專題15超越方程反解難,巧妙構造變簡單高考數學解答題壓軸題突破講義解析版

1、專題15超越方程反辭選.巧妙為造變簡單【題型綜述】導數研究超越方程超越方程是包含超越函數的方程，也就是方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函 數，與超越方程相對的是代數方程.超越方程的求解無法利用代數幾何來進行.大部分的超越 方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解.在探求諸如x3 6x2 9x 10 0, x2 2lnx x 2& 2方程的根的問題時，我們利用導數這一工具和數形結合的數學思想就可以很好的解決.此類題的一般解題步驟是：1、構造函數，并求其定義域.2、求導數，得單調區(qū)”間和極值點.3、畫出函數草圖.4、數形結合，挖掘隱含條件，確定函數圖象與 x軸的交點情況求解.【典例指引】a

2、x xlnx 在 xe 2處取得極小值.(1)求實數a 一的值;x 2 lnx f,其導函數為F x ,若Fx的圖象交x軸于兩點C x1,0 ,D x2,0且x1x2,設線段CD的中點為N s,0，試問s是否為Fx 0的根？說明理由.【思路引導】(1)先求導數，再根據0,解得a1 ,最后列表驗證(2)即研究x1 x220是否成立,因為F為2%x2x1利用 x12 21nxi x102x221nx2 x2x22 ln% lnx2x1 x2x12 1nxi lnx2x1 x2x1 x2x1 x22 t 1=0,轉化為lnt t 1中t 工，最后利用導數研究函數ux2t lnt2 t 1 、， 一

3、武題解析:! 1)EUx:= Q.v+jdnxj 所以f tx=叮+1ilk + 1 ,因為函馥可在其二二處取得極小值，戶=】，眥=lnx+2 ,當 F(x)Q時，式。一，當 r 0 時，00j當中門hYOj所XF(目的單調墻區(qū)間為;棉區(qū)間為；=+工；. 由題意知人工)二1十巴口0, ()=-吧?由U 。得0u#c； /(x) , XT，烈刈在區(qū)間L司上是增困數,在區(qū)間與陵上是減圖數.* 、1g(l) =Lg/| =1+ 二, X(e) =1 十-故. HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 、*FeW來源:Z.xx.k.Com【方法點晴】本題主要考查

4、的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究方程的根、不等式的恒成立和導數的幾何意義，屬于難題.利用導數研究函數f x的單調性的步驟：確定函數 f x的定義域；對f X求導；令f x 0,解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間；令 f x 0,解不等式得x的范圍就是遞.減區(qū)間.例 3.已知函數 f1X;=axeB (a*0)(1)討論標)的單調性；(2)若關于|x的不等式+的解集中有且只有兩個整數，求實數宮的取值范圍.【思路引導】Inx + X - 4利用導數研究其單調性，結合零點定理可得結果.(1)求出收處 分兩種情況討論，分別令p(x”可得增區(qū)間,令,axeInx + x - 41 Inx + x-

5、 4=-，令h=xexe試題解析：(1)淞70+ 1屋 當a0時，f3在，-81，上單調遞減，在L + 間單調遞增；當時，敞)在 jF上單調遞增，在,單調遞減；L,*|lnx + x - 4| Inx + K - 4(I 2)依題意 |nx + x - 4| axe Inx + m - 4| axeK=? 區(qū) = 乂，xe xeInx + x-4 令 h(x)=K xe,學*又小=|口3-20,存在唯一的使得中(t) = 0.當kE(O#,小vo=h(x) |0=依 在bJ單調遞增；當敘町下口卜體) 3時，h(x) 0,3又 |WD| = -2 Jn2 I F IlnJ-l21n，h(2)|

6、- |h|=，hg， 學*2e3e4e故要使不等式|p(x)| 磯解集中有且只有兩個整數,a的取值范圍應為1.12019山西祁縣中學上學期期末】已知函數2 f(K)= M +33x(2)若(1)求實數日的值;關于*的方程/f僅)+ JK + 1 = k)(有實數解，求實數k的取值范圍. 33【思路引導】(1)求出函數的導數，得到關于a的方程，解出即可；- 1 . 1 (2)得到xlnx + = = k,令g (x) = xlnx + ,根據函數的單倜性求出k的氾圍即可.X| X【解析】11涵數R”的定義城為10. *呵，f TOC o 1-5 h z .2 a由八】)J- + a三。，解i導”

