2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題+參考答案

1、2019-2020學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科） 第I卷（選擇題共60分）、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .集合Mx|lgx 0, NA. ( 2,0)B. 1,2)C. (1,2D. (0,22.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1 i）z 1 i（其中i為虛數(shù)單位）A. iB. iC.2i D. 2i23.已知命題p:若a |b|,則a2n是直線(xiàn),為平面，若m ，n，則m n .下列命題為真命題的是B. p qC.D. p4.已知Sn為數(shù)列J an的前n項(xiàng)和，Sn1 an,則 S5A. 31 B. 31 C. 32232D. 31165.

2、如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y （單位：億元）的折線(xiàn)圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是（A.從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加;B. 2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C. 2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù) 2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,，7）建立投資額y與時(shí)間t的線(xiàn)性回歸模型? 99 17.5t ,根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.,.兀一 一一一6.已知直線(xiàn)x 一

3、是函數(shù)f（x） sin（2x ）6（| | ）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，為了得到函數(shù)y f （x）的圖象，可把函數(shù)y sin 2x的圖象（TT TTA向左平行移動(dòng)長(zhǎng)度B向右平行移動(dòng)長(zhǎng)度7TC.向左平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度7TD.向右平行移動(dòng) 一個(gè)單位長(zhǎng)度12A,8.若alog 0.5 0.2 , bA.10g5 2, c0.5 .，則a, b, c的大小關(guān)系為（a c b B. a b cC. b a c D. c b a17.函數(shù)f（x） ln|x| 1的圖象大致為（ x9.若點(diǎn)A（2,2衣在拋物線(xiàn)C:y22Px上，記拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F ,直線(xiàn)AF與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為B,uuu uuu則 FA FBA.

4、10V2 339210.已知在區(qū)間0,上，函數(shù)y3sin -與函數(shù)y 彳 2sin x的圖象交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P在x軸上的射影為P, P的橫坐標(biāo)為x,則tan%的值為（B. 43C.-5D. C151211.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線(xiàn)稱(chēng)為一對(duì)相關(guān)曲線(xiàn)”，已知后、F2是 一對(duì)相關(guān)曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)， 當(dāng)F1PF2 60時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線(xiàn)中雙曲線(xiàn)的離心率是（A.3 B. .2 C.D. 212.已知函數(shù)f x m x 1 x 2 exe（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式A.0有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（B.3C.22 e eD.2第II卷

5、（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.,r rr r r i .r r ：.已知a, b為互相垂直的單包向重，右c a b ,則cos（b,c）.已知函數(shù)f（x） x3 2x,若f（a 1） f （2a2） 0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.數(shù)列4是等差數(shù)列，ai 1,公差dC1, 2,且包 期 小15,則實(shí)數(shù) 的最大值 為.已知矩形ABCD , AB 1 , BC V3 ,將4ADC沿對(duì)角線(xiàn)AC進(jìn)行翻折，得到三棱錐 D ABC,則在翻折的過(guò)程中，有下列結(jié)論正確的有.三棱錐D ABC的體積的最大值為1 ;3三棱錐D ABC的外接球體積不變；三棱錐D ABC的體積最大值時(shí)，二面角D

6、 AC B的大小是60 ;異面直線(xiàn)AB與CD所成角的最大值為90 .三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 .第1721題為必考題, 每個(gè)試題考生都必須作答.第22, 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.（本小題滿(mǎn)分12分）1在 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a , b, c ,已知b acosC -c .2（I ）求角A ；（H）若AB?AC 3,求a的最小值.（本小題滿(mǎn)分12分）中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法規(guī)定，公民月收入總額（工資、薪金等）不超過(guò)免征 額的部分不必納稅，超過(guò)免征額的部分為全月應(yīng)納稅所得額，個(gè)人所得稅稅款按稅率表分段 累計(jì)

7、計(jì)算。為了給公民合理減負(fù)，11步提升公民的收入水平，自 2018年10月1日起，個(gè)人 所得稅免征額和稅率進(jìn)行了調(diào)整，調(diào)整前后的個(gè)人所得稅稅率表如下：個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整前）個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整后）免征額3500元免征額5000元級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率頁(yè)3第1不超過(guò)1500元的部分3%1不超過(guò)3000元的部分3%2超過(guò)1500元至4500元的部分10%2超過(guò)3000元至12000元的部分10%3超過(guò)4500元至9000元的部分20%3超過(guò)12000元至25000元的部分20%(I )已知小李2018年9月份上交的稅費(fèi)是295元，10月份月工資、薪金等稅前收入與 9

