第七講_非線性擬合

1、 在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系式有時(shí)不能直接寫出表達(dá)式，而只能得到函數(shù)在若干個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值. 當(dāng)要求知道觀測點(diǎn)之外的函數(shù)值時(shí)，需要估計(jì)函數(shù)在該點(diǎn)的數(shù)值. 這就要根據(jù)觀測點(diǎn)的值，構(gòu)造一個(gè)比較簡單的函數(shù)y=(x)，使函數(shù)在觀測點(diǎn)的值等于已知的數(shù)值或?qū)?shù)值，尋找這樣的函數(shù)(x)，辦法是很多的. 根據(jù)測量數(shù)據(jù)的類型有如下兩種處理觀測數(shù)據(jù)的方法： 測量值是準(zhǔn)確的，沒有誤差，一般用插值. 測量值與真實(shí)值有誤差，一般用曲線擬合. 第六講 曲線擬合一. 曲線擬合1 已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集 求得一解析函數(shù)y=f(x)，使f(x)在原離散點(diǎn)xi上盡可能接近給定yi的值，這一過程叫曲線擬

2、合. 最常用的曲線擬合是最小二乘法曲線擬合，擬合結(jié)果可使誤差的平方和最小，即找出使下式最小的f(x) : 通常，在解決實(shí)際問題時(shí)先將已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖畫出，然后設(shè)計(jì)擬合的曲線類型，最后根據(jù)某種準(zhǔn)則選定最佳的曲線.1.多項(xiàng)式擬合 多項(xiàng)式擬合就是選擇適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合，其命令為：格式：p=polyfit(X,Y,n). 2說明：求出已知數(shù)據(jù)(X,Y)的n階擬合多項(xiàng)式f(x)按降冪排列的系數(shù)p，X必須是單調(diào)的. 例1.對(duì)以下數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，然后用多項(xiàng)式擬合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)解：x = 0.5,1.0,

3、1.5,2.0,2.5,3.0; y = 1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60; plot(x,y)發(fā)現(xiàn)：這些點(diǎn)大致地位于某條直線附近，故可考慮線性擬合：p=polyfit(x,y,1)ans: p =2.7937 -0.1540即擬合函數(shù)為：y=2.7937x-0.154(圖6.1)3上述函數(shù)的擬合效果如何？我們可以通過計(jì)算誤差平方和的大小進(jìn)行考察（兩種方法）： (1)sum(2.7937*x-0.154-y).2)=0.9136如果用二次函數(shù)進(jìn)行擬合，則有： p=polyfit(x,y,2)p = 0.5614 0.8287 1.1560即擬合函數(shù)為：此時(shí)誤差平方和為

4、： sum(polyval(p,x)-y).2) =0.1781根據(jù)誤差平方和最小原則：二次函數(shù)優(yōu)于線性函數(shù)(2)sum(polyval(p,x)-y).2) )=0.9136是否有誤差等于零的多項(xiàng)式？有，那就是該數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式（五次多項(xiàng)式）4 通常，給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到一條直線；若給出三點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到一條拋物線；，給出n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到一個(gè)n-1階的多項(xiàng)式. 是否多項(xiàng)式的階數(shù)越高越好呢？非也！在解決實(shí)際問題時(shí)，只要達(dá)到所需的精度，應(yīng)盡量選擇簡單的函數(shù).p = -1.6000 13.7400 -44.0733 65.6650 -42.6317 11.3500此時(shí)多項(xiàng)

5、式在x處的函數(shù)值為： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000例2. 某種合金中的主要成分為A,B兩種金屬，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：這兩種金屬成分之和x與合金的膨脹系數(shù)y有如下關(guān)系，建立描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.5x3737.53838.53939.54040.54141.54242.543y3.4332.272.11.831.531.71.81.92.352.542.9解：首先作出散點(diǎn)圖: x=37:0.5:43; y=3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9;

6、 plot(x,y,*)發(fā)現(xiàn)：有點(diǎn)像拋物線，故選二次函數(shù)擬合.p=polyfit(x,y,2)p = 0.1660 -13.3866 271.6231即為所求擬合曲線誤差平方和：R=sum(polyval(p,x)-y).2)= 0.2523(圖6.2)6設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) ,尋找函數(shù)使得函數(shù)在點(diǎn) 處的函數(shù)值與觀測數(shù)據(jù)偏差的平方和達(dá)到最小.即求滿足如下條件的函數(shù) 使得 最小解決此類問題有以下幾個(gè)步驟：（1）首先作出散點(diǎn)圖，確定函數(shù)的類別；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定待定參數(shù)的初始值，利用Matlab軟件計(jì)算最佳參數(shù)；（3）根據(jù)可決系數(shù)，比較擬合效果。2.非線性擬合7其中R2越趨近于1表明擬合效果越好. 如

