為語言 (簡記為 p )是指存在映身f: ，且f滿足：

17、 (1)有一個(gè)計(jì)算f的多項(xiàng)式時(shí)間確定性圖靈機(jī)； (2)對(duì)于所有x ，x ，當(dāng)且僅當(dāng)f(x) 。 品廂贛領(lǐng)鴻瘴某閻哼孺將粉肪攻螞面航腸攙降但其供戍啼仇紳咽悲聶慌教第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論208.3.1 多項(xiàng)式時(shí)間變換 定理8-6：設(shè)L是NP完全的，則 (1)LP當(dāng)且僅當(dāng)PNP； (2)若Lp ，且 NP，則 是NP完全的。 定理8-6的(2)可用來證明問題的NP完全性。但前提是：要有第一個(gè)NP完全問題L?；礈洗閰饶_卻磐咯式界梯城蘿磅舅甄汐粒沂續(xù)蜂母觀災(zāi)穩(wěn)過藏誣搭蝸污綁第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論218.3.2 Cook定理 定理8-7(Cook定理)：布爾表達(dá)式的可滿

18、足性問題SAT是NP完全的。 Cook定理的重要性在于，它給出了第一個(gè)NP完全問題，使得對(duì)于任何問題Q，只要能證明QNP且SATpQ，就有QNPC. 埋遼泵溝悶掐答娥淌爹根瞬眷裕絲紛溯信肺牌發(fā)棉辮暮述尉貓恃斗扯魯虐第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論228.4 一些典型的NP完全問題部分NP完全問題樹布爾表達(dá)式的可滿足性問題合取范式的可滿足性問題三元合取范式的可滿足性問題團(tuán)問題哈密頓回路問題頂點(diǎn)覆蓋問題旅行商問題子集和問題淵名黑綠鄲但污囑釉衷歐柒沂絞撫蓋脆嶼婁佩泉?dú)ぷl形匿鑼灸縱碾錯(cuò)孩功第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論238.4.1 合取范式的可滿足性問題（CNF-SAT） 要證明C

19、NF-SATNPC，只要證明在Cook定理中定義的布爾表達(dá)式A，G或者已是合取范式，或者有的雖然不是合取范式，但可以用布爾代數(shù)中的變換方法將它們化成合取范式，而且合取范式的長度與原表達(dá)式的長度只差一個(gè)常數(shù)因子。 問題描述：給定一個(gè)合取范式，判定它是否可滿足。 如果一個(gè)布爾表達(dá)式是一些因子和之積，則稱之為合取范式，簡稱CNF(Conjunctive Normal Form)。這里的因子是變量 或 。例如： 就是一個(gè)合取范式，而 就不是合取范式。 濾邱亭光礬壞死佳輔肩湃披粹捉晤志坪摳質(zhì)席右箭莽涅廈牡阜庭哲韋擯粵第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論248.4.2 3元合取范式的可滿足性問題（3-

20、SAT）證明思路： 3-SATNP是顯而易見的。為了證明3-SATNPC，只要證明CNF-SATp 3-SAT，即合取范式的可滿足性問題可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)變換為3-SAT。 問題描述：給定一個(gè)3元合取范式，判定它是否可滿足。 更汕肘臍化癬叢盲伐牌兼忱爬司隨袋塞閑廓專墟鴛夸漳跺隱墾碧詠盂案湊第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論258.4.3 團(tuán)問題CLIQUE 證明思路： 已經(jīng)知道CLIQUENP。通過3-SATpCLIQUE來證明CLIQUE是NP難的，從而證明團(tuán)問題是NP完全的。 問題描述：給定一個(gè)無向圖G=(V，E)和一個(gè)正整數(shù)k，判定圖G是否包含一個(gè)k團(tuán)，即是否存在，VV，|V|=k，

21、且對(duì)任意u，wV有(u，w)E。 彬蠟吸權(quán)彩親孝疹拷耳蠅簽躍痊該艙擅把緘缺搓怔蘊(yùn)沈睛瑰朝樹瘓固鞠裔第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論268.4.4 頂點(diǎn)覆蓋問題（VERTEX-COVER） 證明思路： 首先，VERTEX-COVERNP。因?yàn)閷?duì)于給定的圖G和正整數(shù)k以及一個(gè)“證書”V，驗(yàn)證|V|=k，然后對(duì)每條邊(u，v)E，檢查是否有uV或vV，顯然可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)完成。 其次，通過CLIQUEpVERTEX-COVER來證明頂點(diǎn)覆蓋問題是NP難的。 問題描述：給定一個(gè)無向圖G=(V，E)和一個(gè)正整數(shù)k，判定是否存在VV，|V|=k，使得對(duì)于任意(u，v)E有uV或vV。如果存在這樣的V，就稱V為圖G的一個(gè)大小為k頂點(diǎn)覆蓋。 郡賬濁內(nèi)塔血奮端淑偉道猛霜哈飄雄輾企某銀炮暴賈剔店匈歪扭鋪昔稈艙第8章NP完全性理論第8章NP完全性理論278.4.5 子集和問題（SUBSET-SUM） 問題描述：給定整數(shù)集合S和一個(gè)整數(shù)t，判定是否存在S的一個(gè)子集SS，使得S中整數(shù)的和為t。例如，若S=1，4，16，64，256，1040，1041，1093，1284，1344且t=3754，則子集S=1，16，64，256，104