第三章線性方程組第二、三節(jié)維向量

1、1第二節(jié)向量及其線性運(yùn)算2一、向量的概念定義行向量列向量或3 向量可視為特殊的矩陣, 因此, 向量的相等、加減法、分量全部為零的向量稱為零向量，記為 。數(shù)乘等概念完全與矩陣相同.則4向量的線性運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算律： (1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g(3) a+=a (4) a+(-a)= (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb(7) (kl)a=k(la)(8) 1a=a其中a, b, g 都是n維向量, k, l 為實(shí)數(shù).5除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：例1解其中移項(xiàng)規(guī)則6練習(xí)：P141 習(xí)題三7第三節(jié)向量間的線性關(guān)系8一

2、、向量組的線性組合定義如果兩個(gè)向量組可以互相表出,則稱等價(jià)。9例如, b =(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 因?yàn)?b = 2a1-a2+a3 , 或者說(shuō) b 可由a1,a2,a3 線性表示.即b 是 a1,a2,a3 的線性組合, 10稱為n維基本單位向量組。 11對(duì)線性方程組將系數(shù)矩陣A分裂成列向量則方程組改寫(xiě)為12例1解13例2解14但表示法不唯一。 15二、向量組的線性相關(guān)性定義16包含零向量的向量組一定線性相關(guān):單個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它為零向量:例3設(shè)有17定理證使則18定理(線性無(wú)關(guān))的充分必要條件是齊次線性方程組有(無(wú))

3、非零解,19例4解判斷下列向量組的線性相關(guān)性:線性相關(guān).20解線性無(wú)關(guān).注意(1) 寫(xiě)為列向量, 拼成矩陣；(2) 只作行變換。21推論線性相關(guān)(線性無(wú)關(guān))的充分必要條件是行列式n維基本單位向量組線性無(wú)關(guān),22例5證23例6證必線性相關(guān)。用矩陣形式，24有非零解，比如25定理證26定理證再證表法唯一。設(shè)有兩種表示法，即表法唯一。27線性相關(guān)性的性質(zhì)(1) 如果向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān)。等價(jià)命題:如果一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān), 則其任一部分組線性無(wú)關(guān).部分相關(guān)整體相關(guān)整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)線性相關(guān)的向量組添加若干向量仍線性相關(guān);線性無(wú)關(guān)的向量組去掉若干向量仍線性無(wú)關(guān).28可以推廣到添多個(gè)分量的情形.等價(jià)命題:線性相關(guān)的向量組各去掉一個(gè)(或幾個(gè))分量所得向量組仍線性相關(guān)。證29(3) 向量組的個(gè)數(shù)如果多于維數(shù), 則必線性相關(guān)。齊次線性方程組未知量個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，必有非零解，線性相關(guān)(線性無(wú)關(guān))的充分必要條件是行列式30由上述推論知，證略