c題全國二等獎(jiǎng)——“輸油管的布置”優(yōu)化方案（黎照開、鄭宗義、巫娜）

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括 、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題.我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的， 如果引用別人的成果或其他共開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出.我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的共正、共平性.如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理.我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： C題 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 4112 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?中山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 黎照開 2. 鄭宗義 3. 巫娜 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 楊晶晶 日期：2010 年9月13 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： “輸油管的布置”優(yōu)化方案摘要本文研究了當(dāng)鋪設(shè)管線費(fèi)用為最低時(shí)的各種情形，以鋪設(shè)管線總費(fèi)用

3、最少為目標(biāo)函數(shù)，建立共七個(gè)模型，并對(duì)其進(jìn)行對(duì)比，結(jié)合實(shí)際提出了通用可行的模型及方案.對(duì)于問題一我們依靠鏡面反射原理找出了沒有共用管線時(shí)車站的位置.在已知兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離時(shí)，建立模型一求出管線鋪設(shè)總費(fèi)用的解.在實(shí)際問題二、三中，針對(duì)每個(gè)模型我們都考慮了兩種方案來對(duì)比最少的管線鋪設(shè)總費(fèi)用. 本文用層次分析法給各個(gè)資質(zhì)共司資格標(biāo)準(zhǔn)的影響因素確定了不同的權(quán)重，得出拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用為萬元.為方便模型對(duì)比，我們約定，方案一為拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用萬元的情形，方案二為萬元的情形.問題二中單用管線與共用管線的鋪設(shè)費(fèi)用都相同.經(jīng)分析我們建立了模型二及其優(yōu)化模型三，并利用軟件和編程，

4、對(duì)模型和算法進(jìn)行了求解，最后得出模型二方案一的最優(yōu)解為萬元;模型二方案二的最優(yōu)解為萬元.問題三中單用管線與共用管線的鋪設(shè)費(fèi)用都是不同的，為此我們建立了模型四、模型五 、模型六及優(yōu)化模型七，由于每個(gè)模型有兩種不同的方案，因此我們共對(duì)八個(gè)方案進(jìn)行比較，得出問題三中這四個(gè)模型的最優(yōu)解為模型七，其中模型七方案一的最優(yōu)解為萬元;模型七方案二的最優(yōu)解為萬元.最后本文分析并檢驗(yàn)了模型的合理性、模型的優(yōu)缺點(diǎn)及可能的改進(jìn)方向，同時(shí)提出了一些建議.Js! e& ; u, c關(guān)鍵字：優(yōu)化 鏡面反射 費(fèi)馬點(diǎn) 管線鋪設(shè)總費(fèi)用 層次分析法 = 1 * CHINESENUM3 一、問題重述某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油

5、廠，并在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來輸送成品油.油田設(shè)計(jì)院希望在能找到解決這個(gè)問題的方案的同時(shí)，能使管線建設(shè)費(fèi)用最少. = 1 * Arabic 1、由于兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，需要建立優(yōu)化模型方案.在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形. = 2 * Arabic 2、現(xiàn)要求對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì).兩煉油廠的具體位置由下圖1.1所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），虛線表示兩個(gè)區(qū)域的分界線.圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20.假

6、設(shè)所有的輸油管的鋪設(shè)費(fèi)用為7.2萬元/每平方米，鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需要支付一定的拆遷和工程補(bǔ)助附加的費(fèi)用，聘請(qǐng)了三家工程咨詢公司進(jìn)行對(duì)此附加費(fèi)用估算.估算的結(jié)果如題，結(jié)合具體情況，設(shè)計(jì)出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用是多少.表一3、在實(shí)際情況中，設(shè)計(jì)院為了進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選擇相適應(yīng)的油管進(jìn)行運(yùn)送成品油.輸送A廠成品油的管線鋪設(shè)費(fèi)用降到了5.6萬元/每平方米，輸送B的成品降至6.0萬元/每平方米，共用管線的費(fèi)用為7.2萬元/每平方米，也許增加附加費(fèi)用，附加費(fèi)用如題.請(qǐng)結(jié)合具體情況，設(shè)計(jì)出管線布置的最優(yōu)方案及求出相應(yīng)的費(fèi)用是多少.二、問題分析從題目中我們可以知道，有兩家剛建造的煉油

