彈性力學(xué)第二章平面問(wèn)題的基本理論和物理方程

1、彈性力學(xué)第二章平面問(wèn)題的基本理論和物理方程第一節(jié) 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題第二節(jié) 平衡微分方程第三節(jié) 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第四節(jié) 幾何方程 剛體位移第五節(jié) 物理方程第六節(jié) 邊界條件第二章 平面問(wèn)題的基本理論第七節(jié) 圣維南原理及其應(yīng)用第八節(jié) 按位移求解平面問(wèn)題第九節(jié) 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程第十節(jié) 常應(yīng)力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù) 彈性力學(xué)平面問(wèn)題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移8個(gè)未知函數(shù)，且均為 。2-1平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 彈性力學(xué)空間問(wèn)題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移15個(gè)未知函數(shù)，且均為 ；平面應(yīng)力=兩類(lèi)特殊問(wèn)題1、平面應(yīng)力問(wèn)題yxyzt/2t/2 （4）約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不

2、變。 （3）面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變； （2）體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；條件是： 第一種：平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)力 （1）等厚度的薄板； 坐標(biāo)系如圖選擇。平面應(yīng)力簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題： 故只有平面應(yīng)力 存在。 由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無(wú)z向外力，可認(rèn)為：平面應(yīng)力（1）兩板面上無(wú)面力和約束作用，故 所以歸納為平面應(yīng)力問(wèn)題：a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力 存在；b.且僅為 。平面應(yīng)力（2）由于板為等厚度，外力、約束沿z向不變，故應(yīng)力 僅為 。如：弧形閘門(mén)閘墩計(jì)算簡(jiǎn)圖：平面應(yīng)力深梁計(jì)算簡(jiǎn)圖：F因表面無(wú)任何面力，平面應(yīng)力AB例題1：試分析AB薄層中的應(yīng)力狀態(tài)。故接近平

3、面應(yīng)力問(wèn)題。故表面上，有：在近表面很薄一層內(nèi)：第二種：平面應(yīng)變問(wèn)題縱向軸壓力管道縱向軸水壩 （2）體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變；平面應(yīng)變第二種：平面應(yīng)變問(wèn)題條件是： （1）很長(zhǎng)的常截面柱體； （3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變； （4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變。坐標(biāo)系選擇如圖：平面應(yīng)變對(duì)稱面 故任何z 面（截面）均為對(duì)稱面。 平面應(yīng)變（1）截面、外力、約束沿z 向不變，外力、約束 平行xy面，柱體非常長(zhǎng)；簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題：（2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿 向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為 。平面應(yīng)變 所以歸納為平面應(yīng)變問(wèn)題

4、： a.應(yīng)變中只有平面應(yīng)變分量 存在； b.且僅為 。平面應(yīng)變例如：平面應(yīng)變隧道擋土墻oyxyox且僅為 。故只有 ，本題中：平面應(yīng)變oxyz例題2：試分析薄板中的應(yīng)變狀態(tài)。故為平面應(yīng)變問(wèn)題。22平衡微分方程定義 平衡微分方程-表示物體內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件。 在任一點(diǎn)（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：體力： 。定義應(yīng)力：作用于各邊上， 并表示出正面上 由坐標(biāo)增量引起 的應(yīng)力增量。應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性假定應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。小變形假定用變形前的尺寸代替變 形后的尺寸。 列出平衡條件：合力 = 應(yīng)力面積，體力體積； 以正向物理量來(lái)表示。平面問(wèn)題中可列出3個(gè)平衡條件。

5、平衡條件其中一階微量抵消，并除以 得： ，同理可得：平衡條件 當(dāng) 時(shí)，得切應(yīng)力互等定理,得平衡條件 適用的條件-連續(xù)性，小變形；說(shuō)明對(duì)平衡微分方程的說(shuō)明： 代表A中所有點(diǎn)的平衡條件， 因位（ ，）A； 應(yīng)力不能直接求出； 對(duì)兩類(lèi)平面問(wèn)題的方程相同。理論力學(xué)考慮整體 的平衡（只決定整體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）。 說(shuō)明比較:材料力學(xué)考慮有限體 的平衡（近似）。 彈性力學(xué)考慮微分體 的平衡（精確）。 當(dāng) 均平衡時(shí)，保證 ， 平衡；反之則不然。 說(shuō)明 所以彈力的平衡條件是嚴(yán)格的，并且是精確的。 理力（ V ）材力（ ）彈力（ ）hV dxdy dx思考題1.試檢查，同一方程中的各項(xiàng)，其量綱 必然相同（可用來(lái)檢驗(yàn)方

