工程數(shù)學(xué)作業(yè)第六次方健(1113)(共8頁)

1、姓名(xngmng)：方健 學(xué)號：652081701073 專業(yè)(zhuny)：化學(xué)工程(hu xu n chn)問題：利用MATLAB對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，對于不同的插值方法進(jìn)行熟悉，以及改變插值點(diǎn)，以及插值范圍觀察結(jié)果變化。對于已知x=0:10，y=0 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 0.6570 0.9894 0.4121 -0.5440;(ysinx)，比較一維線性、線性最近、立方和三次樣條插值所得xi0,0.15,0.30,0.45,10處的值yi。如果初始數(shù)據(jù)點(diǎn)為x0,2,4,10，ysinx，以上方法插值效果。對于一維插值方

2、法作出比較。對于一維插值interp1函數(shù)的運(yùn)用：調(diào)用格式：yiinterp1(x,y,xi) 已知數(shù)據(jù)向量（x,y），計算并返回在插值向量xi處的函數(shù)值yi=interp1(x,y,xi,method)yi=interp1(x,y,xi,method,extrap)method用于指定插值算法，其值可以是：nearest最近插值linear線性插值（默認(rèn)值）spline分段三次樣條插值pchip分段三次Hermite插值cubic與pchip相同首先看線性插值的情況，在matlab的command window中輸入如下命令x=0:1:10; %首先取函數(shù)值0到10，步長為1 y =sin(

3、x); plot(x,y,co),hold on xi=0:0.05:10; yi=interp1(x,y,xi); plot(xi,yi,r+),text(0.7028,0.4649,線性插值rightarrow) %在圖中作出標(biāo)記 plot(x,y,*),hold on fplot(sin,0 10)可得如下結(jié)果：下面改變插值的初始值，觀察(gunch)插值情況的變化x=0:2:10;y =sin(x);plot(x,y,co),hold onxi=0:0.1:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(xi,yi,r+),text(0.7028,0.4649,線性插值right

4、arrow)plot(x,y,*),hold onfplot(sin,0 10)發(fā)現(xiàn)(fxin)插值效果不如數(shù)據(jù)(shj)點(diǎn)多的好。下面使用臨近(ln jn)點(diǎn)插值算法插值，比較一下效果 x=0:1:10;y =sin(x);plot(x,y,co),hold onxi=0:0.05:10;yi2=interp1(x,y,xi,nearst);plot(xi,yi2,c*),text(6.947,-0.258,leftarrow最近插值)plot(x,y,*),hold onfplot(sin,0 10)結(jié)果如下：立方(lfng)插值的情況：x=0:1:10;y =sin(x);plot(x,

5、y,co),hold onxi=0:0.05:10;yi3=interp1(x,y,xi,cubic);plot(xi,yi3,md),text(2.408,0.8333,leftarrow立方(lfng)插值)plot(x,y,*),hold onfplot(sin,0 10)三次(sn c)樣條插值（spline）x=0:1:10;y =sin(x);plot(x,y,co),hold onxi=0:0.05:10;yi4=interp1(x,y,xi,spline);plot(xi,yi4,kh),text(4.62,0.8158,三次(sn c)樣條插值rightarrow)plot(

6、x,y,*),hold onfplot(sin,0 10)改變(gibin)三次樣條插值的點(diǎn)不同的情況變化，以及插值范圍的變化改變(gibin)插值點(diǎn)的條件變化如下所示：x=0:1:10;y =sin(x);plot(x,y,co),hold onxi=0:1:10;yi4=interp1(x,y,xi,spline);plot(xi,yi4,kh),text(4.62,0.8158,三次(sn c)樣條插值rightarrow)plot(x,y,*),hold onfplot(sin,0 10)觀察初試數(shù)據(jù)的變化對于(duy)插值的影響：x=0:2:10;y=sin(x);plot(x,y,

7、go),hold onezplot(sin,0 10)xi=0:0.15:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(xi,yi,r+),text(0.5876,0.2537,leftarrow線性插值)yi2=interp1(x,y,xi,nearst);plot(xi,yi2,c*),text(6.947,-0.258,leftarrow最近(zujn)插值)yi3=interp1(x,y,xi,pchip);plot(xi,yi3,md),text(2.408,0.8333,leftarrow立方(lfng)插值)yi4=interp1(x,y,xi,spline);plot(

8、xi,yi4,kh),text(1.601,1.138,leftarrow三次樣條插值)結(jié)論(jiln)與分析：可以看出，分段線性插值的光滑性較差（特別是在附近彎曲處），建議(jiny)選用三次樣條插值的結(jié)果。Spline插值效果(xiogu)較好。分段低次多項式插值通常有較好的收斂性和穩(wěn)定性，算法簡單，但插值函數(shù)光滑性變差。而且多項式插值是經(jīng)過數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，樣條插值在端點(diǎn)的誤差與線性插值相比誤差較大，而線性插值的數(shù)據(jù)偏離不大。而線性插值一般是在對于數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化比較小的時候使用。插值函數(shù)一般是已知函數(shù)的線性組合或者稱為加權(quán)平均。在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)較少時，插值技術(shù)在工程實踐和科學(xué)實驗中有著廣泛而又十分

9、重要的應(yīng)用。例如在信息技術(shù)中的圖像重建、圖像放大過程中為避免圖像失真、扭曲而增加的插值補(bǔ)點(diǎn)，建筑工程的外觀設(shè)計，化學(xué)工程試驗數(shù)據(jù)與模型分析，天文觀測數(shù)據(jù)、地理信息數(shù)據(jù)的處理，社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計分析等方面，插值技術(shù)的應(yīng)用是不可或缺的。分段線性插值函數(shù)（僅連續(xù)）與三次樣條插值函數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）雖然光滑性差，但他們都克服了拉格朗日插值函數(shù)的缺點(diǎn)，不僅收斂性、穩(wěn)定性強(qiáng)，而且方法簡單實用，計算量小。因而應(yīng)用十分廣泛。但是要注意高次插值多項式的龍格（Runge）現(xiàn)象，一般把這種多項式次數(shù)越高而插值結(jié)果越偏離原函數(shù)的現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象，所以在工程應(yīng)用過程中不熟悉 HYPERLINK /view/53463.htm t _blank 曲線運(yùn)動趨勢的前提下，不要輕易使用高次插值。內(nèi)容總結(jié)（1）姓名：方健 學(xué)號：6520817