7、廠向增建的車站輸油，要求設(shè)計(jì)一個(gè)花費(fèi)最少的管線鋪設(shè)總費(fèi)用方案.問題一中，在已知道煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離情況下，考慮有共用管道與沒共用管線時(shí)的不同鋪設(shè)方案，分別給不同管線鋪設(shè)提供最優(yōu)方案.從問題一中，我們引申出來的問題有：1、假設(shè)在沒有用到共用管線的情況下，就是說要分別求出A、B廠鋪設(shè)管線到車站的管線鋪設(shè)總費(fèi)用的最小值.而兩個(gè)廠的管線鋪設(shè)費(fèi)用單價(jià)是固定的，實(shí)際上問題可以轉(zhuǎn)化成求在鐵路線上是否存在一點(diǎn)使得該點(diǎn)到兩廠的路徑之和最小.利用鏡面反射原理我們可以求出這個(gè)點(diǎn)，從而解決這個(gè)問題.2、假設(shè)有用到共用管線的情況下，又需考慮單用管線與共用管線鋪設(shè)費(fèi)用相同與不相同的情形，可以建立一個(gè)求管線

8、鋪設(shè)總費(fèi)用最少的目標(biāo)函數(shù)，利用軟件和分別求出最小值；而當(dāng)在兩者費(fèi)用相同時(shí)，因?yàn)殇佋O(shè)費(fèi)用固定，我們轉(zhuǎn)化為求A、B廠到車站組成的三角形中內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到A、B點(diǎn)與車站T點(diǎn)的路徑之和最小 .建立一個(gè)求該路徑之和最短的的目標(biāo)函數(shù)，利用求解，可知求出的該點(diǎn)為三角形ABT的費(fèi)馬點(diǎn).問題二中假設(shè)所有的輸油管的鋪設(shè)費(fèi)用為萬元/每平方米，并且管線總費(fèi)用中，增加了附加費(fèi)用（拆遷和工程補(bǔ)助等費(fèi)用）.要求設(shè)計(jì)一個(gè)管線布置最優(yōu)解與花費(fèi)最少.其實(shí)問題二是相對(duì)于問題一增加了限制條件，但實(shí)質(zhì)上還是與問題一中求三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)是一致的，只是要通過分析給予影響共司資質(zhì)的因素的權(quán)重求出附加費(fèi)用，從而求出管線鋪設(shè)總費(fèi)用的最

9、小值.問題三又是在問題一、問題二的基礎(chǔ)上，在A、B廠到車站T各自的鋪設(shè)管線費(fèi)用與共用管線鋪設(shè)費(fèi)用各不相同時(shí)的、情況下，求管線鋪設(shè)總費(fèi)用的最小值.該問題也是在前二個(gè)問題上的進(jìn)一步深化，本問題中的關(guān)鍵是考慮好怎樣使得拆遷段的路徑最小，或者直線上是否存在一點(diǎn)使得管線布置花費(fèi)最少. 三、模型假設(shè)1、地理環(huán)境因素不影響管線的鋪設(shè)；2、輸油管的體積、大小、厚度是一致的；3、地面對(duì)輸油管的壓強(qiáng)、比熱容是一致的；4、鐵路沿線一直保持是筆直的；5、管線與管線接口處在接口是損失量忽略不計(jì)；四、符號(hào)約定： 車站所在處； ： 過點(diǎn)作平行于鐵路沿線且與兩區(qū)域的分界線相交的點(diǎn)，坐標(biāo)為；F： 為建立的直角坐標(biāo)系中的某一點(diǎn)；

10、 ： 煉油廠的坐標(biāo)； ： 煉油廠的坐標(biāo)； ： 管線的鋪設(shè)費(fèi)用相同時(shí)的鋪設(shè)費(fèi)用； ： 非共用管線的鋪設(shè)費(fèi)用； ： 非共用管線的鋪設(shè)費(fèi)用； ： 共用管線的鋪設(shè)費(fèi)用； ： 拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用等附加費(fèi)用；五、模型的建立、求解與分析5.1 問題一的求解5.1.1無共用管道 針對(duì)兩煉油廠無共用管線的情況，兩廠到鐵路線的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形來設(shè)計(jì)管線鋪設(shè)的方案，在沒有用到共用管線的情況下，對(duì)于、廠鋪設(shè)管線到車站的各自管線鋪設(shè)總費(fèi)用的最小值，兩個(gè)廠的管線鋪設(shè)費(fèi)用單價(jià)是一定的且相等的，實(shí)際上是轉(zhuǎn)化成求在鐵路線上是否存在一點(diǎn)使得該點(diǎn)到兩廠的路徑之和最小.由鏡面反射原理可以找到車站的位置，使得兩