6、程的正確性）。2.將條件 ,改為對(duì)某一角點(diǎn)的 ，將得出什么結(jié)果？3.微分體邊上的應(yīng)力若考慮為不均勻分布， 將得出什么結(jié)果？ 已知坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求斜面上的應(yīng)力。問(wèn)題的提出：23平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題求解：取出一個(gè)三角形微分體（包含 面， 面， 面）， 邊長(zhǎng)問(wèn)題斜面應(yīng)力表示：yxPAPBppxpyNNn2、平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 幾何參數(shù)：設(shè)AB面面積=ds， PB面積=lds， PA面積=mds。斜面上應(yīng)力分解為：由Y=0得：（2-3）由平衡條件，并略去高階分量體力項(xiàng)，得(1)求（ , ）(a)斜面應(yīng)力其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。2、平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

7、yxPAPBppxpy斜面上應(yīng)力分解為：NN（2-4）（2-5）已知P點(diǎn)應(yīng)力xyxy可求出過(guò)P點(diǎn)任意斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力（NN） 利用（2-4）（2-5）應(yīng)力在x，y軸上的投影（px，py） 利用（2-3）n(2)求（ ）將 向法向，切向投影，得斜面應(yīng)力主平面主應(yīng)力：剪應(yīng)力等于零的平面叫主平 主平面上的應(yīng)力叫主應(yīng)力。 pxpyyxAPBn2(x+y)+(xy2xy)=0 設(shè)某一斜面為主面，則只有由此建立方程，求出:(3)求主應(yīng)力斜面應(yīng)力(c)主平面主應(yīng)力：剪應(yīng)力等于零的平面叫主平面， 主平面上的應(yīng)力叫主應(yīng)力。 pxpyyxAPBn注意:平面應(yīng)力狀態(tài)下,任一點(diǎn)一般都存在 兩個(gè)主應(yīng)力。二者方向互

8、相垂直。 1+2=x+y任一點(diǎn)主應(yīng)力值是過(guò)該點(diǎn)各截面上正應(yīng)力中的極值。最大剪應(yīng)力所在平面與主平面相交45，其值為主平面上剪應(yīng)力等于零，但max 作用面上正應(yīng)力一般不為零。而是： 將x，y放在 方向，列出任一斜面上應(yīng)力公式，可以得出（設(shè) ）(4)求最大，最小應(yīng)力最大，最小應(yīng)力說(shuō)明：以上均應(yīng)用彈力符號(hào)規(guī)定導(dǎo)出。(d)幾何方程表示任一點(diǎn)的微分線段 上形變與位移之間的關(guān)系。24幾何方程剛體位移定義變形前位置： 變形后位置： 各點(diǎn)的位置如圖。 通過(guò)點(diǎn)P(x,y)作兩正坐標(biāo)向的微分線段定義 應(yīng)用基本假定：連續(xù)性；小變形。當(dāng)很小時(shí)，假定幾何方程 剛體位移yxPABPABuvPA=dx, PB=dyPA正應(yīng)變

9、:PB正應(yīng)變:（2-8）幾何方程：對(duì)兩種平面問(wèn)題都適用。假定由位移求形變：PA 線應(yīng)變PA 轉(zhuǎn)角PB 線應(yīng)變PB 轉(zhuǎn)角同理， 適用于區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)，因?yàn)椋▁,y） A；對(duì)幾何方程的說(shuō)明：所以平面問(wèn)題的幾何方程為：說(shuō)明 適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。 應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程； 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結(jié)果。 形變和位移之間的關(guān)系： 位移確定 形變完全確定： 從物理概念看，各點(diǎn)的位置確定，則微分線段上的形變確定 。 說(shuō)明 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定 。 從物理概念看， ， 確定，物體還可作剛體位移。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看， ， 確定，求位