7、3 3 由方(W +4 r T%整理后得/imi 1 = la,所以*%+ -工匕 33x1, 1/-I Dkt h= Wm： + -,貝。*) = hu* 1=叱+.顯然后國=。*XX爭YX時r(MX g?斕困如 當Q時Y儀” tb g閭為增國軌所以當K1時，虱川田/虱卜:，即量向的值域為1, +同.所以使方程x2f(x) * 2* 1 =k*有實數解的k的取值范圍k 1. 33.,、/ ，、，遼遼 一 、l 一，1 A11 I -2.12019浙江臺州上學期期末】設函數 f(X)= -X -X% kE R. 4(I )求函數 網燈在其-1處的切線方程；(n)若對任意的實數 ,不等式恒成立，

8、求實數|a的最大值；(出)設mwO,若對任意的實數k,關于x的方程fx = kK + 有且只有兩個不同的實根，求實數m的取值范圍.【思路引導】(I)求出函數在 卜=1處的導數后可得切線方程.4(n)參變分離后求函數 g(x)-1 -x3 + ”的最小值可得卜的最大值. 4fl . 3 . * ZLx - flLim(出)因為EH0,故K*) * kx+E無零根，參變分離后考慮 卜僅=口的圖像與直線V*k總有兩個不同4x的交點，從而得到實數 m的取值范圍.【解析】(I)fh)= x我，fm=H所以在k = i處的切線方程為=.(ID因為對任意的哀救L不攀式3J之m - 2M恒成立.所以昌 -一+

9、力恒成立一4ig(x) = - - X1 * 2x7 則g1二不 久 +2 = (k- 1)(/ - 2j( 4= |x - l|(x - 1-vJlix- 1+ k3b所以1E閭在門十九十電調逆增j在-jl - Jjj (LI+3i里調逢激一所以陽明皿5川削1-、引凰1 +同但口 +以=-5 2x/2) + 2%因為1 9 1 r3是方程-2x2-。的兩根.所以 g(X口片。 1 + 20 4=%+1-琢=-*+2%+1 - 1.(其中91 土科)所以己的最大值為| -1.(ID)若對任意的實數k,關于k的方程gc) vkm有且只有兩個不同的實根j當”叫得E二必與已知矛盾-所Mk =die

10、* 4tn- 有兩梯即產UK 4m.與v = k有兩個交點4x-x4-4x，-4ft1 f-、力8m +日面令h(x) =，貝心= 令P卜卜K1或+ 4ej p3 = 12耳% .貝加僅在(a刀單調遞減，口戶間單調遞增，所以P(/E = M = 4e - 16 (i)當 4m-16*0時，即 e之4時，則 hYxjAO,即 h*)在|，8,0), 0, +J 單調遞增，且當 |x W (1：,。卜時，h1x的取值范圍為R;當kE(0,+g)時，h(M的取值范圍為R.此時對任意的實數k,原方程恒有且只有兩個R不同的 解.(ii)當0 1.【思路引導】Irx(1)關于x的方程f(x)=曲在口后)內

11、有兩個不同的實數根等價于X=, xl,3與y=a有兩個不同的交要證當|x0時，取1即證地)而產1【解析】,/= Ini(1 )由人中*2何得:3 =X即產犬口L3自、F有兩個不同的交點口X1 - Ins|m由六 丁：可知：y = Ti日上單調遞增,在e卦上單調遞或(2)證明：門(4-x0由 f(x) (x2 + 4x+ 2)/ + 0s得(NI在6 上()上單調遞增,X又fl9 45 -T = 4 w 0. fl-| = -e - 2 01604根據零點存在定理可知，存在當 xEjO. X,時，出 0, f (x)在得到% (%+ 2)其中E已故 f(%) 0/門=1 一,乂口，、+ 21令田

