基于Matlab環(huán)境優(yōu)化Taylor中值定理教學(xué)

1、基于Matlab環(huán)境優(yōu)化Taylor中值定理教學(xué)基于Matlab環(huán)境優(yōu)化Taylor中值定理教學(xué)【摘要】利用Matlab7.01數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中Taylor中值定理，把傳統(tǒng)的教學(xué)模式“講授?記憶”教學(xué)過(guò)程變成“直覺(jué)?探索?思考?猜想?驗(yàn)證”的探究式教學(xué)過(guò)程。充分利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力和圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)科學(xué)合理的多媒體教學(xué).【關(guān)鍵詞】Matlab;Taylor中值定理;多媒體引言數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程在大學(xué)悄然興起，促使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室從無(wú)到有、從小到大，“直覺(jué)?探索?思考?猜想?驗(yàn)證”的探究式學(xué)習(xí)有了物質(zhì)基礎(chǔ)。優(yōu)秀軟件Matlab在多媒體教學(xué)中占據(jù)了一席之地，PPT與Matlab界面可以通過(guò)超級(jí)鏈接

2、等多種方式方便切換。在Matlab環(huán)境中，簡(jiǎn)單的操作界面具有一定的人機(jī)交流對(duì)話功能，有利于學(xué)生發(fā)揮主體性、提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性和創(chuàng)造性。在自主操作過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和公式的理解得到深化，學(xué)習(xí)興趣增強(qiáng)。所以，合理使用Matlab軟件可以大大縮短抽象和直觀、理論和實(shí)踐的認(rèn)識(shí)過(guò)程。在Matlab環(huán)境中學(xué)習(xí)Taylor定理在近似計(jì)算和誤差理論分析以及級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)中，Taylor中值定理有著非常重要的地位和作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)Taylor中值定理時(shí)，學(xué)生往往只知其然不知其所以然，只能從教材中有限的靜態(tài)圖像中被動(dòng)接受，對(duì)公式的實(shí)質(zhì)不了解或不甚了解，所以學(xué)生對(duì)Taylor中值定理之美少有體會(huì)。在Matlab界面中，可

3、以排除“講授?記憶”課堂教學(xué)模式中許多不能解決的許多障礙。問(wèn)題提出定理1若f(x)在x0處可導(dǎo)，則在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0)，或記為f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)(1)例1當(dāng)|x|很小時(shí)，ex21+x,sinxx(如圖1、2)。圖1exp(x),1+x圖2sinx,x例1兩個(gè)關(guān)系的Matlab語(yǔ)句分別為：x=-2:0.1:2;plot(x,exp(x),x,1+x,)gridon;axisequalaxis(-2.52.5-18)x=-pi:0.1:pi;plot(x,sin(x),x,x,)gridon;axisequalax

4、is(-pipi-22)gridon和axisequal語(yǔ)句可以省略，只是圖像中失去網(wǎng)格線、縱橫坐標(biāo)軸比例失調(diào)。直覺(jué)會(huì)激發(fā)學(xué)生的想象。通過(guò)探索與思考，學(xué)生會(huì)思考這樣的問(wèn)題：當(dāng)|x|很小時(shí)，才能保證公式(1)式的精度，如果需要較大范圍怎么辦呢?也就是說(shuō)，怎么保證在離坐標(biāo)原點(diǎn)較遠(yuǎn)處也有較小的誤差呢?這一點(diǎn)可以通過(guò)提高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)來(lái)保證。問(wèn)題分析在微積分學(xué)中，多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)顯示出簡(jiǎn)潔性、易操作性。定理1就是以一次多項(xiàng)式p1(x)近似代替f(x)，公式(1)右邊多項(xiàng)式部分提取了f(x)的位置和傾斜度信息，說(shuō)明了用一次函數(shù)p1(x)近似表示函數(shù)f(x)，p1(x)與f(x)在一定范圍內(nèi)就吻合得較好，

5、如圖1。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義可以知道，f(x0)、f(x0)、f(x0)分別表示了函數(shù)f(x)的位置、傾斜度、彎曲方向特性。通過(guò)啟發(fā)，學(xué)生猜想，若提取f(x)更多的特征值信息f(n)(x0)：使f(n)(x0)=p(n)(x0)，即提高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)要求，就可以保證在更大范圍內(nèi)pn(x)與f(x)仍然吻合較好嗎?對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題而言，是否導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，達(dá)到吻合要求的、范圍越大呢？定理2(Taylor中值定理)若f(x)在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該領(lǐng)域內(nèi)的任意x，有：f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+12!f(x0)(x-x0)2+1n!f(x0)(x-x0)n+o(x-x0)(2)成立。例2作圖觀察近似關(guān)系式ex21+x+12!x2+13!x3和sinxx-13!x3+15!x5(如圖3、4)，