10、移是積分運(yùn)算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變確定，位移不完全確定： 形變與位移的關(guān)系由 ,兩邊對(duì)y積分，由 ,兩邊對(duì)x積分，例：若 ,求位移：形變與位移的關(guān)系代入第三式分開(kāi)變量， 因?yàn)閹缀畏匠痰谌綄?duì)任意的（x，y）均應(yīng)滿足。當(dāng)x（y）變化時(shí)，式(b)的左，右均應(yīng)=常數(shù) ，由此解出 ?？傻眯巫兣c位移的關(guān)系物理意義：形變與位移的關(guān)系表示物體繞原點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。表示x，y向的剛體平移，結(jié)論 形變確定，則與形變有關(guān)的位移可以確定，而與形變無(wú)關(guān)的剛體位移則未定。須通過(guò)邊界上的約束條件來(lái)確定 。思考題1.試證明微分體繞z軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)分量是2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)， 試求出對(duì)應(yīng)的位移分量。物理方程表示（微分體上）應(yīng)力和形變

11、之間的物理關(guān)系。定義即為廣義胡克定律：25物理方程物理方程的說(shuō)明：說(shuō)明 正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力只與切 應(yīng)變有關(guān)。 是線性的代數(shù)方程； 是總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律得出的； 適用條件理想彈性體； 物理方程的兩種形式： 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于 按應(yīng)力求解； 應(yīng)力用應(yīng)變（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。說(shuō)明平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程： 代入 ，得：在z方向平面應(yīng)力 代入 得平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程平面應(yīng)變?cè)趜方向，平面應(yīng)力物理方程平面應(yīng)變物理方程：變換關(guān)系：平面應(yīng)變物理方程平面應(yīng)力物理方程：思考題 1.試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。 2.試證：3個(gè)主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時(shí)可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。 3.

12、試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問(wèn)題）比圓筒（平面應(yīng)變問(wèn)題）的變形大。 位移邊界條件 設(shè)在 部分邊界上給定位移分量 和 ,則有（在 上)。（a）定義 邊界條件 表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。位移邊界條件26邊界條件 若為簡(jiǎn)單的固定邊， 則有位移邊界條件的說(shuō)明：（在 上）。（b） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點(diǎn) ， 位移與對(duì)應(yīng)的約束位移相等。在23 中，通過(guò)三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式，應(yīng)力邊界條件設(shè)在 上給定了面力分 量 （在A中）。（c）應(yīng)力邊界條件將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊

13、界面重合，則得應(yīng)力邊界條件: 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說(shuō)明應(yīng)力邊界條件的說(shuō)明： 式（c）在A中每一點(diǎn)均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s 上均滿足，這是精確的條件； 所有邊界均應(yīng)滿足，無(wú)面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 式（d）中， 按應(yīng)力符號(hào)規(guī)定， ， 按面力符號(hào)規(guī)定； 位移,應(yīng)力邊界條件均為每個(gè)邊界兩 個(gè)，分別表示 ， 向的條件；說(shuō)明若x=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時(shí)，坐標(biāo)面若x=-b為負(fù)x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：兩種表達(dá)式 在同一邊界面

14、上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對(duì) 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)同面 力方向(給定)。 在邊界點(diǎn)取出微分體，考慮其平衡條 件，得式（d）或（e），（f ）； 在斜面上， 在坐標(biāo)面上，由于應(yīng)力與面力的符號(hào)規(guī)定不同，故式（e），（f ）有區(qū)別。例如：兩種表達(dá)式例1列出邊界條件：例2列出邊界條件：顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件；混合邊界條件混合邊界條件： 同一邊界上，一個(gè)為位移邊界條件，另一個(gè)為應(yīng)力邊界條件。例3列出 的邊界條件： 彈性力學(xué)問(wèn)題是微分方程的邊值問(wèn)題。應(yīng)力，形

15、變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 27圣維南原理及其應(yīng)用 圣維南原理可用于簡(jiǎn)化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但 遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。圣維南原理圣維南原理：圣維南原理1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）；圣維南原理的說(shuō)明：4.遠(yuǎn)處 指“近處”之外。3.近處 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域；2.靜力等效 指兩者主矢量相同，對(duì) 同一點(diǎn)主矩也相同；圣維南原理 圣維南原理表明，

16、在小邊界上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對(duì)絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒(méi)有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。例1比較下列問(wèn)題的應(yīng)力解答：b例2比較下列問(wèn)題的應(yīng)力解答：推廣 圣維南原理的應(yīng)用：1.推廣解答的應(yīng)用；2.簡(jiǎn)化小邊界上的邊界條件。應(yīng)用圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用： 精確的應(yīng)力邊界條件如圖，考慮 小邊界， 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。(a)在邊界 上， 在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)

