1.1.2 弧度制3

1、11.2弧度制為什么要引入弧度制，要考慮以下兩個問題：第一：建立弧度制的合理性，即建立弧度制的依據(jù)是什么？18世紀(jì)以前，人們一直用線段的長來定義三角函數(shù)，著名數(shù)學(xué)家歐拉1748年提出三角函數(shù)是對應(yīng)的三角函數(shù)線與圓半徑之比，歐拉在這篇著作的第八章中提出弧度制的思想，他認(rèn)為如果把半徑作為一個單位長度，那么半圓的長就是，所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)也是.這時可用平面上一條射線繞其頂點旋轉(zhuǎn)時，射線上不同兩點的旋轉(zhuǎn)過程中所形成的兩段弧的長度與其半徑之比為常數(shù)來說明這個比值與半徑的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)因此，我們可用圓弧的長與半徑的比值來度量這個圓弧所對的圓心角，即用等于半徑的圓弧所對的圓心角作為度量角的單

2、位，叫做1弧度的角，弧度制就是建立在上述基礎(chǔ)上的第二：弧度制有什么優(yōu)越性？弧度數(shù)可以使角的大小用實數(shù)來表示，建立起角的集合與實數(shù)集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系，使三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)，看成是實數(shù)與實數(shù)之間的映射關(guān)系，也就是說，三角函數(shù)也是數(shù)集與數(shù)集之間的映射，使三角函數(shù)也符合現(xiàn)代函數(shù)的定義，這就使三角函數(shù)脫離單獨針對角的具體性、直觀性和局限性，變得更抽象、更一般因而可以給出更多的解釋，使之應(yīng)用研究更廣泛引用弧度制以后，使得許多公式變得很簡單如弧長公式lr，扇形的面積公式Seq f(1,2)lr，并且在基礎(chǔ)理論中采用弧度制可以得到很多簡單的公式作三角函數(shù)圖象，若用角度制，則橫軸上的角是六

3、十進(jìn)制，而縱軸上的三角函數(shù)值是十進(jìn)制，兩者的進(jìn)制不同，不便于取統(tǒng)一的單位，就會使畫出的三角函數(shù)圖象沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，采用弧度制，就解決了這個問題三維目標(biāo)1知識與技能(1)理解1弧度的角及弧度的定義；(2)掌握角度與弧度的換算公式；(3)熟練進(jìn)行角度與弧度的換算；(4)理解角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系；(5)理解并掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式，并能靈活運(yùn)用這兩個公式解題2過程與方法通過類比角度制的概念引入弧度制的概念；比較兩種度量角的方法探究角度制與弧度制之間的互化；應(yīng)用在特殊角的角度制與弧度制的互化，幫助學(xué)生理解掌握；以針對性的例題和習(xí)題使學(xué)生掌握弧長公式和扇形的面積公式；通過自主

4、學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，樹立學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度3情感、態(tài)度與價值觀通過弧度制的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識到角度制與弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但卻是相互聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的；在弧度制下，角的加、減運(yùn)算可以像十進(jìn)制一樣進(jìn)行，而不需要進(jìn)行角度制與十進(jìn)制之間的互化，化簡了六十進(jìn)制給角的加、減運(yùn)算帶來的諸多不便，體現(xiàn)了弧度制的簡捷美；通過弧度制與角度制的比較，使學(xué)生認(rèn)識到引入弧度制的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)重點難點重點：理解弧度制的意義，正確進(jìn)行弧度與角度的換算；弧長和面積公式及應(yīng)用難點：弧度的概念及與角度的關(guān)系；角的集合與實數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系教學(xué)建議 1弧度制的概念關(guān)于弧度制

5、的概念的教學(xué)，建議教師在教學(xué)過程中，首先講清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的關(guān)鍵，并且讓學(xué)生具體操作驗證，老師通過多媒體演示，在此直觀印象基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生證明以弧度為單位的角是一個與半徑無關(guān)的定值2角度制與弧度制的換算關(guān)于角度制與弧度制的換算的教學(xué)，建議教師教學(xué)過程中，講清“180”這個等式的意義，抓住這一關(guān)鍵，兩種度量制的換算就迎刃而解了3弧長公式關(guān)于弧長公式的教學(xué)，建議教師在教學(xué)中讓學(xué)生先通過自己的活動解決，明確角的度量單位是弧度，而且圓心角是在一定范圍中，從而熟練用弧度制表示角，并能應(yīng)用公式教學(xué)過程 引入：【問題導(dǎo)思】1在初中學(xué)習(xí)角的運(yùn)算采用十進(jìn)制還是六十進(jìn)制？【提示】六十進(jìn)制2我們平

