1002徐匯華約數(shù)學(xué)

1、在概率論中，隨機(jī)事件（或簡稱事件）指的是一個被賦與機(jī)率的事物集合，也就是樣本空間中的一個子集。簡單來說，在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某個特定事件可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)；但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增多，可以觀察到某種規(guī)律性的結(jié)果，就是隨機(jī)事件?；旧?，只要樣本空間是有限的，則在樣本空間內(nèi)的任何一個子集合，都可以被稱為是一個事件。然而，當(dāng)樣本空間是無限的時候，特別是不可數(shù)之時，就常常不能定義所有的子集為隨機(jī)事件了。因此，為了定義一個概率空間，常常需要去掉樣本空間的某些子集，規(guī)定他們不能成為事件。假設(shè)有一堆 52 張的牌，并閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌，那么用概率論的術(shù)語來說，實(shí)際上是在做一個隨機(jī)試驗(yàn)。這時，的樣本空間是一個

2、有著 52 個元素的集合，因?yàn)槿我庖粡埮贫际且粋€可能的結(jié)果。而一個隨機(jī)事件，則是這個樣本空間的任意一個子集。運(yùn)用組合知識可以知道，隨機(jī)事件一共有種。當(dāng)這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素（或者說它是一個單元素集合）的時候，稱這個事件為一個基本事件。比如說事件“抽到的牌是黑桃 7”。當(dāng)事件是空集時，稱這個事件為不可能事件。當(dāng)事件是全集時，則稱事件是必然事件。其它還有各種各樣的事件，比如：“抽到的牌是“抽到的牌是”（也是不可能事件）3”（基本事件）“抽到的牌數(shù)字是 9”（包含 4 個元素） “抽到的牌是方片”（包含 13 個元素）“抽到的牌是紅顏色的并且數(shù)字小于等于 10”（包含 20 個元素）“抽

3、到的牌不是3”（包含 51 個元素）由于事件是樣本空間的子集，所以也可以寫成集合的形式。有時候?qū)懗杉系男问娇赡軙堋Ｓ袝r候也可以用文氏圖來表示事件，這時可以用事件所代表圖形的面積來按比例顯示事件的概率。事件與概率空間當(dāng)樣本空間有限的時候，稱為古典概型。這時可以（也是一般用到的）取樣本空間的所有的子集作為事件。然而，當(dāng)樣本空間不是有限的時候，特別是當(dāng)樣本空間是實(shí)數(shù)的時候，就不能取所有的子集作為事件了。其中的根本原因在于概率的定義。一般來說，當(dāng)一個隨機(jī)事件的時候，希望知道它發(fā)生的概率。事件發(fā)生的概率是一個介于 0 和 1 之間的數(shù)。當(dāng)樣本空間是不可數(shù)的時候，如果取樣本空間所有的子集，那么概率論的

4、公理系統(tǒng)會產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的，也就是說，會有一些子集無法被定義概率。具體地說，概率論的公理系統(tǒng)是由三個部份組成的，又稱為概率空間。這個空間包括：樣本空間、事件集合（又稱為事件體）以及定義在這上面的一個取概率的運(yùn)算：。其中的事件集合是一個 -代數(shù)，而取概率的運(yùn)算需要滿足概率的加法公理（ -Additive）：如果一系列事件此亦稱為 pairwise disjo兩兩互斥（也就是說對任意的，都是空集。）那么就有：這個公理是符合一般人的的：如果幾件事情互相之間相互排斥，那么“它們幾個中有一個發(fā)生”的概率應(yīng)該等于其中每一個發(fā)生的概率的和。然而，對于不可數(shù)的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，會有一些子集，

5、無論怎樣為他們定義概率，都會加法公理。1一個反例，讓隨意說一個 0 到 1 之間的實(shí)數(shù)。假設(shè)和玩一個為了概率，選擇了所有0,1的子集作為概率集合。他將所有的 0 到 1 之間的有理數(shù)取出來。由于 0 到 1 之間的有理數(shù)是可數(shù)集合，所以可以做標(biāo)號：。對于每一個 0 到 1 之間的實(shí)數(shù) ，將作為一個集合，如果其中有大于 1 的，就減去 1。這個集合是由可數(shù)個數(shù)的，把它記作。所有這些集合的并集是區(qū)間0,1，而它們之間兩兩不相交。然后將每個寫成：再令：遍歷所有集合中的所的集合。遍歷所有集合中的所的集合。如此等等，的并集也是區(qū)間0,1，那么所得到的事件（也就是集合）而且它們之間兩兩不相交。由于這些事件