17、的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量 = 面力的主矢量（給定); 應(yīng)力的主矩(M) = 面力的主矩（給定）.數(shù)值相等,方向一致.(b)圣維南原理的應(yīng)用積分的應(yīng)力邊界條件 右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負(fù)號(hào)。具體列出3個(gè)積分的條件：即： 應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值=面力的主矢量，主矩的數(shù)值； 應(yīng)力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。 式中應(yīng)力主矢量，主矩的正方向,正負(fù)號(hào)的確定： 應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力） （正的矩臂）的方向。討論： 1.

18、如果只給出面力的主矢量，主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩； 2.在負(fù) x 面， ，由于應(yīng)力，面力的符號(hào)規(guī)定不同，應(yīng)在式(c)中右端取負(fù)號(hào)； 3.積分的應(yīng)力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。 精確的應(yīng)力邊界條件 積分的應(yīng)力邊界條件方程個(gè)數(shù) 2 3方程性質(zhì) 函數(shù)方程（難滿足） 代數(shù)方程（易滿足）精確性 精確 近似適用邊界 大，小邊界 小邊界比較：思考題1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不能 應(yīng)用圣維南原理？2、試列出負(fù) 面上積分的應(yīng)力邊界條件， 設(shè)有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題，除物理方程的彈性系數(shù)須變

19、換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將 進(jìn)行變換。以下討論平面應(yīng)力問(wèn)題。1.平面問(wèn)題的基本方程及邊界條件平面問(wèn)題28按位移求解平面問(wèn)題 平面應(yīng)力問(wèn)題 平面域A內(nèi)的基本方程:平衡微分方程（在A內(nèi)）幾何方程物理方程（在A內(nèi)）（在A內(nèi)）應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 （在 上）（在 上）S上邊界條件: 8個(gè)未知函數(shù) 必須滿足上述方程和邊界條件。 按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 ， ；再求形變和應(yīng)力。2.解法消元法 解法 按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的

20、方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。 這是彈力問(wèn)題的兩種基本解法。3. 按位移求解 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應(yīng)力先用形變來(lái)表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示: 取 ， 為基本未知函數(shù)；按位移求解 在A中導(dǎo)出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程，上式是用 ，表示的平衡微分方程。位移邊界條件 （在 上）(d)（在 上）(c)應(yīng)力邊界條件將式(a)代入應(yīng)力邊界條件， 在S上的邊界條件 按位移求解時(shí)， ， 必須滿足A內(nèi)的方程(b)和邊界條件(c)，(d)。歸納：式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的條件;也是校核 ， 是否正確的全部條件。 按

21、位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)： 求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用。 適用性廣可適用于任何邊界條件。例1 考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用， 。試用位移法求解。(a) (b)解：為了簡(jiǎn)化，設(shè)位移 按位移求解，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為 (a) (b) 均屬于位移邊界條件，代入 ，得得解出在 處，代入 ，并求出形變和應(yīng)力，思考題試用位移法求解圖(b)的位移和應(yīng)力。（1）取 為基本未知函數(shù)；基本方程29 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題相容方程1.按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來(lái)表示: 位移用

22、形變應(yīng)力表示，須通過(guò)積分，不僅表達(dá)式較復(fù)雜，而且包含積分帶來(lái)的未知項(xiàng)，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來(lái)表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時(shí)，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題,即 。 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。按應(yīng)力求解 在A內(nèi)求解應(yīng)力的方程(b) 從幾何方程中消去位移 ， ，得相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）： 補(bǔ)充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :平衡微分方程 （2個(gè)）。 (a) 代入物理方程，消去形變，并應(yīng)用平衡微分方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，便得用應(yīng)力表示的相容方程 ： 其中 (4) 應(yīng)力邊界條件假定全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件 。（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程；（3）邊界 上的應(yīng)

23、力邊界條件；（4）對(duì)于多連體，還須滿足位移的單值條 件（見(jiàn)第四章）。 歸納： （1）-（4）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題 ，應(yīng)力 必須滿足下列條件：2.形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）的物理意義形變協(xié)調(diào)對(duì)應(yīng)的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對(duì)應(yīng)的位移不存在不是物體實(shí)際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。 形變協(xié)調(diào)條件是與形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調(diào)條件。點(diǎn)共點(diǎn)（連續(xù)），變形后三連桿在 點(diǎn)共點(diǎn)，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。例1三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在 D1.試比較按位移

