北京市東直門(mén)2021-2022學(xué)年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1九章算術(shù)有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠， 長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細(xì)的一端截下一尺，重斤，問(wèn)各尺依次重多少?”按這一問(wèn)題的顆設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重

2、量依次成等差數(shù)列，則從粗端開(kāi)始的第二尺的重量是（ ）A斤B 斤C斤D斤2如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（ ）ABCD3命題：的否定為ABCD4已知直線與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為（ ）A4BCD5已知函數(shù)，則（ ）AB1C-1D06某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為( )ABCD7二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）AB80CD1608已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)

3、度D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度9設(shè)集合，則 ()ABCD10若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（ ）ABC4D511已知函數(shù)的零點(diǎn)為m，若存在實(shí)數(shù)n使且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD12已知隨機(jī)變量滿足，.若，則（ ）A，B，C，D，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷(xiāo)售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_.14如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和，并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次

4、為、以及、一只螞蟻欲從點(diǎn)出發(fā)，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為_(kāi)參考數(shù)據(jù)：；）15已知隨機(jī)變量，且，則_16已知， 是互相垂直的單位向量，若 與的夾角為60，則實(shí)數(shù)的值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.19（12分）已知點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點(diǎn)），與拋物線C的準(zhǔn)線交于M，N兩點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交

5、點(diǎn)為H過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值20（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，E是PD的中點(diǎn)證明：；設(shè)，點(diǎn)M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值21（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點(diǎn)，且，.求證：平面；求點(diǎn)到平面的距離.22（10分）設(shè)實(shí)數(shù)滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求證：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】依題意，金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成

6、得等差數(shù)列為，設(shè)首項(xiàng)，則，公差，.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2D【解析】由半圓面積之比，可求出兩個(gè)直角邊 的長(zhǎng)度之比，從而可知，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解】解：由題意知 ，以 為直徑的半圓面積，以 為直徑的半圓面積，則，即.由 ，得 ，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.3C【解析】命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C4C【解析】根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點(diǎn)，得到，

7、再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，此時(shí)， 因?yàn)?，在遞增，所以的最大值.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5A【解析】由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6A【解析】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入

8、求得表面積公式計(jì)算【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且平面，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵7A【解析】求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，是基礎(chǔ)題.8A【解析】由的最小正周期是，得

9、，即，因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象故選A考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法：9B【解析】直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可【詳解】解：； 故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.10D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計(jì)算它的模長(zhǎng)【詳解】解：復(fù)數(shù)za+bi，a、bR；2z，2（a+bi）（abi），即，解得a3，b4，z3+4i，|z|故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長(zhǎng)度的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題11D【解析】易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點(diǎn),通過(guò)已知可求得,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

10、使方程在區(qū)間上有解,化簡(jiǎn)可得,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為，所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋?故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查了方程有解問(wèn)題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,難度較難.12B【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足，.所以服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，因?yàn)椋?，由二次函?shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性

11、質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13360【解析】先計(jì)算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，面積和超過(guò)0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14【解析】根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，以為圓心，1為半徑

12、，分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因?yàn)?，且由誘導(dǎo)公式可得，所以最短距離為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開(kāi)至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.150.1【解析】根據(jù)原則，可得，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：隨機(jī)變量，則期望為所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.16【解析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出的值

13、【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，1），（1，）；又夾角為60，（）（）2cos60，即，解得【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（）;（）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得，兩式作差，得所以考點(diǎn) 1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前

14、項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.18 (1)；(2) .【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡(jiǎn)不等式為，再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍詳解：（1）當(dāng)時(shí)，可得的解集為（2）等價(jià)于而，且當(dāng)時(shí)

15、等號(hào)成立故等價(jià)于由可得或，所以的取值范圍是點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向19 (1) (2)4【解析】（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入拋物線中求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及垂直關(guān)系，得出關(guān)系式，計(jì)算的值即可【詳解】（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入中，求得，P（2，），點(diǎn)

16、P到準(zhǔn)線的距離為，解得，拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為，；設(shè)，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，由，可得，又，即，把代入得，則【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線與圓的方程應(yīng)用問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題20（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由平面平面的性質(zhì)定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為，得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面，平面平面= ，所以 .由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，在中，由正弦定理可得：，即，平面，.（

17、2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè) ，則， , 得，而，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用，屬于中檔題.21（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；（2）取中點(diǎn)為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，為直三棱柱，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以 平面，又,平面（2），又分別是中點(diǎn)，.由（1）知，,又平面,取中點(diǎn)為,連接如圖,則，平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題