數(shù)值分析（解答）

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)華中科技大學研究生課程考試試卷開卷閉卷公共課專業(yè)課數(shù)值分析課程名稱：_ 課程類別 考核形式2007.5.28學生類別_考試日期_學生所在院系_學號_姓名_任課教師_一、填空題（每空2分，共20分）1、計算，給出了兩種運算順序，（A）從左到右相加，（B）從右到左相加，應選擇運算順序（ B ）可使計算結果接近于真值。2、由個插值條件是否可唯一確定一個次數(shù)不超過的插值多項式？（ 不一定 ）3、在-1，1區(qū)間上，令，則點應取為（ n次chebyshev 多項式的零點），可使達到

2、極小。4、設是區(qū)間0，1上權函數(shù)為的最高項系數(shù)為1的正交多項式族，其中，則，。5、Newton-cotes 求積公式的精確程度是否一定能隨著其代數(shù)精度的提高而提高？（不一定）6、用顯式Euler 法解初值問題，為保證絕對穩(wěn)定性，步長應在范圍（0，0.2）內(nèi)選取。7、設A是一個正交矩陣，則=（ 1 ）。8、設，當時，必有分解式，其中為下三角矩陣，當其對角線元素滿足條件時，這種分解是唯一的。二、（15分）求一個次數(shù)不高于4的多項式，使它滿足，并寫出其余項表達式。解：構造重節(jié)點的差商表差商一二三四0011200111011010-1-1故其余項表達式為：，三、（10分）求，使達到最小。解：由于題中積

3、分達到最小，實際上是在上求，使其成為的最佳平方逼近多項式，故滿足正規(guī)方程組：其中，故有： 解得，四、（10分）求在-1，1上的二次最佳一致逼近多項式。（注：Chebyshev 三次多項式為）解：設所要求的二次最佳一致逼近多項式為，依題意，必有：即有：由于是首一的三次項式，因此，據(jù)Chebyshev 多項式的性質(zhì)（Th3.6）可知從而五、（10分）作適當變換，把積分化為能應用點Gauss-Chebyshev求積公式的積分。當取何值時，能得到積分的準確值？并計算它。解：令，則能應用Gauss-Chebyshev 求積公式，由于點Gauss-Chebyshev求積公式的代數(shù)精度是，是二次多項式，因此

4、應用兩點以上的Gauss-Chebyshev 求積公式便可得到積分的準確值，據(jù)兩點Gauss-Chebyshev 求積公式，六、（10分）證明：線性二步法當時方法為二階的，當時方法為三階的。解：設，則當時，故方法為二階的，當時，故方法為三階的。七、（15分）設線性方程組的系數(shù)矩陣為：問求解此方程組的Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭代是否收斂？為什么？SOR方法中的松馳因子的最優(yōu)選擇為多少？試比較Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭代以及SOR方法的收斂速度。（對稱正定三對角矩陣，最優(yōu)松弛因子公式）解：不難驗證A是否定對稱的三對角矩陣，由得列，由定理6.26知，因，SOR方法最優(yōu)松馳因子為，故Jacobi迭代，Gauss-seidel 迭代均收斂。而，因可見采用最優(yōu)松馳因子的SOR方法收斂速度比Jacobi 迭代和G-S迭代收斂速度快得多，而G-S迭代又比Jacobi 迭代收斂速度快。八、（10分）證明簡化Newton公式，收斂的一個充分條件是：；又設在內(nèi)有單根，證明，其中。解：令，則|（在的領域內(nèi)）