8、月份相同，請(qǐng)幫小李計(jì)算一下稅率調(diào)整后小李10月份的稅后實(shí)際收入是多少？(n )稅務(wù)部門(mén)在小李所在公司用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻率分布直方圖。(i )請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該公司員工稅前收入的中位數(shù)；(ii)同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，按調(diào)整后稅率表，試估計(jì)小 李所在的公司員工該月平均納稅多少元？.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在底面為矩形的四棱錐 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD.90 ,設(shè)Q為PB中點(diǎn)，求直線(xiàn)AQ與平面AC0的離心率為,以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線(xiàn)的四2(I )證明：AB PD ;(H)若 PA PD AB,

9、 APDPBC所成角的余弦值.(本小題滿(mǎn)分12分)22已知橢圓E :jy21a ba b邊形的面積為4 2 .(I )求橢圓E的方程；(H)若直線(xiàn)x my 4 0與橢圓E相交于A, B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足 uxi uur uuuuun uurPA PB t 2 0P (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).當(dāng)t 1時(shí)，求OA OB的最小值.(本小題滿(mǎn)分12分)2ex 1已知函數(shù)f(x) a ln x 一 一2- (a為吊數(shù))在區(qū)|可(0, 2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1 x2).x x(I )求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(n )求證：xi X2 2(1 ln a).(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,

10、 23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的 第一題計(jì)分.(本小題滿(mǎn)分10分)選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程x cos已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 cos (為參數(shù)).以原點(diǎn)O為 y 1 sin極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.(I)求圓C的普通方程及其極坐標(biāo)方程；(II)設(shè)直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為 sin 2 ,射線(xiàn)OM :與圓C的交點(diǎn)為P (異36于極點(diǎn))，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為Q ,求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng).(本小題滿(mǎn)分10分)選彳4-5:不等式選講已知函數(shù) f(x) |x 2| a|x 2|,(I)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x) 2的解集；(H)當(dāng)x 2,2時(shí)不等式f

11、(x) x包成立，求a的取值范圍2020屆高三期末考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案、選擇題:題號(hào)123456789101112答案CBBADCAADBAC二、填空題：、21113.14. 1,-15. 16.222三、解答題：117.解：(I) . ABC中，b acosC c ,2 TOC o 1-5 h z 1_由正弦止理知，sin B sin AcosC sinC 2分2: A B C . . sin B sin( A C) sin AcosC sin C cos A ,二 sin AcosC1.八sinC cos A sin AcosC sin C ,2, sinC cos A sin C2

12、TOC o 1-5 h z -1cos A- A - . 6 分23(U) AB?AC 3/. AB ? Ac cosA 3,得 bc所以 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 6 2bc 6 6當(dāng)且僅當(dāng)b c時(shí)取等號(hào)11分所以a的最小值為金12分18.解：（I）設(shè)小李9月份的稅前收入為x元，因?yàn)?95 345所以按調(diào)整起征點(diǎn)前應(yīng)繳納個(gè)稅為：1500 3% x 5000 10% 295,解得x 75002分按調(diào)整起征點(diǎn)后應(yīng)繳納個(gè)稅為：7500 5000 3% 75調(diào)整后小李的實(shí)際收入是7500 75 7425 （元）4分（n） （i）由柱狀圖知，中位數(shù)落在第二組，不妨設(shè)中位數(shù)為x千元

13、,則有 0.12 2 0.16 x 50.5,解得 x 6.625 （千元） 估計(jì)該公司員工收入的中位數(shù)為6625千（ii）按調(diào)整起征點(diǎn)后該公司員工當(dāng)月所交的平均個(gè)稅為0.24 0 0.32 30 0.2 90 0.12 290 0.08 490 0.04 690 129.2 （元）估計(jì)小李所在的公司員工平均納稅129.2元12分19.解：（I）依題意，平面 PAD 平面ABCD , AB ADQ AB平面ABCD ,平面PADI平面ABCD AD ,AB平面PAD ,又PD 平面PADABPD在 4PAD 中，取 AD 中點(diǎn) O ,連接 PO , Q PA AD, PO AD, PO 平面

14、ABCD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A為x軸，過(guò)點(diǎn)A且平行于AB的直線(xiàn)為y軸，OP所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè) PA 2 , Q APD 90 , AD 2位.P（0,0, .2）, B（工,2,0）, C（衣,2,0），a（近0,0）,q 爭(zhēng)，弓,uuu _ uurPB （、.2,2,2）, BC （設(shè)平面PBC的法向量為n（x, y,z）,uuu_PB2x 2y . 2zuur _ BC 2 ,2x 01,得 n（0,iJ2）設(shè)直線(xiàn)AQ與平面PBC所成角為,則sin29分_ uur2 2,0,0）, AQ因?yàn)?0, , cos .1 sin2323所以直線(xiàn)AQ與平面PBC所成

