《自動控制原理》（第六版）課件：第7章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正3

1、自 動 控 制 原 理第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正3第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正7-3 z 變換理論 z 變換是研究線性離散系統(tǒng)的重要工具。其地位與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的地位相同。 z 變換是從拉氏變換直接引出來的一種變換方法。實際上是采樣函數(shù)拉氏變換的變形，有時 z 變換也稱為采樣拉氏變換。 令記作：1. z變換定義采樣信號的拉氏變換：z變換僅對采樣信號的拉氏變換有意義，通過這種變換，可將對s的超越函數(shù)變?yōu)閷的冪級數(shù)或?qū)的有理分式。則5由Z變換定義知：這是離散時間函數(shù)e*(t)的無窮級數(shù)表達(dá)式。2. z變換方法(1) 級數(shù)求和法 適用于給定e(t)或e*(t)及T的情況。6例：求

2、1(t)的Z變換解：若則無窮級數(shù)是收斂的。7例: 求的z變換。解：8 適用于給定連續(xù)函數(shù)拉氏變換 E(s) 的場合，或容易求出 E(s) 的場合?？蓪(s)分成部分分式和的形式，然后使每一部分變?yōu)楹唵蔚臅r間函數(shù)。由于簡單的時間函數(shù)的z變換是已知的，于是可方便的求出E(s)對應(yīng)的z變換E(z)。例：，試求相應(yīng)的z變換解：（2）部分分式法9 （1）線性定理： 線性定理表明， z變換是一種線性變換，變換過程中滿足齊次性和疊加性。3. Z變換的基本定理10（2）實數(shù)位移定理又稱延遲定理、平移定理。包括超前定理和滯后定理二部分。（1）如果函數(shù) 是可拉氏變換的， 其z變換為E(z)，則證明： 11令 ，

3、則有 令 ，則12（2）如果函數(shù) 是可拉氏變換的， 其 z 變換為E(z)，則證明： 13令 m=n14 z-K代表時域中的滯后環(huán)節(jié)，將采樣信號滯后k 個采樣周期；同理， zK 代表超前環(huán)節(jié)，是把采樣信號超前 k 個采樣周期。但zK僅用于運(yùn)算，在實際中并不存在。在實數(shù)位移定理中稱為滯后定理；稱為超前定理；15例: 用實數(shù)位移定理計算滯后一個采樣周期的指數(shù)函數(shù) 的z變換。解：16（3）復(fù)數(shù)位移定理如果函數(shù) 是可拉氏變換的， 其 z 變換為 E(z) ，則證明令則17例: 用復(fù)數(shù)位移定理計算 的z變換。解：令18（4）終值定理 如果函數(shù) 的z 變換為 E(z)， 函數(shù)序列 e(nT)為有限值(n=

4、0,1,2,)， 且極限 存在， 則函數(shù)序列的終值為 19例：利用終值定理確定e(nT)的終值。解：設(shè)z變換函數(shù)為20設(shè)x(nT)和y(nT)是兩個采樣函數(shù)，其離散卷積定義為：則 （5）卷積定理 此定理表明：兩個采樣函數(shù)卷積的z變換，等于每個采樣函數(shù)z變換的積。在離散系統(tǒng)分析過程中，它是溝通時域與z域的橋梁。21 與拉氏反變換類似，利用Z反變換，可以求出離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)。 Z反變換可以表示為：e(nT)=Z-1E(z)。4. z反變換(1) 部分分式法22例：設(shè)求z反變換。解：23 (2) 冪級數(shù)法（長除法、綜合除法） 按一般除法，將E(z)展開成按Z-1的升冪排列的級數(shù)展開式為：24實際應(yīng)用中，冪級數(shù)法常常只算有限的幾項就夠了，因此用這種方法求e*(t)是很簡便的，但是要從一組e(nT)值中求出通項表達(dá)式，則比較困難。例： 求的z反變換。解：用長除法：2526求得：所以27z變換所處理的對象是離散時間序列，而不帶有原信號采樣點(diǎn)間隔內(nèi)的任何信息，換句話說，不管采樣前連續(xù)信號是何等形式，只要它們采樣點(diǎn)的值相等，它們的z變換是相同的。z變換只與采樣脈沖序列e*(t)一一對應(yīng)，而與e(t)不一一對應(yīng)。下圖表示的三個信號具有相同的z變換，但三個連續(xù)信號卻不同。t0e1(t)e1*(t)e2(t)e2*(t)te3(t)e3*(t)t 5