11、煉油廠到車站的距離之和最短，這樣鋪設(shè)管線的成本也就最小.圖1.2 在圖1.2中可看到當(dāng)或 時(shí)，由鏡面反射原理知車站的位置.可知：，可解出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知道 與 的長(zhǎng)度，鋪設(shè)管線總費(fèi)用最少為各自路徑的長(zhǎng)度乘上自身鋪設(shè)管線的價(jià)格的總和，即.當(dāng)、的鋪設(shè)路費(fèi)相等即時(shí)；鋪設(shè)管線總費(fèi)用最少為.圖1.3當(dāng)、分別到鐵路線上的距離相等即時(shí)，由勾股定理可以很快的得到點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，鋪設(shè)管線總費(fèi)用最少為各自路徑的長(zhǎng)度乘上自身鋪設(shè)管線的價(jià)格的總和，即有：當(dāng)、的鋪設(shè)路費(fèi)相等即時(shí)，鋪設(shè)管線總費(fèi)用最少為： 5.1.2 存在共用管線對(duì)于在5.1.1的基礎(chǔ)上再考慮兩煉油廠在鋪設(shè)管線的時(shí)候存在共用管線的情況，首先考慮成本

12、最低的情形.如下圖1.4所示，這樣問題就歸結(jié)為：在鐵路沿線上求一點(diǎn)（車站的位置），并且在直線與鐵路之間找一點(diǎn)，即費(fèi)馬點(diǎn)，使得單用管線總長(zhǎng)度乘以單用管線費(fèi)用加上共用管線長(zhǎng)度乘以共用管線費(fèi)用之和最小.（1）這里先考慮非共用管線的費(fèi)用是一致的情形.即考慮的情形.那么共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形也就是考慮、的取值是否相等的問題.當(dāng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線相同的時(shí)候取=；當(dāng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不同的時(shí)候取.圖1.4我們建立模型一如下:目標(biāo)函數(shù)為 要使函數(shù)取得最小值，必有偏導(dǎo)數(shù)等于0： 經(jīng)計(jì)算得：再把的值代入上面的目標(biāo)函數(shù)即可得到所求解.（2）而當(dāng)非共用管線的費(fèi)用不一致時(shí)，

13、即的時(shí)候，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?類似地，我們也可以求得的值，把代入也同樣地可得到最小值.問題三正是此種情形，我們可以利用Lingo軟件來求解.5.2問題二的分析與建模 現(xiàn)在點(diǎn)固定且管線鋪設(shè)的費(fèi)用均為每千米7.2萬元，但是，由于煉油廠在城區(qū)里面，在鋪設(shè)管道的情況下還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，對(duì)三家工程咨詢共司進(jìn)行定量的分析：級(jí)別咨詢單位的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)與該單位的基本條件、技術(shù)力量、技術(shù)水平和裝備、管理水平四個(gè)方面有關(guān)，通過網(wǎng)上的調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)在對(duì)公司進(jìn)行評(píng)定的過程中，各個(gè)資格標(biāo)準(zhǔn)對(duì)級(jí)別評(píng)定有很大的影響.結(jié)合網(wǎng)上的調(diào)查與分析，給各個(gè)資格標(biāo)準(zhǔn)劃分權(quán)重.其中基本條件：技術(shù)力量：技術(shù)水平和裝備：管理水平=

