14、1、3_反證法

1、14、1、3反證法2路邊苦李 王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動.王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李. 王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?小故事:3這與事實(shí)矛盾。說明李子是甜的這個假設(shè)是錯的還是對的？假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎？所以，李子是苦的4一、問題情境小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：“昨天晚上下雨了。”你能對小華的判斷說出理由嗎？假設(shè)昨天晚

2、上沒有下雨，那么地上應(yīng)是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的。小華的理由：我們可以把這種說理方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題上。5解析：由C=90可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知a2 +b2 c2 . 如圖，在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果C=90，a、b、c三邊有何關(guān)系？為什么？ACBabc一、復(fù)習(xí)引入6探究：假設(shè)a2 +b2 c2，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且C=90，這與已知條件C90矛盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論a2 +b2 c2成立。ACB 若將上面的條件改為“在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,C90”，請問結(jié)論a2 +b2 c2成立

3、嗎？請說明理由。abc 這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法叫做反證法。問題：發(fā)現(xiàn)知識：二、探究7三、應(yīng)用新知在ABC中，ABAC,求證：B CABC證明：假設(shè)，則（）這與矛盾假設(shè)不成立B CABAC等角對等邊已知ABACB C小結(jié)： 反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立邏輯推理得出矛盾肯定原結(jié)論正確例嘗試解決問題感受反證法:8證明：假設(shè)a與b不止一個交點(diǎn)，不妨假設(shè)有兩個交點(diǎn)A和A。 因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)過點(diǎn)A和A的直線有且只有一條，這與已知兩條直線矛盾,假設(shè)不成立。 所

4、以兩條直線相交只有一個交點(diǎn)。小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾例2求證：兩條直線相交只有一個交點(diǎn)。已知：如圖兩條相交直線a、b。求證：a與b只有一個交點(diǎn)。abAA，9A證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。 那么過點(diǎn)A 就有兩條直線a、b與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,假設(shè)不成立。 a/b.小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾 已知：如圖有a、b、c三條直線，且a/c,b/c. 求證：a/babc例310 求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60。

5、已知：ABC求證：ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60.證明：假設(shè)，則。，即。這與矛盾假設(shè)不成立ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60A60,B60,C60A+B+C180三角形的內(nèi)角和為180度ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60.點(diǎn)撥：至少的反面是沒有！例4A+B+C60+60+60=18011例5:求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1, l2, l3在同一平面內(nèi),且l1l2, l3與l1相交于點(diǎn)P.求證:l3與l2相交.證明:假設(shè)_,那么_.因?yàn)橐阎猒,這與“_ _”矛盾.所以假設(shè)不成立,即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與l2 不相

6、交.l3l2l1l2 經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線平行于已知直線所以過直線l2外一點(diǎn)P,有兩條直線和l2平行,12例6、用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角分析：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)論，需要分類討論.已知：在ABC中，AB=AC.求證：B、C為銳角.證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：(1)兩個底角都是直角；(2)兩個底角都是鈍角；13（1)由A=B=90則A+B+C=A+90+90180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，A=B=90這個假設(shè)不成立.(2)由90B180， 90C180，則 A+B+C180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.兩個底角都是鈍角這個假設(shè)也不

7、成立故原命題正確 等腰三角形的底角必定是銳角.說明：本例中“是銳角(小于90)”的反面有兩種情況，這時(shí)，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確.此題是對反證法的進(jìn)一步理解.14假設(shè)結(jié)論的反面正確推理論證得出結(jié)論回顧與歸納反證法反設(shè)歸謬結(jié)論 得出矛盾（已知、公理、定理等） 假設(shè)不成立，原命題成立.15反證法的一般步驟:假設(shè)命題結(jié)論不成立假設(shè)不成立假設(shè)命題結(jié)論反面成立與已知條件矛盾假設(shè)推理得出的結(jié)論與定理，定義，公理矛盾所證命題成立什么時(shí)候運(yùn)用反證法呢？動動腦16證明真命題 的方法 直接證法 間接證法 反證法17萬事開頭難，讓我們走好第一步！寫出下列各結(jié)論

8、的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正數(shù)；（4）aba0b是0或負(fù)數(shù)a不垂直于bab18 1.已知：如圖ABC中，D、E兩 點(diǎn)分別在AB和AC上 求證：CD、BE不能互相平分 （平行四邊形對邊平行）做一做學(xué)習(xí)是件很愉快的事證明：假設(shè)CD、BE互相平分連結(jié)DE，故四邊形BCED是平行四邊形BDCE這與BD、CE交于點(diǎn)A矛盾假設(shè)錯誤， CD、BE不能互相平分19四、鞏固新知1、試說出下列命題的反面：（1）a是實(shí)數(shù)。（2)a大于2。（3）a小于2。 （4）至少有2個（5）最多有一個 （6）兩條直線平行。2、用反證法證明“若a2 b2,則a b”的第一步是。3、用反證法證明“如果一個三角形沒

9、有兩個相等的角，那么這個三角形不是等腰三角形”的第一步。a不是實(shí)數(shù)a小于或等于a大于或等于沒有兩個一個也沒有兩直線相交假設(shè)a=b假設(shè)這個三角形是等腰三角形20已知：在梯形ABCD中，AB/CD，CD求證：梯形ABCD不是等腰梯形.證明：假設(shè)梯形ABCD是等腰梯形。 C=D（等腰梯形同一底上的兩內(nèi)角相等） 這與已知條件CD矛盾,假設(shè)不成立。梯形ABCD不是等腰梯形.4、求證：如果一個梯形同一底上的兩個內(nèi)角不相等，那么這個梯形不是等腰梯形。ABCD21五、拓展應(yīng)用1、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，APBAPC。求證：PBPCABCP證明：假設(shè)PB=PC。 在ABP與ACP中 AB=AC(已知

10、） AP=AP（公共邊） PB=PC（已知） ABPACP（S.S.S) APB=APC(全等三角形對應(yīng)邊相等） 這與已知條件APBAPC矛盾，假設(shè)不成立. PBPC22六、全課總結(jié)1、知識小結(jié)： 反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立正確的推理,得出矛盾肯定待定命題的結(jié)論2、難點(diǎn)提示: 利用反證法證明命題時(shí),一定要準(zhǔn)確而全面的找出命題結(jié)論的反面。至少的反面是沒有，最多的反面是不止。23注意:用反證法證題時(shí),應(yīng)注意的事項(xiàng) :（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)，防止否定不當(dāng)或有所遺漏； （2）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真?zhèn)涡裕?（3）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