24、求解的方法和按應(yīng)力求解的 方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作 比較。2.若 是否可能 成為彈性體中的形變？3.若 是否 可能為彈性體中的應(yīng)力？思考題 相容方程 (A) (a)1.常體力情況下按應(yīng)力求解的條件(A) (b) 平衡微分方程 按應(yīng)力函數(shù)求解210常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)力邊界條件 (S) (c) 多連體中的位移單值條件。 (d) 在 - 條件下求解 的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數(shù)，故 與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。2.在常體力,單連體,全部為應(yīng)力邊界條件（ ）下的應(yīng)力 特征：結(jié)論：不同材料的應(yīng)力( )的理論解相 同，用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，也可以用不 同的材料來(lái)代替。兩類(lèi)

25、平面問(wèn)題的應(yīng)力解 相同，試 驗(yàn)時(shí)可用平面應(yīng)力的模型代替平面應(yīng)變的 模型。 3.常體力下按應(yīng)力求解的簡(jiǎn)化 對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，艾里已求出為 非齊次微分方程(b)的任一特解，如?。?）常體力下平衡微分方程的通解是： 非齊次特解+齊次通解。所以滿足平衡微分方程的通解為:(g)為艾里應(yīng)力函數(shù)。如果，則A，B均可用一個(gè)函數(shù)表示，即說(shuō)明：a.導(dǎo)出艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù) ，是應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的相容性，即d. 由 再去求應(yīng)力（式（g）,必然滿足平衡微分方程，故不必再進(jìn)行校核。c. 仍然是未知的。但已將按應(yīng)力 求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù) 求解，從3個(gè)未知函數(shù)減少至1個(gè)未知函數(shù) 。b.導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù) 的過(guò)程，也就證明了

26、 的存在性，故可以用各種方法去求解 。（2）應(yīng)力應(yīng)滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得 （3）若全部為應(yīng)力邊界條件（ ）， 則應(yīng)力邊界條件也可用 表示。歸納：（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2） 上的應(yīng)力邊界條件；（3）多連體中的位移單值條件連體。求出 后，可由式（g）求得應(yīng)力。 在常體力下求解平面問(wèn)題 ，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù) 求解， 應(yīng)滿足:1，在常體力，單連體和全部為應(yīng)力邊界條件條件下，對(duì)于不同材料和兩類(lèi)平面問(wèn)題的， 和均相同。試問(wèn)其余的應(yīng)力分量，應(yīng)變和位移是否相同？思考題2，對(duì)于按位移(u, v)求解，按應(yīng)力（ ， ， ）求解和按應(yīng)力函數(shù) 求解的方法，試比較其未知函數(shù)，應(yīng)滿足的方程和

27、條件，求解的難易程度及局限性。第二章例題 1例題2例題3例題4例題7例題5例題6例題例1 試列出圖中的邊界條件。MFyxl h/2 h/2q(a)解: (a)在主要邊界 應(yīng)精確滿足下列邊界條件：在小邊界x = 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí)，在小邊界x = l，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，3個(gè)積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。(b) 在主要邊界x= 0, b，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：FOxyqh(b) b/2 b/2 在小邊界y = 0，列出3個(gè)積分的邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí)， 注意在列力矩的條件時(shí)兩邊均是對(duì)原點(diǎn)o 的力矩來(lái)計(jì)算的。 對(duì)于y = h

28、的小邊界可以不必校核。例2 厚度 懸臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問(wèn)題的解答。 h/2 h/2AxylFO解： 此組位移解答若為圖示問(wèn)題的解答，則應(yīng)滿足下列條件:(1) 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 (書(shū)中式218）;（2）應(yīng)力邊界條件（書(shū)中式219），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應(yīng)用圣維南原理，用3個(gè)積 分的邊界條件來(lái)代替。（3）位移邊界條件（書(shū)中式214）。本 題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使3個(gè)積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。 因此，只需校核下列三個(gè)剛體的約束條件： A點(diǎn)（ x = l及y = 0）， 讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問(wèn)題之解。例3 試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （a）相容； （b）須滿足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，則例4 在無(wú)體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須 滿足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應(yīng)力邊界條件（當(dāng) ）。（a）此組