1.2.3 直線與平面的位置關(guān)…4

1、第 PAGE 7頁2013年江蘇省青年教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動直線與平面垂直教學(xué)設(shè)計課前準(zhǔn)備：（事先畫好兩個平面）師：同學(xué)們請看，這是聞名世界的比薩斜塔，幾個世紀(jì)以來它斜而不倒。請問，如果將斜塔抽象成直線，地面抽象成平面，那么這里的直線與平面是什么位置關(guān)系？（作圖） 生（眾）：相交。師：具體的應(yīng)該叫斜交。師：請大家再看兩幅圖片（旗桿，江陰長江大橋）如果將旗桿、大橋的索塔抽象成直線，地面、橋面抽象成平面，請問這里的直線與平面又是什么位置關(guān)系?（作圖） 生（眾）：垂直（若回答“相交”，則追問“相比剛才的相交有何特殊性？”）師：你能再舉一些日常生活中直線與平面垂直的例子嗎？（再比如：打開豎立在桌面上

2、課本的書脊與桌面、墻角線與地面等）師：其實，日常生活中直線與平面垂直的例子都非常多，可謂“垂直無處不在”。那么什么叫做直線與平面垂直？又如何判定直線與平面垂直呢？這些都是本節(jié)課我們將要研究的問題。問題1 什么叫直線與平面垂直呢？下面我們將從垂直區(qū)別于斜交的特征來研究。那么，從哪個角度來說明垂直不一樣的特征呢？我們不妨回憶一下以前是如何研究直線與平面平行的？生1：直線與平面沒有公共點。師：但斜交與垂直都只有一個公共點，所以有沒有公共點不能作為區(qū)別它們的依據(jù)。生2：線線平行推出線面平行。師：也就是線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系研究，這個思想非常重要。下面我們就來研究一下這兩種情況下直線與平面內(nèi)的直線的位置

3、關(guān)系。師：請同學(xué)們將手中鉛筆當(dāng)作直線，桌面當(dāng)作平面，動手操作。你能發(fā)現(xiàn)兩者的區(qū)別嗎？（前后4位同學(xué)可以互相交流）（1）如果直線與平面斜交，平面內(nèi)過交點的直線與已知直線垂直嗎？平面內(nèi)的其他的線呢？（不一定）（2如果直線與平面垂直，平面內(nèi)過交點的直線與已知直線垂直嗎？（一定垂直）此時這個平面內(nèi)不過交點的直線與之垂直嗎？（也垂直）師：你們小組派一名代表說一下兩者不一樣的地方？生：垂直可以和平面內(nèi)的任意一條線都垂直，而斜交與平面內(nèi)的線不一定垂直。師：很好。也就是說直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直時，給我們感覺是直線與平面是垂直的。我們就將此作為直線與平面垂直的定義。（板書）定義 記作“”師：同學(xué)們請看

4、，大橋索塔的兩根塔柱給我們的感覺是？（平行）已知其中一根塔柱垂直于橋面，那么另一根與橋面是什么關(guān)系？生：垂直師：你能將這個結(jié)論（事實）用數(shù)學(xué)語言表述出來嗎？分析：1.作為立幾中文字表述的證明題，一般情況下，先根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證、然后再證明；請大家在稿紙上和老師一起做。 2.（思考后，讓生答）這道題要證什么？到目前為止我們有什么方法？已知什么？可以得到什么？3.從證明方法上來看，此題用的是什么方法證明線面垂直？（板書）所以數(shù)學(xué)中的定義非常重要，它們往往是解決問題的基本方法，我們一定要加深對定義的理解。師：第1題這個結(jié)論剛才在證題過程中已經(jīng)用過，即線面垂直則線線垂直。定義既是判定又是

5、性質(zhì)。第2題：這個命題用文字語言表述為，垂直平面內(nèi)的一條直線能得到直線與平面垂直嗎？你能筆當(dāng)成直線，書當(dāng)成平面擺給大家看看嗎？你用的是什么方法？（舉反例）老師將這位同學(xué)所舉例子放到正方體中說明。A1B與底面ABCD內(nèi)一條直線BC垂直，顯然線面不垂直。底面內(nèi)與BC平行有多少條？但能得到線面垂直嗎？這無數(shù)條與A1B也是什么關(guān)系？這說明什么問題？這就是說一定要注意定義中關(guān)鍵詞“任意”。（板書：“任意”）師： AB與平面什么關(guān)系？顯然垂直。你能證明嗎？（生思考，師提示）如果根據(jù)定義就必須說明AB與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，不方便。有沒有更為簡便的方法來判定直線與平面垂直呢？師：下面我們再通過一個實驗

6、來研究這個問題.請同學(xué)們拿起手中三角形紙片，按要求進行翻折。 過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放在桌面上（使得BD、CD與桌面接觸）（1）你得到的折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折可以使得折痕與桌面垂直?生：當(dāng)且僅當(dāng)AD是BC邊上的高時，折痕與桌面垂直。（投影圖）（3）此時AD與BD、CD什么關(guān)系？由此你能得到什么結(jié)論？生：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。師：這個結(jié)論今后我們可以作為定理來直接使用，稱之為直線與平面垂直的判定定理。（板書圖形語言和符號語言）和定義類似，要證明線面垂直，也只需證明線線垂直。什么線？（平面內(nèi)的兩條相交

7、線）ABCDA1B1C1D1回到剛才的問題上。例3 如圖，已知正方體.（1）求證：直線AB平面；（2）直線AC與平面是否垂直？（3）A1B與平面ABCD垂直嗎？師：（第1題生答完后，師板演）在這里，我們用什么方法證明線面垂直的？（板書）事實上，定義給我們一種判定直線與平面垂直的基本方法，而判定則使判定方法簡單化。 要證明線面垂直，只需證線線垂直?！熬€不在多，兩條相交即可”。（第2題生答完后書寫過程，強調(diào)先回答是否垂直這個問題，再證明以及規(guī)范性）課后大家還可以繼續(xù)去尋找正方體中直線與平面垂直的關(guān)系。比如請大家嘗試證明書的封面給出的線面關(guān)系。第3題（為什么？反證法）師：回到例1 ，除了用定義證明，

8、能用判定證明嗎？生：口答師：從結(jié)論上來看，直接證明線面垂直不方便時，可以轉(zhuǎn)化為證與之垂直的其他線與面的平行。）師：請大家思考，如果把該命題變化一下，成立嗎？請大家再用手中的筆確認(rèn)一下。師：這個命題的確也是真命題，我們稱之為直線與平面垂直的性質(zhì)定理。請同學(xué)們課后先思考一下這個定理該如何證明？我們下節(jié)課再繼續(xù)討論。師：本節(jié)課你有哪些收獲呢？生：從內(nèi)容上看，一是定義二是判定。從方法上看，判定線面兩種方法，本質(zhì)上都是從線線垂直到線面垂直的轉(zhuǎn)化思想。這也是研究立體幾何問題的基本思想化歸與轉(zhuǎn)化。師：請同學(xué)們將課本打開到扉頁，大家一起朗讀致同學(xué)的第三段。師：愿同學(xué)們永遠(yuǎn)快樂！師：面對立幾問題時，我們先要認(rèn)真觀察、實驗，然后思辯、論證，得出結(jié)論。事實上還有這么幾點：師：（1）直線與平面垂直的定義中“任意”和判定定理中“相交”等關(guān)鍵詞非常重要，不可缺少，這提醒我們要養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。（2）從直線與平面垂直的定義到判定定理，其實質(zhì)是從無限到有限的過程，這個過程與化高維為低維，化