12、 K)=klM,x + 240,得到配*卜在j上單調遞減,故觀N)哈卜，ln； L 即綜上：有fMm/L則當當X0時，加L【同步訓練】2x 11.已知函數fx te x (t R),且fx的導數為f x .22(i)若F x f x x是定義域內的增函數，求實數 t的取值范圍；(n)若方程f x f x 2 2x x2有3個不同的實數求實數 t的取值范圍.【思路引導】” (I)只需f x 0,即t萬2x 1 e2x g x恒成立，求出g x min即可得結果；(n)原方程等價于t x2 x 7 e2x,研究函數h xx2 x 7 e2x的單調性，結合圖象可得結果.2試題解析:(I )因為產(目

13、= x=，涮1/ =2至-1-2於一i/PU)0,得2x-l-2r工之即4(2工一1)產對于一切實數x都成立.再令g(,)=；&-1戶，則=由. = 口，得“口，而苜xo叱 /40,當co時：屋心所以mx=o時f如耳取得極小值也是最小值,即g(L=且()二一1所以工的取值范圍是;一不一：.(II)由(I)知，(耳=一方天一六一1:所以方程/( + /(工)= 2一2n一/，即言*一工一” -2r2-2x-x2,整理,得r = ；*+x-g；e。f7、令 日(工)=；f +x一一 Ie31，則，(/)二2(1+ 2工7卜，-2(x+3)(jc-l)eJ , I2J令h x 0,解得x 3或x 1

14、 .列表得：x,333.111,h x00h x增極大值減懈極小值增由表可知當x 3時，h x取得極大值-e 62 3 c當x 1時，h x取得極小值 -e2. 2又當 x 3時，x2 x 7 0, e2x 0,此時 h x 0 .學* 210因此當x 3時，h x 0,5e6；當 3x1 時，hx 2 5 c,因此實數t的取值范圍是0 5e 6，2來 :Z#X#X#K3ax2,2 ,lnx 的圖象的一條切線為x軸.31 )求實數a的值；(2)令,若存在不相等的兩個實數 ox?滿足g xgx2 ,求證:x1x21 .【思路引導】(1)對函數求導,由題可設切點坐標為%,0 ,由原函數和切線的斜率

15、為0可得方程組，解方程組得a值;(2)由題知lnx ,可構造去絕對值后的函數，利用導數與函數單調性的關系，判斷gx的單調性,再構造函數1 .g 1 ,利用導數判斷出 G x的單調性，最后可令X2 ,利用Gx單調性可得結論.11試題解析:/(xj) =ax -Irrx - =0(L)廣=吆-二，0,設切點坐標為%0由題意得二?2,m)=jr-i=o上A解得%r: -1 +I-lnx ,令九(工)=5 r5 -1 +,Vy*Inr,x夕當*之1時，7-0?3（幻0,x力（口又可以寫成；瓜1 V1 V當0 匕時？ 07 hrM0, x*x因此爾（好在（0*+oo）上大于力 耳，）在”）上單調遞增，又

16、現1）=0,因此M4在（乳）上小于電在（L收）上大于Q,h x ,x 1g x 且g x在0,1上單調遞減，在 1,上單調遞增,h x ,0 x 1g 10、1當x 1時，0 1,學* x-1.記 Gx g x g -h xxh x11f x f x f f - xx記函數y f x的導函數為y f x ,則11f x f x 2f xx12故G)在a+xj上單調遞增，下砌G G=0,所以 0 翼，、 1 )不好沒0式而1再，則1再二國電IA 一,而。式&a1J 0 有電調性知占U工,即占七Ml. 電23.已知函數 fx axlnx(a0),gx x .(1)若f x的圖象在x 1處的切線恰好