6、之間地位相等，所以它們的概率都是一樣的。如果，那么根據(jù)加法原則，而如果，那么根據(jù)加法原則，仍然有：因此無論如何，都會導(dǎo)致。也就是說無法為事件定出一個概率。在一般的測度理論中，這種集合稱為（勒貝格）不可測集合。事件之間的關(guān)系兩個隨機(jī)事件之間可以有各種各樣的關(guān)系。包含關(guān)系：通常用符號表示。一個事件包含另一個事件記作：。這時只要事件發(fā)生，那么事件也一定發(fā)生。這個關(guān)系其實(shí)就是集合論中的包含關(guān)系。舉之前牌的例子來說，假設(shè)事件是“抽出的牌上數(shù)字是 8”，事件是“抽出的牌是梅花 8”，那么事件包含事件：只要抽出的是梅花 8，牌上的數(shù)字自然就是 8。等價關(guān)系：兩個事件對應(yīng)的子集完全相等，記作。例子：事件“抽出

7、的牌花色是黑桃并且數(shù)字比 3 小并且數(shù)字是偶數(shù)”和事件“抽出的牌是黑桃 2”就是等價的。對立關(guān)系：兩個事件只能有一個發(fā)生，并且必然有一個發(fā)生，則它們是對立關(guān)系。這種關(guān)系對應(yīng)的集合論術(shù)語是“補(bǔ)集”?；コ怅P(guān)系：兩個事件只能有一個發(fā)生，但并不必然有一個發(fā)生。這時也稱兩個事件之間是互不相容的。獨(dú)立事件如果兩個事件同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率的乘積，那么就稱這兩個事件是相互獨(dú)立的。比如說，“抽到的牌是”和“抽到的牌數(shù)字是 4”就是相互獨(dú)立的，因?yàn)閮烧咄瑫r發(fā)生抽到的牌是4的概率是 52 分之 1，而“抽到的牌是”的概率是 4分之 1，“抽到的牌數(shù)字是 4”的概率是 13 分之 1，兩者相乘便是 5

8、2 分之 1。數(shù)學(xué)期望在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個離散性隨量的期望值（或數(shù)學(xué)期望、或均值，亦簡稱期望，物理學(xué)中稱為期待值）是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。換句話說，期望值是隨機(jī)試驗(yàn)在同樣的機(jī)會下重復(fù)多次的結(jié)果計(jì)算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于中的“期望”“期望值”也許與每一個結(jié)果都不相等。（換句話說，期望值是該變量輸出值的平均數(shù)。期望值并不一定包含于變量的輸出值集合裡。）例如，擲一枚六面的期望值是 3.5，計(jì)算如下：3.5 不屬于可能結(jié)果中的任一個。是期望值的一種常見應(yīng)用。例如， 的 賭中常用的 上有 38 個數(shù)字，每一個數(shù)字被選中的概率都是相等的。賭注一

9、般押在其中某一個數(shù)字上，如果 的輸出值和這個數(shù)字相等，那么下賭者可以將相當(dāng)于賭注 35 倍的獎金和原賭注拿回（總共是原賭注的 36 倍），若輸出值和下壓數(shù)字不同，則賭注就輸?shù)袅恕Ｒ虼?，考慮到 38 種所有的可能結(jié)果，以 1 賭注押一個數(shù)字上獲利的期望值為：2012 秋季華約數(shù)學(xué)結(jié)果約等于-0.0526賭注的期望值為 0.9474。也就是說，平均起來每賭 1就會輸?shù)?5 美分，即以 1作。在中，一場每位參與者獲利期望為 0（沒有凈利或凈虧）的通常會被叫做“公平競賽”。補(bǔ)充習(xí)題:（交大）6 名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應(yīng)考,考生答完卷子的先后次序不定,1.后立即交卷離開座位,則其中一人交卷時為達(dá)到通道而打擾其余尚在為 _.n 的正方格，任取得長方形的是正方形的概率是_ .的考生的概率2.3.0,1,2 ， 這十個數(shù)碼中抽出 個，排列成一行，則恰好概率是_.可以被 整除的五位數(shù)（五校選拔樣題）甲，乙等 4 人互相傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者將球等可能地傳給另外 3 人中的任何一人。（1） 經(jīng)過兩次傳球，球在甲，乙兩人手中的概率各是多少？4