14、2：4：3：1.再通過賦值的方法，給公司一的基本條件這方面賦值為100分.根據(jù)甲級(jí)資質(zhì)公司要從事工程咨詢業(yè)務(wù)5年以上，獨(dú)立承擔(dān)國家或地方大型基本建設(shè)項(xiàng)目或技術(shù)改造限上項(xiàng)目的工程咨詢?nèi)蝿?wù)不少于10項(xiàng)，社會(huì)信譽(yù)卓著，而乙級(jí)的基本條件從事工程咨詢業(yè)務(wù)3年以上，獨(dú)立承擔(dān)國家或地方中型基本建設(shè)項(xiàng)目或技術(shù)改造限上項(xiàng)目的工程咨詢?nèi)蝿?wù)不少于10項(xiàng)，社會(huì)信譽(yù)良好所以公司二、公司三的賦值是分；同樣地給公司一的技術(shù)力量、技術(shù)水平和裝備、管理水平分別賦值為100分.技術(shù)力量方面的，甲級(jí)評(píng)定要求是專職從事工程咨詢業(yè)務(wù)的技術(shù)人員不得少于24人，其中具有高級(jí)專業(yè)技術(shù)職稱或注冊(cè)咨詢工程師資格的人員不得少于30%，從事工程咨詢

15、業(yè)務(wù)5年以上的技術(shù)骨干不得少于6人.乙級(jí)的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)是專職從事工程咨詢業(yè)務(wù)的技術(shù)人員不得少于15人，其中具有高級(jí)專業(yè)技術(shù)職稱或注冊(cè)咨詢工程師資格的人員不得少于20%，從事工程咨詢業(yè)務(wù)3年以上的技術(shù)骨干不得少于3人，所以公司二、公司三在這方面的賦值為100分. 而在技術(shù)水平與裝備方面甲級(jí)評(píng)定要求直接從事業(yè)務(wù)的專業(yè)技術(shù)人員人均配備計(jì)算機(jī)1臺(tái)，通信及信息處理手段完備，能應(yīng)用工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)系統(tǒng)軟件開展業(yè)務(wù)，運(yùn)用計(jì)算機(jī)完成工程咨詢成果文件編制達(dá)到100%，經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)系統(tǒng)軟件的應(yīng)用達(dá)到100%.乙級(jí)的需直接從事業(yè)務(wù)的專業(yè)技術(shù)人員中80%配備計(jì)算機(jī)，運(yùn)用計(jì)算機(jī)完成工程咨詢成果文件編制達(dá)到80%以上，經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)

16、軟件的應(yīng)用達(dá)到80%以上，所以公司二、公司三的技術(shù)水平與裝備方面的賦值為.管理方面的甲級(jí)需有完善的組織機(jī)構(gòu)，健全的管理班子，嚴(yán)格的管理制度.建立了比較完善的質(zhì)量管理體系和制度，或已通過ISO9000族質(zhì)量管理體系認(rèn)證.乙級(jí)需、有完善的組織機(jī)構(gòu)，健全的管理班子，完備的管理制度，建立了以質(zhì)量為中心的管理體系.所以公司二、公司三這方面的賦值為.每個(gè)公司的總分等于各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)乘上各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重之和.詳細(xì)情況如下表二通過以上分析得出附加費(fèi)用=21.6（萬元/千米）.而在生活實(shí)際中，經(jīng)調(diào)查，人們?cè)谶x擇工程咨詢公司的時(shí)候，通常會(huì)選擇可靠性較高的具有甲級(jí)資質(zhì)的公司的數(shù)據(jù)，對(duì)此在計(jì)算附加費(fèi)用的時(shí)候直接選取甲級(jí)資質(zhì)的

17、共司所估算的數(shù)據(jù)，即附加費(fèi)用=21（萬元/千米）.我們約定，以下的所有模型均設(shè)立兩個(gè)方案，其中方案一為=21.6（萬元/千米）的情形，其中方案二為=21.6（萬元/千米）的情形.表二：公司資格標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定公公共場(chǎng)所司資格標(biāo)準(zhǔn)公司一（甲級(jí)資質(zhì)）公司二（乙級(jí)資質(zhì)）公司三（乙級(jí)資質(zhì)）基本條件100分60分60分技術(shù)力量100分62.5分62.5分技術(shù)水平和裝備100分80分80分管理水平100分70分70分總分100分68分68分 通過觀察分析可知：在城區(qū)鋪設(shè)管線的成本每千米要比郊區(qū)鋪設(shè)成本的費(fèi)用要多出21.6萬元，考慮到這巨大的差額，在城區(qū)鋪設(shè)管道的時(shí)候線路盡可能的少，以降低鋪設(shè)管道的成本和減少拆遷過