17、也是 g x圖象的切線.求實數a的值；，若方程f x mx在區(qū)間1, 內有唯一實數解，求實數 m的取值范圍. e(2)當0 a 1時，求證：對于區(qū)間 1,2上的任意兩個不相等的實數 x1, x2,都有f x1 f x2g x g x2 成立.【思路，引導】_ 一 一 ， 1._ 一 ，(1)首先求函數fx的圖象在x 1處的切線，f x a 1 1 , f12a,又因為切點為1,a ,x所以切線方程為 y 2ax a,于是問題轉化為直線 y 2ax a與函數g x圖象相切，于是可以根據直線1與拋物線相切進行解題；問題轉化為方程內有唯一實數解，參變量分離得x lnx mx在區(qū)間 一elnxm 1

18、,設 txlnxx 1 - x，研究t x的單調性、極值，轉化為直線y m與y t x有且只有一個交點,(2)當 0 a1時,f x在1,2上單調遞增,2g x x在1,2上單調遞增，設131 ，X22,則 f % fX2, g， gX2,于是問題轉化為f x? gx?fx1gx1,構造函數F x f x g x ,通過函數F x在1,2上單調遞減，可以求出 a的取值范圍.試題解析：尸（旬=41 + ：:二=】j / II） = 2；切點為以G,，切線方程為y-a=2ax-t f即卜=v* atzx-4.一聯立.* 消去F ,可得y -？ A = hr-44 =。/y = x*口 =1 j則問

19、題等價于F二審與f（工）的象在-.4-x,t x 0,函數單調遞增，e, , t x 0,函數單調遞減,1一，且 x e, 時，t x 1, e由=次工,得加=1+吧了igr（r） = +, xw - TOC o 1-5 h z 1 lnx1 t x , - -,e xe1,/- t -1 e, t e 1e/ 1 m 1 e,11 一 ；e證明：（2）不妨設1 x1 x2 2,則 f x1 fx2 , 17 gxi gx2, |f x1f x2 g x1 g x2 1 可化為f x2 f x1 gx2gx1f x2g x2f x1 g x1設 F x f x g x ,即 F x a x l

20、nx x111x 24 , . F x 在 1,2 上單調遞減,F xax a 2x220恒成立，即a2x2 4, i-=在1,2上恒成立,x 12x2x 1從而，當0 a 1時，命題成立.來源:1424,已知函數 f x xlnx, e 2.718L L .（1）設 gx f x x2 2 e 1 x 6,記g x的導函數為g x，求g e ；若方程g x a 0有兩個不同實根，求實數 a的取值范圍；（2）若在1,e上存在一點x0使m f x0 1x2 1成立，求實數 m的取值范圍.【思路引導】（1）對g x進行求導，將e代入可得叫g e的值；對g x進行二次求導，判斷 g x的單調性得其符

21、號，從而可得g x的單調性，結合圖象的大致形狀可得a的取值范圍；（2）將題意轉化為 TOC o 1-5 h z . m _. .1. m -x0 mlnx0一0,令h x x mlnx ,題意等價于h x在1,e上的最小值小于0,對xx0 xx h x進行求導，對導函數進行分類討論，判斷單調性得其最值.壁解析:/的定義域W的定義域為M+油，項的二&+14,-工一 2,=0:0對g進行二次求導，判斷的單調性得苴符號，從而可得X（x）的單調性,結合圖象的大致形狀可得廳的取值范圍；C）將題意轉化為x + -+ 0 =1 或；。!由尸(aI 0116所以/在1-七0)。內上單調遞明 在(QI上單調遞減

22、，欲使在-2,上為里調函數，則-2。至0.2)由知#)在(f .Q).(L+#)上單調遂搭,在由用上單調遞減，故當U 0或f=1立 方程，(三1 T = 0在T H上不可有隋三個不等實根， 利U之2月W.旨經2且依N時,方程/1m二=0在2力上有三個不等實根？只需滿足 z max f 2 , f 1 ,min f 0 , f t 即可.一 ,13oo因為 f 2 , f 0 3, f 1 e, f 2 e2,且 f t f 2 e2 3 f 0 , e因而 f 2 f 1 f 0 f 2 ft,所以f 1 z f 0 ,即e z 3,學*綜上所述，當t 2,且t N時，滿足題意，此時實數z的取

