M2第二章油氣滲流數(shù)學(xué)模型

1、第二章 油氣滲流數(shù)學(xué)模型科學(xué)的數(shù)學(xué)化是當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)主要趨向，當(dāng)代高科技的本質(zhì)正是數(shù)學(xué)技術(shù)。利用數(shù)學(xué)科學(xué)既能夠定量描述科學(xué)研究的對(duì)象，又可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行理論分析和科學(xué)預(yù)測(cè)，從而把科學(xué)研究推向更高的階段。誠(chéng)如馬克思所說(shuō)：“一種科學(xué)只有成功地應(yīng)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步”。在現(xiàn)今的油氣田開(kāi)發(fā)過(guò)程中，應(yīng)用滲流力學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型，并由此進(jìn)行定量分析和預(yù)測(cè)是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵課題。2-1 數(shù)學(xué)模型滲流系統(tǒng)是客觀存在的，在數(shù)學(xué)建模中，稱(chēng)這種客觀存在的滲流系統(tǒng)為原型（Prototype）。在油氣田開(kāi)發(fā)過(guò)程中，原型總是處于運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中，如何把握它們的規(guī)律性，是研究滲流系統(tǒng)的根本問(wèn)題。所謂

2、模型（Model）是指為了某個(gè)特定目的將原型所具有本質(zhì)屬性的某一部分信息經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化、提煉而構(gòu)造的原型替代物。模型所反映的內(nèi)容將因其使用的目的不同而不同。模型一般分為具體模型和抽象模型兩大類(lèi)，具體模型有直觀模型、物理模型等，抽象模型有思維模型、符號(hào)模型、數(shù)學(xué)模型等。2-1-1 物理模型和數(shù)學(xué)模型直觀的物理模型是抽象的數(shù)學(xué)模型之基礎(chǔ)。滲流物理模型 目標(biāo)在于歸納滲流系統(tǒng)的主要特征并作相應(yīng)簡(jiǎn)化，形成比較合理的物理描述。描述一個(gè)滲流系統(tǒng)，就要根據(jù)已有的靜態(tài)資料描述它所包含的巖石和流體的物理性質(zhì)，確定滲流系統(tǒng)的區(qū)域及其宏觀性質(zhì)，如系統(tǒng)幾何特征如何、何種巖石、滲透性、儲(chǔ)容性等是否均勻、何種流體、發(fā)生何種滲流方

3、式等，還要選擇描述滲流問(wèn)題的自變量（壓力P），確定基本假設(shè)等。滲流物理模型實(shí)際上是對(duì)滲流系統(tǒng)靜態(tài)的描述，即建立地質(zhì)模型。滲流數(shù)學(xué)模型 是為一定目的而對(duì)滲流系統(tǒng)做出的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)，它反映部分現(xiàn)實(shí)世界的特征和數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)模型不是原型的復(fù)制品，而是為一定目的對(duì)原型所作的一種抽象模擬，它用數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)符號(hào)、程序、圖表等刻畫(huà)原型的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象、簡(jiǎn)化而又本質(zhì)的描述。數(shù)學(xué)模型源于現(xiàn)實(shí)且高于現(xiàn)實(shí)，它可以解釋滲流系統(tǒng)狀態(tài)的變化，可以預(yù)測(cè)滲流系統(tǒng)將來(lái)的行為，或者能為控制滲流系統(tǒng)的發(fā)展提供最優(yōu)化策略。根據(jù)滲流力學(xué)理論用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)一步表達(dá)物理描述，便可以建立滲流數(shù)學(xué)模型。在滲

4、流力學(xué)中，滲流數(shù)學(xué)模型一般包括：本構(gòu)方程、連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程、狀態(tài)方程、能量方程、初、邊值條件等。2-1-2 數(shù)學(xué)建模步驟 在規(guī)定的多孔介質(zhì)范圍內(nèi)（擬要研究的流動(dòng)區(qū)域），滲流數(shù)學(xué)模型的研究?jī)?nèi)容主要是在初始條件和邊界條件激發(fā)下流體運(yùn)動(dòng)要素的變化和分布。（1）確定建模的目的和要求；（2）研究各物理量的條件和狀況；（3）確定未知數(shù)和其他物理量之間的關(guān)系；（4）推導(dǎo)控制方程組；（5）量綱分析檢驗(yàn)；（6）考證模型的適定性（解的存在性；解的唯一性；解的穩(wěn)定性）。按照上述步驟，用數(shù)學(xué)方法完整地概括某一滲流系統(tǒng)應(yīng)確定以下幾個(gè)因素：（1）給定滲流發(fā)生的區(qū)域；（2）選定描述滲流問(wèn)題的自變量，通常滲流力學(xué)中選擇壓