7、果是多項(xiàng)式函數(shù)，則稱為多項(xiàng)式回歸，此時(shí)的參數(shù)即多項(xiàng)式的系數(shù)；如果為指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或三角函數(shù)等，則稱為非線性擬合.下面的圖形給出了常見曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在Matlab中實(shí)現(xiàn)可決系數(shù)的命令：R2=1-sum(y-y1).2)/sum(y-mean(y).2)可決系數(shù)的計(jì)算公式為8冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 雙曲線函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 9指數(shù)函數(shù) S形曲線 具有S形曲線的常見方程有：羅杰斯蒂（logistic）模型： 龔帕茲（Gomperty）模型：理查德（Richards）模型： 威布爾(Weibull)模型：10為了實(shí)現(xiàn)非線性擬合，首先要定義函數(shù)1. inline 定義的函數(shù)：用于曲線擬合、數(shù)值

8、計(jì)算步驟：(1)建立M文件；(2)fun=inline(f(x) , 參變量，x)例1. 建立函數(shù)： a,b,c為待定的參數(shù)fun=inline(b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x),b,x);此處，將b看成參變量，b(1),b(2),b(3)為其分量.若計(jì)算函數(shù)在x=0:0.1:1上的函數(shù)值，由于此時(shí)x為矩陣，只需將函數(shù)表達(dá)式中的某些量表示成向量有些*改成.*即可.11在實(shí)際問題中，有時(shí)散點(diǎn)圖作出后未必是多項(xiàng)式的圖形，可能像其他的曲線，這時(shí)可以猜測曲線類型，然后利用如下命令：beta,r,J = nlinfit(x,y,fun,beta0)其中，x,y為原始數(shù)據(jù)，fun是在M文

9、件中定義的函數(shù)，beta0是函數(shù)中參數(shù)的初始值；beta為參數(shù)的最優(yōu)值，r是各點(diǎn)處的擬合殘差，J為雅克比矩陣的數(shù)值.例2. 已知如下數(shù)據(jù)，求擬合曲線k= 0,47,93,140,186,279,372,465,558,651; y=18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22;plot(k,y,*)12根據(jù)右圖，我們猜測曲線為：現(xiàn)在利用最小二乘法確定最佳參數(shù)：b1,b2,b3b0=43,0.6,0.1; %初始參數(shù)值fun=inline(b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*k),b,k);b,r,j=nlinf

10、it(k,y,fun,b0);b %最佳參數(shù)R=sum(r.2) %誤差平方和b = 42.6643，0.5483，0.0099即擬合曲線為：(圖6.3)13擬合結(jié)果如右圖所示，紅色為擬合曲線圖形，*為原始散點(diǎn)圖. y1=42.6643*(1-0.5483*exp(-0.0099*k);plot(k,y,*,k,y1,-or)作圖程序?yàn)椋?圖6.4)練習(xí)：計(jì)算可決系數(shù)14 例3.煉鋼廠出鋼時(shí)所用盛鋼水的鋼包，由于鋼水對(duì)耐火材料的侵蝕，容積不斷增大，我們希望找出使用次數(shù)與增大容積之間的函數(shù)關(guān)系.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：表4.2 鋼包使用次數(shù)與增大容積分別選擇函數(shù) 擬合鋼包容積與使用次數(shù)的關(guān)系 ,在同一坐標(biāo)

11、系內(nèi)作出函數(shù)圖形.15x1=2:16;y1=6.42,8.2,9.58,9.5,9.7,10,9.93,9.99,10.49,10.59,10.6,10.8,10.6,10.9,10.76;b01=0.1435,0.084; %初始參數(shù)值fun1=inline(x./(b(1)+b(2)*x),b,x); % 定義函數(shù)b1,r1,j1=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);y=x1./(0.1152+0.0845*x1); %根據(jù)b1寫出具體函數(shù) plot(x1,y1,*,x1,y,-or);下面給出分式函數(shù)擬合程序：初始參數(shù)b0的計(jì)算， 由于確定兩個(gè)參數(shù)值，因此我們選擇已知數(shù)據(jù)中的兩點(diǎn)（2,6.42）和（16,10.76）代入方程，得到方程組：可決系數(shù)計(jì)算：16上述方程組有兩種解法：手工，Matlab,下面介紹Matlab 解方程組的方法x,y=solve