18、程中所造成的擾民可能性.如圖1.5所示: 圖1.5為城區(qū)鋪設(shè)管線的最短路線.在郊區(qū)的部分盡可能考慮總的鋪設(shè)線路最短，即存在一點(diǎn)F即費(fèi)馬點(diǎn)，使取得最小值，（管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元）再加上城區(qū)的管線鋪設(shè)費(fèi)用與拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)，建立目標(biāo)函數(shù)為：模型二方案一 要使函數(shù)取得最小值，必有導(dǎo)數(shù)等于0：聯(lián)立上述兩式解得：把代入式得=284.3309萬元管線的布置方案如下圖1.6圖1.6 模型二方案二目標(biāo)函數(shù)為： 要使函數(shù)取得最小值，必有導(dǎo)數(shù)等于0：聯(lián)立上述兩式解得：把代入目標(biāo)函數(shù)可得萬元 5.2.2 問題二的優(yōu)化 在郊區(qū)和城區(qū)的分界線上設(shè)動(dòng)點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)在這分界線上必定存在一點(diǎn)使整個(gè)管線布置方

19、案所需的總費(fèi)用取得最小值，考慮到在模型二方案一中直接選取了點(diǎn)的不足，建立優(yōu)化模型三方案一：在直線AB與鐵路之間找一點(diǎn)F，使得（管線鋪設(shè)的總費(fèi)用）取得最小值，模型三方案一建立如下目標(biāo)函數(shù)： 要使函數(shù)取得最少值，必有導(dǎo)數(shù)等于0：聯(lián)立上述3個(gè)方程解得：， 總費(fèi)用萬元，管線的布置方案如下圖1.7圖1.7模型三方案二建立如下目標(biāo)函數(shù)： 要使函數(shù)取得最少值，必有導(dǎo)數(shù)等于0：聯(lián)立上述3個(gè)方程解得：， 總費(fèi)用萬元5.3問題三的分析與建模在考慮附加費(fèi)用最小的情況下（城區(qū)管線的鋪設(shè)路線為連線）.設(shè)當(dāng)廠A到車站的連線與廠到車站的連線的交點(diǎn)在軸上時(shí)，即與重合時(shí)候，找到一個(gè)點(diǎn)使得、廠的總管線費(fèi)用最少.此時(shí)管道鋪設(shè)線路為

20、模型四方案一要使得總鋪設(shè)的管線費(fèi)用最少就要求出 A廠到車站的管道鋪設(shè)費(fèi)用加上B廠到車站的管道鋪設(shè)費(fèi)用、B廠鋪設(shè)到點(diǎn)的管線鋪設(shè)的費(fèi)用與拆遷費(fèi)用之和的最小值從而得到目標(biāo)函數(shù)為：即:解得把代入目標(biāo)函數(shù)z,求得該方案鋪設(shè)管道的總費(fèi)用萬元模型四方案二目標(biāo)函數(shù)為:即:解得把代入目標(biāo)函數(shù)z求得該方案鋪設(shè)管道的總費(fèi)用萬元當(dāng)廠A到車站的連線與廠B到車站的連線的交點(diǎn)在直線與鐵路之間，不包括交點(diǎn)在軌道x上時(shí)，找到一個(gè)點(diǎn)使得A、B廠的總管線費(fèi)用最少， 路徑如圖1.9所示為：，要使得總鋪設(shè)的管線費(fèi)用最少就要求出 A廠到車站的管道鋪設(shè)費(fèi)用加上B廠到車站的管道鋪設(shè)費(fèi)用、B廠鋪設(shè)到點(diǎn)的管線鋪設(shè)的費(fèi)用與拆遷費(fèi)用、共用管線的鋪設(shè)

21、費(fèi)之和的最小值從而得到模型五方案一目標(biāo)函數(shù)為：約束條件： 解得萬元，管線的布置方案如下圖1.8圖1.8模型五方案二建立目標(biāo)函數(shù)：約束條件： = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 解得萬元如下圖1.9所示，當(dāng)廠A到車站的連線與廠B到車站的連線的交點(diǎn)不在直線與鐵路之間時(shí)，管線的鋪設(shè)總費(fèi)用總是小于路徑為的管線鋪設(shè)總費(fèi)用（間的距離直線最短），所以在這種情況下，路徑為的管線鋪設(shè)總費(fèi)用是最少.要使到該路徑管線鋪設(shè)總費(fèi)用是最少就要使A廠到車站（與原點(diǎn)重合）的共用管道鋪設(shè)費(fèi)用加上廠到A廠的管道鋪設(shè)費(fèi)用、B廠鋪設(shè)到點(diǎn)的管線鋪設(shè)的費(fèi)用與拆遷費(fèi)用之和的最小值從而得到目標(biāo)函數(shù)為： 模型六方案一經(jīng)