5、力，而水力工程為測(cè)壓水頭；（3）找出在整個(gè)滲流區(qū)域上自變量所滿(mǎn)足的偏微分方程；（4）給出滲流區(qū)域邊界上自變量所滿(mǎn)足的邊界條件；（5）對(duì)于不定常滲流問(wèn)題給出初始條件。這樣，所得到的每一個(gè)數(shù)學(xué)方程式都反應(yīng)一種客觀的滲流物理現(xiàn)象，整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題不應(yīng)當(dāng)存在不確定性。就是說(shuō)如果給定了正確的偏微分方程和合理的初邊界條件，相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題一定是一個(gè)適定問(wèn)題，它一定有解，并且該解具有唯一性和穩(wěn)定性。2-2 滲流控制方程組將運(yùn)動(dòng)方程帶入連續(xù)性方程，可以得到滲流控制方程，各種滲流的偏微分方程所描述的是滲流系統(tǒng)內(nèi)任意一點(diǎn)上發(fā)生的滲流現(xiàn)象，它代表了同類(lèi)現(xiàn)象的普遍規(guī)律。若同時(shí)給出定解條件，可構(gòu)成滲流偏微分方程組。2-2-1

6、 滲流控制方程以一維滲流連續(xù)性方程為例，對(duì)于均勻介質(zhì)和牛頓流體，將運(yùn)動(dòng)方程代入連續(xù)性可得到控制方程。連續(xù)性方程左端：連續(xù)性方程右端：結(jié)果有忽略壓力導(dǎo)數(shù)平方項(xiàng)，得到值得注意的是，若滲透率、流體粘度是位置或壓力的函數(shù)（例如壓敏介質(zhì)或非牛頓流體），則在Darcy公式帶入連續(xù)性方程后，不能將它們隨便提到括號(hào)外。類(lèi)似推導(dǎo)可以得到其他坐標(biāo)系中的滲流控制方程。如：直角坐標(biāo)控制方程：柱坐標(biāo)控制方程：對(duì)于非軸對(duì)稱(chēng)平面徑向流問(wèn)題，若定義：則控制方程可以化為：對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)平面徑向滲流情形，若考慮常粘度液體、均勻微可壓縮介質(zhì)則有：若不忽略導(dǎo)數(shù)平方項(xiàng)，根據(jù)（ColoHopf變換，1950-1951）令則有：，球坐標(biāo)系連續(xù)

7、性方程：在三種經(jīng)典的坐標(biāo)系下，經(jīng)過(guò)變換或簡(jiǎn)化后的滲流控制方程有如下通用表示形式：式中，是Laplace算子。2-2-2 定解條件對(duì)于某一滲流系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，只有給出該系統(tǒng)的定解條件，才能得到與所研究問(wèn)題相符合的特解。定解條件分為初始條件和邊界條件。初始條件：一般對(duì)于求解壓力分布問(wèn)題來(lái)說(shuō)，壓力函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足如下條件：這里，c0(x, y, z)為某一給定的函數(shù)。若c0為常數(shù)，表示初始?jí)毫鶆颉毫吔鐥l件：在某一部分邊界上，壓力邊界條件描述介質(zhì)邊界面上的壓力變化狀態(tài)：，式中，1是一已知邊界面，c1(x, y, z, t)為已知函數(shù)，c1為常數(shù)表示定壓。在數(shù)理方程中，該條件又稱(chēng)Dirichlet條件。流量邊