23、值范圍是 e,3 .一 .21, 一一 1 一6.已知函數f x lnx ax , g x x b,且直線y 是函數f x的一條切線. x2(1)求a的值；(2)對任意的x11,Ve,者B存在x21,4 ,使得fx1gx2,求b的取值范圍；(3)已知方程f xcx有兩個根x1, x2(x1x；?)，若 g x1 x22c 0 ,求證：b 0.【思路引導】11 2ax2(1 )對函數f x求導， f x - 2ax ,設直線yxx1 一 .一與函數f x相切與點 2x0,ln x0 ax02 (x0 0),根據導數的幾何意義可得,2ax02 1x。lnx0 ax020 x,解得1 a2對任意的x

24、 1, Ve,都存在x21,4 ,使得f xg x2 ,只需要f x1的值域是g x2值域的子集，利用導數的方法分別求 f x1、g x2的值域，即可求出b的取值范圍；(3)根據題意得f x2cx2 f，兩式相減得,lnx2 1nxic 乂2 X17b x2 x.2 1nxi lnx2xx21 x12ln 1 x21以，令t 土，則t 0,1 ,則x1x2x2b x2 x11 t ,2lnt ，令 h t1 t1 t2lnt ,t1 t0,1 ，對h t求導，判斷h t的單調，證明b 0.試題解析:設直線F= 與f(x)相切于點=-2x+ 2s=華=，依題意得/% =-5 = 1j解得1 /所

25、以。=-a = (2r)由(1 )得 f0,所以f x 在 1,je上單調遞減，所以(17e時，f x minf x min f 11.2，g x1,4 時,g x1,4上單調遞增，所以當 x1,4 時,minb,gx max g172 17依題意f 得fx2cx?cklnx2 1nxic x2 x1x2x12e2 ,解得12194lnx21nxi2 x22x1cx2x1g x1x22c18(1)先求函數導數，根據定義域 0,1以及a 數最彳1, (2)作差函數，求導得原函數先減后增， 于零，解不等式可得b的取值范圍；(3)實際 導數求差函數最小值)，再研究最小值恒大于零 或估計極點范圍，最后

26、范圍確定最大正整數0, Ex)在0.l上為增當 a 0時，h 僅)=e*-(K + -), h(*)在(-* +故h僅)在Q1上為增函數，此時q)(a) = h|l)-e當 a , 貝 “ 七十三 與 1十直三，5(x, x) =21n/ - -f 令/i(r)= Iln/ -.f e (0,1), 因 為71+;Hi K 7料。=三二士22=三卜二0,所以力在血I上單調遞填 所以近)M1)=。,所 (W 廣M爐門bI,看一百I 01即占0=F0n2) = 2 - 2ln2 b v 0 gz - 2ln2 b 0,m2 2 2 2 222設型乂J =x dlIS k- M(lnx- ln(2)

27、 + 15則QM = 1 - H- 1 -In-,22 I，口W在OZ上單調遞增，在班上單調遵遍,而q配、之line15= 15 血IS15? IS且q(15 = 15- 15ln *15* 15(2-In ) = ISflne In ) cO 222故存在k(26均，使口風)= 0,且丈6|Z中時,帥9% X(%F時,h(M)0, 7r 0日t有增有減；(2)函數f(xl有兩個零點，所以函數必不單調，且最小值小于零，轉化研究最小值為負的條件：a + 4lna . 4 0,由于此函數單調遞增，所以只需利用零點存在定理探求即可，即取兩個相鄰整數點代2入研究即可得白的取值范圍，進而確定整數值，(3)根據用)=0,所以只需判定與由大小，中可2 c 2*1 + 2% - 2ija =Xj + Inx，1 - x? - lnx? TOC o 1-5 h z 222解得，代入分析只需比較In-4大小，設t 一，構造函數g(t) = Int* 一，利用導數%& + X 工X?t+ 1可得最值，即可判定大小.試題解析；2x2 (a J 2.x * a)(x + 1)解：=(心0.*KX當ms卿b fo；函數序總+再上單調速噌，困數忖的單調熔區(qū)間為的3ja三4二0fl寸n由“乂)0?得由f飲) 口，得，七廠所以函數1的單調增區(qū)間為 附，單調艱區(qū)間為.