22、解得萬元模型六方案二目標(biāo)函數(shù):經(jīng)解得萬元.綜上所述，該模型中假設(shè)廠鋪設(shè)到點(diǎn)的管線鋪設(shè)與拆遷是必須要的前提條件下，當(dāng)廠到車站的距離與廠到車站的距離的交點(diǎn)在軌道上時(shí)，鋪設(shè)管線的總費(fèi)用最少為模型五情形下的方案一: 萬元，方案二:萬元.圖1.95.3.2 問題三的模型優(yōu)化 對(duì)于第三個(gè)問題，前面的模型四、模型五、模型六均是有條件地建立模型，為了更加適應(yīng)于實(shí)際的情況而且能具有通用性而提出建立問題三的優(yōu)化模型，從成本最低的方向出發(fā)建立優(yōu)化模型七，建立目標(biāo)函數(shù)，使如圖2.0所示4段鋪設(shè)管線的線路所花費(fèi)的成本最小：圖2.0模型七方案一目標(biāo)函數(shù):要使函數(shù)取得最少值，必有導(dǎo)數(shù)等于0：；.經(jīng)解得: 總費(fèi)用Z=252.

23、4737萬元，其中管線的布置方案如下圖2.0圖2.1模型七方案二要使函數(shù)取得最少值，必有導(dǎo)數(shù)等于0：；.經(jīng)解得： 6.742378 0.1326963 ，7.265875 總費(fèi)用Z=249.4422萬元，對(duì)于問題三，可以發(fā)現(xiàn)四個(gè)模型中，模型七算出來的管線建設(shè)費(fèi)用是最低的，是在模型四的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化拓展，使得模型七不僅是能建立各種管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型，而且是能求出管線最短的的方案.六、模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：1）能夠定量地計(jì)算出鋪設(shè)管道成本最低的費(fèi)用值.2）模型能夠推廣到其他輸油，輸氣管線，通訊光纜的合理鋪設(shè)，道路規(guī)劃與社區(qū)選址的優(yōu)化配置等等. 3）除了成本最低的模型外還建立了符合生活實(shí)際的模

24、型缺點(diǎn)：1）并沒有考慮到鐵路是彎曲的情況； 2）沒有對(duì)實(shí)際操作性作出定量的分析.模型的推廣與改進(jìn)：1）在實(shí)際問題中，可以根據(jù)煉油廠發(fā)展速度的預(yù)算來選用相適應(yīng)的油管.既不要因?yàn)橛凸軉栴}而制約廠的發(fā)展，也不要因?yàn)橛凸軉栴}而造成廠資金的緊張. 2）模型可推廣到鐵路為曲線的情形，并通過測(cè)量數(shù)據(jù)來擬合出鐵路曲線函數(shù)，再分段用切線代替來構(gòu)造出一條連續(xù)折線.則可將每個(gè)直線視為鐵路.七、參考文獻(xiàn)1 王庚、 王敏生、 趙臨龍， 北京：科學(xué)出版社，2008.2.2 譚永基、蔡志杰，數(shù)學(xué)模型， 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.8.30.3 熊啟才、 曹吉利、 張東生、 趙臨龍，重慶：重慶大學(xué)出版社出版社，2005.

25、3.4 袁新生，邵大宏 郁時(shí)煉，Lingo和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，北京：科學(xué)出版社，2007.八、附錄費(fèi)馬點(diǎn)定義在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn). (1)若三角形ABC的3個(gè)內(nèi)角均小于120，那么3條距離連線正好平分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角.所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心. (2)若三角形中有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn). 問題一模型一目標(biāo)函數(shù)： 令為便于求解可化解為以下方程： = 1 * GB3 = 2 * GB3 由以上 = 1 * GB3 = 2 * GB3 解得：已知： = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3

