2.6.1 曲線與方程1

1、PAGE 2.6.1曲線與方程【教材分析】 本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1中2.6.1曲線與方程的內(nèi)容。本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線和拋物線三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，本節(jié)課是要推廣到一般曲線，讓學(xué)生體會(huì)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系?！緦W(xué)情分析】由于本節(jié)課中曲線與方程的定義比較抽象，看似簡(jiǎn)單實(shí)則復(fù)雜，因此學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是通過對(duì)具體問題的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問題的提出、思考的過程，通過具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深曲線與方程的理解?；谝陨戏治?，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)確定如下：教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)目標(biāo)（1）了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)

2、系；（2）初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；（3）學(xué)會(huì)根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判斷、歸納結(jié)論；（4）強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法2能力目標(biāo)（1）通過直線方程的引入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)；（2）在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，探索出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；（3）能用所學(xué)知識(shí)理解新的概念，并能運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，從中體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)3情感目標(biāo)（1）通過概念的引入，讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律；（2）通過反例辨析和問題解決，培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思

3、考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神教學(xué)重點(diǎn)： “曲線的方程”與“方程的曲線”的概念教學(xué)難點(diǎn)：怎樣利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程教學(xué)方法：?jiǎn)栴}探索和啟發(fā)引導(dǎo)式相結(jié)合教具準(zhǔn)備：PPT課件、多媒體教學(xué)設(shè)備教學(xué)過程：一、問題情境，分析特例師：在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示，同時(shí)任何一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線問題1求第一、三象限里兩軸間夾角平分線的坐標(biāo)滿足的關(guān)系？第一、三象限角平分線l點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x-y=0 曲線 條件 方程x-y=0 xy0l滿足關(guān)

4、系：（1）l上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在l上0 xyM問題2 方程（x-a)2+(y-b)2=r2表示如圖的圓，圖像上的點(diǎn)M與此方程（x-a)2+(y-b)2=r2有什么關(guān)系？滿足關(guān)系：（1）如果M（x0,y0)是圓上的點(diǎn)，那么M（x0,y0)一定是這個(gè)方程的解；（2）如果 M（x0,y0) 是方程（x-a)2+(y-b)2=r2的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在圓上.0 xy2A問題3 說明過點(diǎn)A（2，0）且平行于y軸的直線與方程x=2的關(guān)系?滿足關(guān)系：（1）直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程x=2（2）滿足方程x=2的點(diǎn)不一定在直線上結(jié)論：過A（2，0）平行

5、于y軸的直線的方程不是x=2.二、數(shù)學(xué)建構(gòu)，歸納定義推廣：任意的曲線和二元方程是否都能建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？也即：方程的解與曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系就能用方程表示曲線C，同時(shí)曲線C也表示方程？為什么要具備這些條件？師：以上問題就是本節(jié)課研究的內(nèi)容：曲線和方程（板書課題）歸納定義：曲線的方程，方程的曲線 一般地，如果滿足：1.曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都是方程f（x，y）=0的解2.以方程f（x，y）=0的解（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f（x，y）0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f（x，y）0的曲線f(x，y)=0oxy理解定義：(1)從集合的角度看：點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)適合

6、于此曲線的方程即：曲線上所有點(diǎn)的集合與此曲線的方程的解集能夠一一對(duì)應(yīng)(2)從充要條件的角度看:如果曲線C的方程是f(x，y）=0，那么點(diǎn)P（x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用和強(qiáng)化例1 解答下列問題，且說出各依據(jù)了“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的哪一個(gè)關(guān)系？（1） 是否在方程x2+y2=25的圓上？（2）已知方程為x2+y2=25的圓過，求m值答案：（1）點(diǎn)A在，點(diǎn)B不在 （2）例2用下列方程表示如圖所示的曲線C，對(duì)嗎？為什么？ 例3證明：圓心為（0，0），半徑為R的圓的方程為x+yR證明：(1)設(shè)M(x0，y0)是圓上任意一點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

7、等于R，所以 ，即xo2yo2R.(x0，y0)是方程x2y2R的解.(2)設(shè) (x0，y0) 是方程x2y2R的解，那么xo2yo2R兩邊開方取算術(shù)根，得 ，即點(diǎn)M(x0，y0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于R，點(diǎn)M(x0，y0)是這個(gè)圓上的一點(diǎn)由（1）（2）可知，x2y225,是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于R的圓的方程. 歸納:證明已知曲線的方程的方法和步驟第一步，設(shè)M(x0，y0)是曲線C上任一點(diǎn)，證明(x0，y0)是f(x, y)=0的解；第二步，設(shè)(x0，y0)是f(x, y)=0的解，證明點(diǎn)M(x0，y0)在曲線C上.鞏固練習(xí)練習(xí)1 判斷下列結(jié)論的正誤并說明理由 （1）過點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線為x=3 （2）到x軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為y=2 （3）到兩坐標(biāo)軸距離乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1答案：對(duì)；錯(cuò)；錯(cuò)練習(xí)2 下列各組方程中，哪些表示相同的曲線？答案：（4）四、小結(jié) 曲線C 方程f(x, y)=0（1）曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)都是方程f(x, y)=0的解（2）以方程f(x, y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上 “缺一不可”本節(jié)課我們通過實(shí)例的研究，掌握了“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義，在領(lǐng)會(huì)定義時(shí)，要牢記關(guān)系（1）、（2）兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了“曲線的方程”和“方