北京西城8中2021-2022學(xué)年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知x，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件2等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）ABCD3已知直線過(guò)圓的圓心，則的最小值為（ ）A1B2C3D44若，點(diǎn)C在AB上，且，設(shè)，則的值為（ ）A

2、BCD5已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）ABCD6若復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）ABCD8某中學(xué)有高中生人，初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（ ）ABCD9隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（ ）A1月至8月空氣合格天數(shù)超過(guò)天的月份有

3、個(gè)B第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D6月份的空氣質(zhì)量最差.10已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（ ）ABCD11如圖，某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為( )ABC6D與點(diǎn)O的位置有關(guān)12如圖所示，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13安排名男生和名女生參與完成項(xiàng)工作，每人參與一項(xiàng)

4、，每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則不同的安排方式共有_種（用數(shù)字作答）.14直線是曲線的一條切線為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)_.15實(shí)數(shù)，滿足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則的最小值為_(kāi)16設(shè)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，則；對(duì)，函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列其中，正確命題的序號(hào)是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存

5、在公切線18（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點(diǎn)為是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的最大距離.19（12分）已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、，交拋物線于另兩點(diǎn)、，記拋物線在點(diǎn)的切線的傾斜角為，直線的傾斜角為，求證：與互補(bǔ).20（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到

6、曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線交于點(diǎn)，將射線繞極點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)交曲線于點(diǎn).（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）求面積的最大值21（12分）如圖，在三棱柱中，平面，且.（1）求棱與所成的角的大小；（2）在棱上確定一點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為.22（10分）中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30 cm，寬26 cm，其內(nèi)部窗芯（不含長(zhǎng)方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為x cm和y cm，窗芯所需

7、條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng)（1）試用x，y表示L；（2）如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2 cm，每個(gè)菱形的面積為130 cm2，那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形木料（不計(jì)榫卯及其它損耗）？參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤，當(dāng)時(shí)，不妨取，故時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.2D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因?yàn)?，所以有?/p>

8、是方程的二實(shí)根，又，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D考點(diǎn)：等比數(shù)列3D【解析】圓心坐標(biāo)為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開(kāi)計(jì)算即可得到所求最小值【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號(hào)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題4B【解析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出【詳解】解：，又在上，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用5D【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題

9、得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以為上的偶函?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，且，解?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6D【解析】利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7D【解析】構(gòu)造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0,lnx0,f(x)0;當(dāng)x(1,

10、+)時(shí),g(x)0,f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明

11、快的思路，有著非凡的功效8B【解析】利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【詳解】由題意，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.9D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差故本題答案選10D【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和11B【解析】根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖

12、去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因?yàn)殡u蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點(diǎn)距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題，考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí)，可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫

13、出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面，然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131296【解析】先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后從4個(gè)女生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后全排列即可.【詳解】由于每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有種.故答案為：1296【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.14【解析】根據(jù)切線的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得切線方程，通過(guò)對(duì)比系

14、數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點(diǎn)為，故切線為，即，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為，確定出的值，進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義，從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線的截距最大時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線為，作出直線，交于A點(diǎn)，由圖象可知，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，所以直線也過(guò)A點(diǎn)，由，得，代入，得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為等價(jià)于點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，取得最小值，最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在解

15、題的過(guò)程中，注意正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.16【解析】根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)又因?yàn)闉榕己瘮?shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當(dāng)時(shí)有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故正確；若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，即，與的交點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，時(shí)恒成立又當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點(diǎn)不超過(guò)個(gè)，則，故正確；對(duì)，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故正確故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)

16、合思想，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則因?yàn)?，則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立；又，所以，即（2）設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，切線方程為若存在，使成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由得消去得即令，則所以，

17、函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，使得時(shí)總有又時(shí)，在上總有解綜上，函數(shù)與總存在公切線【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.18（1），直線的傾斜角為（2）【解析】（1）由公式消去參數(shù)得普通方程，由公式可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角；（2）求出直線與軸交點(diǎn)，用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo)，求出，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值【詳解】（1）由，消去得的普通方程是： 由，得，將代入上式，化簡(jiǎn)得直線的傾斜角為（2）在曲線上任取一點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題求兩點(diǎn)

18、間距離的最值時(shí)，用參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題19（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，同理可得，進(jìn)而得到，再利用點(diǎn)差法得直線的斜率，利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線的斜率，進(jìn)而可得與互補(bǔ).【詳解】（1）由題意設(shè)直線的方程為，令、，聯(lián)立，得，根據(jù)拋物線的定義得，又，故所求拋物線方程為.（2）依題意，設(shè)，設(shè)的方程為，與聯(lián)立消去得，同理，直線的斜率=切線的斜率，由，即與互補(bǔ).【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線斜率的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題20（1）

19、（為參數(shù)）；（2）.【解析】（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線的參數(shù)方程可得出曲線的參數(shù)方程；（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程，得出和關(guān)于的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值【詳解】（1）由于曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得，化為極坐標(biāo)方程得，即，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程得，的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解三角形面積的最值問(wèn)題，要熟悉極坐標(biāo)方程所適用的基本類型，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.21（1） （2）【解析】試題分析：（1）因?yàn)锳BAC，A1B平面ABC，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸，以過(guò)A，且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱AA1與BC上的兩個(gè)向量，