26、* GB3 由 = 3 * GB3 得: = 4 * GB3 把 = 4 * GB3 代入 = 2 * GB3 得： = 5 * GB3 由 = 1 * GB3 得： = 6 * GB3 把 = 6 * GB3 代入 = 5 * GB3 得： = 7 * GB3 化簡(jiǎn) = 7 * GB3 式得： = 8 * GB3 把 = 8 * GB3 代入 = 1 * GB3 式：代入 = 8 * GB3 得 問題二模型二方案一 7.2*(4.9019)2+(2.1699-5)2)(1/2)+(4.9019-15)2+(2.1699-8)2)(1/2)+2.1699)+5*28.8=284.3309模型二

27、方案二7.2*(4.9019)2+(2.1699-5)2)(1/2)+(4.9019-15)2+(2.1699-8)2)(1/2)+2.1699)+5*28.2=281.3309模型三方案一7.2*(2*v-27.32)/(2*(186.6-27.32*v+v2)(1/2)+1/2+(2*v+7.32)/(2*(13.4+7.32*v+v2)(1/2)+(v-8)/(25+(v-8)2)(1/2)*28.8=0;Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value V 7.370011 Row Slack or Surplus 1 0.0

28、000007.2*(11.83-0.866*7.37)2+(-6.83+7.37/2)2)(1/2)-1.83+7.37/2+(-3.17-0.866*7.37)2+(-1.83-7.37/2)2)(1/2)+(25+(7.37-8)2)(1/2)*28.8=283.2013144模型三方案二程序：MIN=(x2+(y-5)2)(1/2)*7.2+(x-15)2+(y-v)2)(1/2)*7.2+7.2*y+(52+(v-8)2)(1/2)*28.2;x/(x2+(y-5)2)(1/2)+(x-15)/(x-15)2+(y-v)2)(1/2)=0;(y-5)/(x2+(y-5)2)(1/2)*

29、7.2+7.2+(y-v)/(x-15)2+(y-v)2)(1/2)*7.2=0;(v-y)/(x-15)2+(y-v)2)(1/2)*7.2+(v-8)/(25+(v-8)2)(1/2)*28.2=0;Local optimal solution found at iteration: 74 Objective value: 280.1771 Variable Value Reduced Cost X 5.459260 0.000000 Y 1.848085 0.000000 V 7.356437 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.

30、1771 -1.000000 2 -0.5624679E-06 0.4915081E-04 3 -0.9580842E-05 0.4795814E-05 4 -0.2578868E-05 -0.2199405E-05問題三模型四方案一用matlab求解 syms y x; y=5.6*(x2+25)(1/2)+6*(15-x)2+64)(1/2)+5*27; diff(y，x) ans = 28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x)用lingo求解28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x

31、)=0Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value X 6.360285 Row Slack or Surplus 1 0.000000模型四方案二程序： syms y x; y=5.6*(x2+25)(1/2)+6*(15-x)2+64)(1/2)+5*27; diff(y，x)ans =28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x)用lingo求解28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x)=0Feasible solutio

32、n found at iteration: 0 Variable Value X 6.360285 Row Slack or Surplus 1 0.000000模型五方案一MIN=5.6*(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(15-i)2+(8-j)2)(1/2)+7.2*(i-t)2+j2)(1/2)+27.6*5;5.6*i/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(i-15)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)=0;5.6*(j-5)/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(j-8)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)+7.2*j/(i-t)2+y2)(1/2)=0;t=i

33、;Local optimal solution found at iteration: 166 Objective value: 253.8742 Variable Value Reduced Cost I 6.279418 0.000000 J 0.4669131 0.1316849E-07 T 6.279418 0.000000 Y 0.4669136 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 253.8742 -1.000000 2 0.000000 -0.1050998E-03 3 -0.1312798E-07 0.1730524E-05 4

34、 0.000000 -0.2420586E-04模型五方案二MIN=5.6*(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(15-i)2+(8-j)2)(1/2)+7.2*(i-t)2+j2)(1/2)+27*5;5.6*i/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(i-15)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)=0;5.6*(j-5)/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(j-8)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)+7.2*j/(i-t)2+y2)(1/2)=0;t=i;Local optimal solution found at iteration: 159 Objective value: 250.8742 Variable Value Reduced Cost I 6.279418 0.000000 J 0.4669131 0.1316849E-07 T 6.279418 0.000000 Y 0.4669136 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 250.8742 -1.000000 2 0.000000 -0.1050998E-03 3 -0.1312798E-07 0.1730524E-05 4 0