8、界條件：給定流量邊界條件，可描述介質(zhì)邊界上的流量變化狀態(tài)：式中，2是已知邊界面，c2(x, y, z, t)為已知函數(shù)，/n表示邊界面外法線方向。c2為常數(shù)表示定流量，c2 = 0表示邊界封閉。在數(shù)理方程中，該條件又稱(chēng)Newmann條件。線性滲透邊界條件*：線性滲透邊界描述在邊界上發(fā)生線性的補(bǔ)給或漏滲，其中kfd、hfd分別是相鄰區(qū)域的滲透率和厚度。式中，3是已知邊界面。利用線性邊界條件可以描述表皮效應(yīng)。在數(shù)理方程中，該條件又稱(chēng)Robin條件。井筒存儲(chǔ)內(nèi)邊界條件*：由于工程中實(shí)際井筒具有一定的體積以及滲流流體有一定的壓縮性，為了進(jìn)一步描述實(shí)際測(cè)試過(guò)程中壓力反應(yīng)的真實(shí)性，可以對(duì)定流量?jī)?nèi)邊界改進(jìn)如

9、下：式中，4是已知邊界面，通常指井筒邊界，C為常數(shù)，c4(x, y, z, t)為已知函數(shù)。該條件在現(xiàn)代試井分析的理論中用于描述井筒存儲(chǔ)效應(yīng)。不考慮井筒存儲(chǔ)的影響，這一條件可化為定流量條件。交界面條件：如果考慮不同介質(zhì)的交界面光滑接觸，交界面處流量具有連續(xù)性，那么交界面處有質(zhì)量守恒和壓力相等條件：，式中，5為已知邊界面，如果交界處存在表皮，則可采用線性滲透邊界。2-3 滲流場(chǎng)滲流場(chǎng)是某一滲流物理量在空間的分布。在某個(gè)空間發(fā)生了滲流現(xiàn)象，也就有了物理量在空間的分布。滲流場(chǎng)具有物理真實(shí)性。場(chǎng)中的每一點(diǎn)都有一個(gè)物理量，如果這個(gè)物理量用數(shù)量表示，這種場(chǎng)稱(chēng)為數(shù)量場(chǎng)。如溫度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等。若物理量是用矢量表

10、示，這種場(chǎng)稱(chēng)為矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng)、壓力梯度場(chǎng)。場(chǎng)中的物理量往往與空間位置及時(shí)間有關(guān)，與時(shí)間有關(guān)的場(chǎng)是不穩(wěn)定場(chǎng)，也稱(chēng)為不定常場(chǎng)，否則為穩(wěn)定場(chǎng)，或稱(chēng)為定常場(chǎng)。在不穩(wěn)定場(chǎng)中，每一固定時(shí)刻也就是穩(wěn)定場(chǎng)，因此討論穩(wěn)定場(chǎng)是研究不穩(wěn)定場(chǎng)的基礎(chǔ)。2-3-1 滲流場(chǎng)的表示方法滲流場(chǎng)直觀表示：在滲流數(shù)量場(chǎng)中，物理量是空間點(diǎn)的坐標(biāo)（x, y, z）的函數(shù)，如穩(wěn)定壓力場(chǎng)P：如果給定P為某個(gè)常數(shù)C，所有滿(mǎn)足這一條件的點(diǎn)就組成一個(gè)曲面：稱(chēng)這一曲面為等值面，在平面數(shù)量場(chǎng)中則為等值線。滲流場(chǎng)中常遇到是等壓線、等勢(shì)線、等飽和度面等。在滲流矢量場(chǎng)中，用流線來(lái)直觀表示場(chǎng)。流線是在指定時(shí)刻滲流場(chǎng)中表示各空間點(diǎn)上流體運(yùn)動(dòng)方向的空間曲線，

11、線上所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度方向與該點(diǎn)處切線方向一致。流線是Eulor（1755）所建立的，任何時(shí)候流體質(zhì)點(diǎn)都不能跨越流線而運(yùn)動(dòng)。流線是一族曲線，只表示流動(dòng)方向，并沒(méi)有數(shù)量大小關(guān)系。對(duì)于不穩(wěn)定流場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)流速的方向隨時(shí)間而改變，流線的形狀也隨時(shí)間而變化；對(duì)于穩(wěn)定流場(chǎng)，流速不隨時(shí)間變化，流線形狀也始終不變。流線方程為：，在流場(chǎng)中，如果沿著一條光滑曲線流體的法向速度等于零，那么它必是流線。與流線有關(guān)的另一個(gè)概念是跡線，跡線是流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線，用Euler方法表示的跡線方程：，或 ，流線和跡線的微分方程形式相同，但本質(zhì)上有差別。流線方程中，時(shí)間t是指定的值，是參變量，而跡線方程中，時(shí)間t是自變量。兩組方程

