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文檔簡介

1、5 微積分學基本定理 一、變限積分與原函數的存在性 本節(jié)將介紹微積分學基本定理, 并用以證明連續(xù)函數的原函數的存在性. 在此基礎上又可導出定積分的換元積分法與分部積分法. 三、泰勒公式的積分型余項 二、換元積分法與分部積分法返回一、變限積分與原函數的存在性積分; 類似稱為變下限的定積分.定理9.9 ( 變上限定積分的連續(xù)性 )證則為變上限的定于是定理9.10（微積分學基本定理)若 f 在 a, b 上連續(xù),上處處可導,且由 x 的任意性, f 在 a, b 上連續(xù).證由于 f 在 x 處連續(xù)，因此注1 本定理溝通了導數與定積分這兩個表面上似續(xù)函數必存在原函數”這個重要結論.乎不相干的概念之間的

2、內在聯(lián)系, 也證明了“連注2 由于 f 的任意兩個原函數只能相差一個常數,定理9.11(積分第二中值定理)設 f 在a, b上可積.(i) 若函數 g 在 a, b 上單調減,且則存所以當 f 為連續(xù)函數時, 它的任一原函數 F 必為(ii) 若函數 g 在 a, b 上單調增, 且則存證這里只證 (i), 類似可證 (ii). 證明分以下五步:(1) 對任意分割 T：(4) 綜合 (2), (3), 得到推論即證 若 g 為單調遞減函數，則 h 非負、單調減,由定理 9.11(i)，因此即得二、 換元積分法與分部積分法則證定理9.12（定積分換元積分法）的一個原函數.因此注 與不定積分不同之

3、處: 定積分換元后不一定要例1解（不變元,不變限）元積分法時，引入了新變量，此時須改變積分限.保留原積分變量，因此不必改變積分限;用第二換用原變量代回.一般說來，用第一換元積分法時，例2解（變元,變限）例3解（必須注意偶次根式的非負性）例4解因此,定理9.13（定積分分部積分法）若 u(x),v(x)為 a, b 上的連續(xù)可微函數,則有定積分的分部積分公式：證因為 uv 是在 a, b 上的一個原函數,移項后則得所以例5解例6解于是其中若 u(x),v(x) 在 a, b 上有 (n+1) 階連續(xù)導函數,則三、泰勒公式的積分型余項由此可得以下帶積分型余項的泰勒公式.階連續(xù)導數, 則則定理9.14注 由推廣的積分第一中值定理,可得拉格朗日型由積分第一中值定理,可得此式稱為泰勒公式的柯西型余項.若

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