6、時常用運(yùn)算大多都是六十進(jìn)制嗎？【提示】我們常用的是十進(jìn)制(1)角度制：規(guī)定周角的eq f(1,360)為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制(2)弧度制：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1_rad，用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制(3)角的弧度數(shù)求法：如果半徑為r的圓的圓心角所對的弧長為l，那么l，r之間存在的關(guān)系是：|eq f(l,r).知識點一 角度與弧度的互化【問題導(dǎo)思】根據(jù)弧度制的定義，周角360所對應(yīng)的弧度數(shù)是多少？【提示】由eq f(2r,r)2得，周角對應(yīng)弧度數(shù)為2.(1)3602 rad，(2)1eq f(,180) rad0.017_

7、45 rad，1 rad(eq f(180,)57.30.知識點二 扇形的弧長及面積公式【問題導(dǎo)思】1已知扇形圓心角，半徑為r，如何求弧長l?【提示】由|eq f(l,r)可得：弧長l|r.2能否用扇形的弧長l與半徑表示扇形的面積S?【提示】設(shè)扇形圓心角為，則扇形面積Seq f(|,2)r2eq f(1,2)rl.圖114(1)弧度制下的弧長公式如圖114，l是圓心角所對的弧長，r是半徑，則圓心角的弧度數(shù)的絕對值是|eq f(l,r)，弧長l|r.特別地，當(dāng)r1時，弧長l|.(2)扇形面積公式在弧度制中，若|2，則半徑為r，圓心角為的扇形的面積為Seq f(|,2)r2eq f(1,2)|r2

8、eq f(1,2)lr.題型一 角度與弧度的互化設(shè)1570，2750，1eq f(3,5)，2eq f(13,3).(1)將1，2用弧度表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；(2)將1，2用角度表示出來，并在7200之間找出與它們終邊相同的所有的角【思路探究】將角度化為弧度，可運(yùn)用公式1eq f(,180)弧度；而將弧度化為角度，則可運(yùn)用公式1弧度(eq f(180,).【自主解答】(1)1570eq f(570,180)eq f(19,6)，而eq f(19,6)22eq f(5,6)，122eq f(5,6)，1的終邊在第二象限2750eq f(750,180)eq f(25,6)22

9、eq f(,6)，2的終邊在第一象限(2)1eq f(3,5)eq f(3,5)180108，設(shè)k360108(kZ)，7200，720k3601080，kZ，k2或k1.7200之間與1終邊相同的角是612角和252角2eq f(13,3)eq f(13,3)180780236060，設(shè)k36060(kZ)7200，720k360600，kZ，k1或k0.7200之間與2終邊相同的角是420角和60角規(guī)律方法：1特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)熟記，并逐步養(yǎng)成用弧度數(shù)表示角的習(xí)慣2在進(jìn)行角度制與弧度制換算時，關(guān)系式 rad180是關(guān)鍵，由它得到：度數(shù)eq f(,180)弧度數(shù)，弧度數(shù)(eq

10、f(180,)度數(shù)變式訓(xùn)練：把1 480寫成2k(kZ)的形式，其中02，并判斷它是第幾象限角？【解】1 4801 480eq f(,180)eq f(74,9)10eq f(16,9)，其中0eq f(16,9)2，因為eq f(16,9)是第四象限角，所以1 480是第四象限角題型二 用弧度表示區(qū)域角用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合，如圖所示(不包括邊界)【思路探究】求出陰影部分邊界角的弧度數(shù)，結(jié)合區(qū)域角的旋轉(zhuǎn)方向及終邊相同角的表示方法寫出區(qū)域角的范圍【自主解答】(1)如圖，以O(shè)B為終邊的角為330，可看成是30，化為弧度，即eq f(,6)，而