12、的積分結(jié)果一般情況下可能不同。對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)，流線和跡線是重合的。2-3-2 梯度如果存在數(shù)量場(chǎng)P = P（M），場(chǎng)中任意點(diǎn)M處存在著非零矢量G，其方向?yàn)镻（M）在M點(diǎn)處方向?qū)?shù)最大的方向，其模|G|是方向?qū)?shù)最大值，則稱(chēng)矢量G為數(shù)量場(chǎng)P（M）在點(diǎn)M處的梯度，記為：，或在直角坐標(biāo)系中有，梯度主要有以下性質(zhì)：（1）梯度是用來(lái)刻畫(huà)數(shù)量場(chǎng)的，是數(shù)量場(chǎng)不均勻性的度量；（2）任意一點(diǎn)grad P的方向與過(guò)該點(diǎn)的等值面（線）法線重合，并且指向P增大方向；（3）任意方向上梯度矢量的投影等于該方向的方向?qū)?shù)；（4）梯度矢量的方向是函數(shù)P變化最快的方向。在滲流場(chǎng)中，壓力場(chǎng)是數(shù)量場(chǎng)，壓力梯度場(chǎng)是矢量場(chǎng)。2-3-3

13、散度對(duì)于一個(gè)矢量場(chǎng)，主要應(yīng)掌握它的兩個(gè)性質(zhì)，其一是有沒(méi)有源，其二是有沒(méi)有旋。經(jīng)典滲流場(chǎng)是有源而無(wú)旋的，因此本書(shū)只關(guān)心第一個(gè)性質(zhì)。設(shè)矢量場(chǎng)A，沿場(chǎng)中某一有向曲面S的曲面積分：稱(chēng)為矢量A向正側(cè)穿過(guò)曲面S的通量，通量是一個(gè)數(shù)量，其中n是dS的法線方向（若曲面S是封閉的，通常取外法線方向?yàn)檎?，若不封閉則可約定某一方向?yàn)榉ň€正方向），且：，根據(jù)矢量運(yùn)算法則，通過(guò)S面的通量可以寫(xiě)成：當(dāng)S是封閉曲面時(shí)，矢量向正側(cè)穿過(guò)曲面S的通量寫(xiě)為：今考慮在矢量場(chǎng)內(nèi)任取一點(diǎn)M，以體積V包圍之，若V的界面為S，作矢量A通過(guò)S面的通量，然后用體積V除之，令體積V向M點(diǎn)無(wú)限收縮，得極限：設(shè)此極限存在，并定義它為矢量A的散度，用d

14、ivA來(lái)表示：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)矢量A的各分量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)奧高定理有：再由積分中值定理可得到： 由此可見(jiàn)，散度是矢量A通過(guò)界面S通量的極限，它是不依賴(lài)于坐標(biāo)系選取的數(shù)量，構(gòu)成數(shù)量場(chǎng)。在滲流力學(xué)中，連續(xù)性方程其實(shí)就是關(guān)于滲流流體質(zhì)量流速散度的方程。2-3-4 流函數(shù)對(duì)于穩(wěn)態(tài)情形，平面流動(dòng)和空間軸對(duì)稱(chēng)滲流有簡(jiǎn)潔的解析表示。1平面流動(dòng)流函數(shù)對(duì)于不可壓縮流體平面穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，Euler連續(xù)性方程可以簡(jiǎn)化為：，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，這是表達(dá)式：為某個(gè)函數(shù)(x,y;t)的全微分的充要條件，這時(shí)有：， 稱(chēng)(x, y ; t)為流函數(shù)，其中t為參變量，這一概念是Lagrange（1781）研究不可壓縮流