15、角的余弦值為12分c20.解：(I )依題意得，e a以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線(xiàn)的四邊形的面積為4/2 ,2-1一 一則-2a 2b 4應(yīng)，解得a222所以橢圓E的方程為-y-42(n)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1, y1) , (x2, y2),聯(lián)立方程2 x4x2y2my1,得(m2 2)y2 8my4,2 一一 一12 0,64m96 06,yy2uuu 因?yàn)镻A8m2 muuu PByy2uuu t 2 OP ,上m2 2 uuu uur 即 OA OPuurOBuuu uuu uuu uuuOP t 2 OP ,所以 OA OBuuutOP .所以點(diǎn)P(xiX2 yi產(chǎn))，又點(diǎn)P

16、在橢圓C上，所以有(、)2 2(產(chǎn)2 2,化簡(jiǎn)得m(y y2) 82 2( y y2)2 4t2,2 / 2)(m22)8m16m(2m2)64 4t2 0 ,化簡(jiǎn) m2 32 t_26 m 30 , uuu uum 因?yàn)镺A OB又y1y2X X2yy2myi 4my21 y1y24m y1y2令m28m2-m 2yi y212m2 2uuu uuuuuu,所以O(shè)AuuuOB4m2 44 m222 s(s (8,32),則 OA OB4s 525211分suuu uuu32時(shí)，OA OB取得最小值，最小值為21 .解：(I )解法一:,2ex1(2由 f (x) a In x -2-,可得

17、f (x) 一x x198x)(ex 13xax)由題意 x (0,2),則 Jx 0 ,設(shè) h(x) ex 1 ax(x 0), h (x) ex 1 a .3x由題意，知x1,x2是y h(x)在(0,2)上的兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a00時(shí)，h (x) 0,則h(x)在(0,2)上遞增，h(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng) a 0時(shí)，由 h (x) 0 ,得 x 1 ln a , h(1 In a) a In a3分e(i)右 1 Ina 2 且 h(2) e 2a 0,即 0 a 時(shí)，h(x)在(0,1 Ina)上遞減，(1 In a,2)遞 2增；若h(x)mmh(1 lna)alna0,即0

18、a&e時(shí)，h(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；e1右 h(x)minh(1 lna)alna 0,即 1 a E 時(shí)，又 Qh(2) 0,h(0) 0,2e從而，h(x)在(0,1 lna)和(1 ln a,2)上各有一個(gè)零點(diǎn).e所以1 a 時(shí)，y h(x)在(0,2)上存在兩個(gè)零點(diǎn).2(ii)若1 lna 2,即a e時(shí)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，h(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去(iii )若 1 lna 2 且 h(2) e 2a 0 ,e即一 wa e時(shí)，h(x)在(0,1 lna)上有一個(gè)零點(diǎn)，在 2(1 ln a,2)上沒(méi)有零點(diǎn)，舍去.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是解法二：由 f

19、(x) a ln x一 、，x 1、可得f (x) (2 x)(e3兇 x(0,2)由題意知Ox?是y ex 1 ax,x 0在(0, 2)上的兩個(gè)零點(diǎn).ax0,得a從而只需直線(xiàn)y a與函數(shù)g(x)由 g(x) (x ?e 得 g(x)xx 1ej在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以 g(x)min g(1) 1,g(2)且 x 0 時(shí)，g(x)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,W . 6分2(H)解法一：令 H(x) h(x) h(2 2ln a x), 0 x 1 lna7分則 H (x) h(x) h (2 2ln a x)2ex 1 f 2a 1 2a 2a 0 , x

20、e所以H(x)在(0,1 Ina)上遞增,H(xi)h(x1) h(2 2ln a x1)H(1 Ina) 0而 h(x1)hX),且 h(x)在(1 lna,2)遞增;h%)h(2 2ln aX)11x222ln a x1,x1x22(1ln a),命題得證.解法二：由(1)有ax1ax2e ex2lnlnln x1ln x2x1x22ln a ln(x1x2)x1x2則證明x1 x22(1 ln a)ln( x1x2)x2下證式成立,x 1令 g(x), xg(x1)g(x2), g (x)x 1 /e (x2 x1)易知0 x1 11x2 ,從而式x2一x1gg1g 一 x1,、1g(x1) g 10分又令 G(x) g(x)即證G(x)0對(duì)0 x 1成立.G (x)x2x1 xex1設(shè) h(x) ex 1 xex11 ex11分從而 h(x) h(1) 0, G (x) 0,G(x)G(1) 0 .1即0 x 1 , g(x) g - x，即 g(x)1g 一 x1從而式成立.x1x2 2(1ln a)命題得證.分x2 (y 1)2 12 分x cos.