11、7575eq f(,180)eq f(5,12) rad，所求集合為|2keq f(,6)2keq f(5,12)，kZ(2)如圖，以O(shè)B為終邊的角225，可看成是135，化成弧度，即eq f(3,4)，而135135eq f(,180)eq f(3,4) rad，所求集合為|2keq f(3,4)2keq f(3,4)，kZ規(guī)律方法：1用弧度表示區(qū)域角，實質(zhì)上是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應(yīng)用，必要時，需進(jìn)行角度與弧度之間的換算，注意單位要統(tǒng)一2在表示角的集合時，可以先寫出一個周期的范圍(如，02)內(nèi)的角，再加上2k，kZ.3在進(jìn)行區(qū)間的合并時，注意歸納總結(jié)，一定要做到準(zhǔn)確無誤一般地，若某角的

12、終邊落在某一直線上，則可用k(或k180)加上已知角來表示該角，其中kZ.變式訓(xùn)練：求出終邊在圖中所示陰影區(qū)域(包括邊界)的角的集合【解】由于eq f(2,3)2eq f(4,3)，即角eq f(2,3)與角eq f(4,3)的終邊相同，因此圖中所示陰影區(qū)域的角的集合為|eq f(,4)2keq f(4,3)2k，kZ題型三 弧長與扇形面積公式的應(yīng)用一個扇形的周長為20，則扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形面積最大？【自主解答】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，則lr，依題意l2r20，即r2r20，eq f(202r,r).由l202r0及r0得0r10，S扇形eq f(1,2)

13、r2eq f(1,2)eq f(202r,r)r2(10r)r(r5)225(0r10)當(dāng)r5時，S扇形max25.此時l10，2，故當(dāng)扇形半徑r5，圓心角為2 rad時，扇形面積最大規(guī)律方法：涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解互動探究：本例中條件不變，再增加一個條件：扇形面積S24，如何求這個扇形的弧長和圓心角？【解】(1)l2r20，l202r且0r10.S扇形eq f(1,2)lr(10r)r24，r210r240，解得r4或r6.當(dāng)r4時，l202412，eq f(l,r)3 ra

14、d，當(dāng)r6時，l20268，eq f(l,r)eq f(4,3) rad.易錯點 角度制與弧度制混用致誤把角690化為2k(02，kZ)的形式為_【錯解1】690(690eq f(,180)eq f(23,6)，6903eq f(5,6).【答案】3eq f(5,6)【錯解2】690236030，690430.【答案】430【錯因分析】錯解1中3不是2k的形式，不符合題目要求錯解2中不符合“在同一表達(dá)式中角度與弧度不能混用”這一原則【防范措施】(1)在解題時要注意結(jié)果的規(guī)范要求(2)在解決角度制和弧度制的有關(guān)問題時，要遵循轉(zhuǎn)換的原則，表達(dá)的形式要符合基本的原則和規(guī)范性【正解】法一690(690

15、eq f(,180)eq f(23,6)，eq f(23,6)4eq f(,6)，6904eq f(,6).法二690236030，6904eq f(,6).【答案】4eq f(,6)課堂小結(jié)：1準(zhǔn)確理解弧度制(1)弧度制引入的必要性把角的概念推廣到任意角后，角的集合和實數(shù)集之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系(2)弧度制引入的合理性當(dāng)圓心角一定時，圓心角所對的弧長與半徑成正比，與所取半徑無關(guān)2求扇形的弧長和面積的解題技巧求扇形的面積關(guān)鍵是明確弧度制下扇形的面積公式Seq f(1,2)r2eq f(1,2)lr(02)，其中l(wèi)是扇形的弧長，是扇形的圓心角，r是扇形的半徑，三個量中知道任意兩個量即可求解.當(dāng)堂訓(xùn)練：1下列說法中，正確的序號是_1弧度是長度為半徑的弧；大圓中1弧度角比小圓中1弧度角大；1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角；圓心角為1弧度的扇形的弧長都相等；長度等于半徑的弦所對的圓心角是1弧度【解析】由弧度的概念知，錯誤，正確；角的大小與圓的半徑無關(guān)，不正確；弧長lr，當(dāng)1時，l扇r(半徑)不正確【答案】2下列結(jié)論不正確的是_(只填序號)eq f(,3) rad60；10eq f(,18) rad；36eq f(,5) rad；eq f(5,8) rad115.【解析】eq