15、體平面流動(dòng)時(shí)建立的。任何一個(gè)平面流動(dòng)總可以用一個(gè)流函數(shù)(x, y ; t)來(lái)表示；反之，任何一個(gè)流函數(shù)(x, y ; t)總可以表示一個(gè)可能出現(xiàn)的平面流動(dòng)。流函數(shù)相等的線就是流線，任何兩條流線相應(yīng)位置處的流函數(shù)值之差等于通過(guò)此兩條流線間單位寬度上的流量。，利用上式關(guān)系，通過(guò)連續(xù)性方程可以證明：采用極坐標(biāo)時(shí)，平面流動(dòng)的Euler連續(xù)性方程為：相應(yīng)的流函數(shù)為(r,;t)，并有：，2空間軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)流函數(shù)在柱坐標(biāo)系統(tǒng)，對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，Euler連續(xù)性方程可以簡(jiǎn)化為：，與平面流動(dòng)類(lèi)似，必有流函數(shù)(r, z ; t)，使得：，稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)的流函數(shù)(r, z ; t)為Stokes流函數(shù)，其中t為參變量

16、，它是Stokes（1819-1903）在1843年首先采用的。同樣，任何一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)總可以用一個(gè)流函數(shù)(r, z ; t)來(lái)表示；反之，任何一個(gè)流函數(shù)(r, z; t)總可以表示一個(gè)可能出現(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)。Stokes流函數(shù)相等的線就是流線，任一條流線繞母線旋轉(zhuǎn)一周，構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面為流面，流面上流函數(shù)相等，任何兩個(gè)流面相應(yīng)位置處的流函數(shù)值之差，乘2，等于通過(guò)此兩個(gè)流面間的流量。2-3-5 速度勢(shì)如果流體流動(dòng)時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，這種流動(dòng)是無(wú)旋流動(dòng)或無(wú)渦流動(dòng)。這是流體質(zhì)點(diǎn)只有移動(dòng)和變形。經(jīng)典的流體滲流屬于層流范圍，正是這種無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。由流體質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度等于零可以得出表達(dá)式：為某一函數(shù)(x,

17、y,z;t)的全微分的充要條件，這樣就有：因而無(wú)旋運(yùn)動(dòng)必然會(huì)存在這樣一個(gè)函數(shù)(x, y, z; t)，使得，稱(chēng)函數(shù)(x, y, z; t)為速度勢(shì)函數(shù)。速度勢(shì)函數(shù)相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面叫等勢(shì)面，等勢(shì)面與流線正交，速度勢(shì)函數(shù)沿流線方向增加，穩(wěn)態(tài)流動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足Laplace方程。附錄F-1偏微分方程的基本概念偏微分方程：含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式。偏微分方程的階：偏微分方程中未知函數(shù)最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為偏微分方程的階齊次和非齊次偏微分方程：偏微分方程中不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱(chēng)為自由項(xiàng)，若自由項(xiàng)為零成為齊次，反之為非齊次。線性偏微分方程：方程中未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都是線性的且其系數(shù)也不含未知函數(shù)

18、。擬線性偏微分方程：方程中未知函數(shù)最高階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)含有未知函數(shù)。半線性偏微分方程：方程中未知函數(shù)低階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)含有未知函數(shù)。非線性偏微分方程：方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是非線性的。定解問(wèn)題分類(lèi)：初值問(wèn)題、邊值問(wèn)題、混合問(wèn)題。F-2 Laplace算子在曲線坐標(biāo)系中的變換通式Laplace算子在曲線坐標(biāo)中的變換通用式為（、為L(zhǎng)ame系數(shù)）：，對(duì)于二維情形有：，例如：在平面橢圓坐標(biāo)系中令：，則拉梅系數(shù)在平面橢圓坐標(biāo)中表示為：Laplace算子在平面橢圓坐標(biāo)中表示為：F-3 Darcy定律在曲線坐標(biāo)系中的表示按曲線坐標(biāo)的定義，Darcy定律通式可以寫(xiě)為： 按所定義的平面橢圓坐標(biāo)，代如具體的Lame系數(shù)： ，若假定所有的橢圓都是共焦的并且等勢(shì)（外邊界是一個(gè)等勢(shì)橢圓邊界），則有： ，F(xiàn)-4 Hamilton算子Hamilton算子及其坐標(biāo)表達(dá)式符號(hào)直角坐標(biāo)