高三第一輪復(fù)習(xí)充分必要條件

1、充分必要條件【提綱挈領(lǐng)】主干知識歸納“充分條件”和“必要條件”是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，它討論“若 p,則q”的命題中條件和結(jié)論的邏輯 關(guān)系.判斷方法：1、從概念的角度理解(1)若p=q,則p是q的充分條件；(2)若q= p,則p是q的必要條件；(3)若既有p= q ,又有q= p,就記作pu q .此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要 條件；(4)若pv q且qfp ,則p是q的既不充分也不必要條件.2、從命題的角度去理解設(shè)原命題“若p,則q” ；如果原命題為真，則p是q的充分條件；如果逆命題為真，則p是q的必要條件；如果原命題和逆命題都為真，則 p是q的充要條件.3、從集合的角度去理

2、解：若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，當(dāng)A J B時，p是q的充分條件；當(dāng)B A時，p是q的必要條件；當(dāng)A = B時，p是q的充要條件。特別要注意判斷的關(guān)鍵是確定命題的條件，這是易錯點。方法規(guī)律總結(jié)1、判斷充分必要條件時，第一是要分清命題的條件與結(jié)論；第二是要善于將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言進行 推理；第三是要注意等價命題的運用；第四是當(dāng)判斷多個命題之間的關(guān)系時，常用圖示法，它能使問題至 關(guān)，易于判斷。2、充分必要條件的判定的三個方法：用定義：“p是q的充分條件是指有 p就有q ,但無p也有可能有q； p是q的必要條件”是指有 q才 能有p,但有p未必有q。用集合的觀點：記條件 p、q

3、對應(yīng)的集合分別為 A、B,則：若A J B ,則p是q的充分條件；若 A B ,則p是q的充分不必要條件；若 A3B ,則p是q的必要條件；若B A ,則p是q的必要不充分條件；若 A = B ,則p是q的充要條件。用集合判定時，盡可能用圖示法、數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面等幾何方法，直觀形象，簡化解題過程，降低思維 難度。【指點迷津】【類型一】充要條件的判定【例 11:（1）（2012 福州質(zhì)檢）“x2” 是 “x22x0” 的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(2012 北京高考)設(shè)2, bGR, “a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的()A.充分

4、而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】：(1)取x = 0,則x2-2x=0,故由x2不能推出x2 2x0；由x22x0得0 x2,故由x2 2x0可以推出x2.所以“x2”是“x2 2x0.【解析】：(1)若人=B,則sin A= sin B,即p? q.又若 sin A= sin B,則 2Rsin A= 2Rsin B,即 a=b.故 A= B,即 q? p.所以p是q的充要條件.p： x| x| =x = x| x 0 = Aq： x| x2+x0 = x| x0,或 x0 1=B, A二 B,:p是q的充分不必要條件.【答案】(1) p是q的

5、充要條件；(2) p是q的充分不必要條件.【類型二】利用充要條件求參數(shù) TOC o 1-5 h z 【例1】已知不等式|xm1成立的充分不必要條件是 :x；則m的取值范圍是 . HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 32一 ，一，”11” r ” 一【解析】：由題思知：-x-是 不等式|xm1成立的充分不必要條件.3211 L-所以伙3x2是x| xm1的真子集.而x| x m1 = x| -1 + mx1 +m ，, 一 1一1 + m1c所以有J + m2,所以m的取值范圍是1 42 3例2：設(shè)條件p：2x23x+100,條件 q ：x2(2a

6、+1)x+a(a+1)00,若一1p 是q的必要不充分條件，求實數(shù) a的取值范圍.1【斛析】：條件p為：2x 1,條件q為：ax 1gfc x a+1,或 x1 且 aW或 a+1)1 且 a1.1 , ，一 -1二 1 n：0 w a0 2.故a的取值氾圍是 。，2 I【答案】：a的取值范圍是 。，2【類型三】充要條件的探究與證明【例 1】：已知集合 M= x| x5, P= x|( x-a) - (x-8)0.(1)求MH P= x|5x08的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為 MT P= x|5x08的一個充分但不必要條件.【解析】：(1)由MCP= x|5x 8,得3Wa05,

7、因此Mp p= x|5 x0 8的充要條件是一3a5;(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為 MT P=x|5x08的一個充分但不必要條件，就是在集合 a| 3&a 05中取一個值，如取 a=0,此時必有 MT P= x|5x8；反之，MT P= x|5x 8未必有a=0,故a =0是MH P= x|5 x 8的一個充分不必要條件.【答案】：(1) MT P= x|5x08的充要條件是3a5;a=0是MH P= x|50, b0” 是 “ap/abw 的()2A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件.一 a+ b 一 .a+ b 一 a+ b 一 一一【解析】： 由a

8、0, b0不能得知一2yOb,如取a= b=l時，-2-=ab;由 2 、，；ab不能得知 a0,b0,如取a = 4,b = 0時，滿足三胃丫色卜彳0b=0.綜上所述，“a0,b0”是“三會、訕”的既不充分也不必要條件.【答案】：D2.已知 p： a=J2, q：直線 x + y=0 與圓 x2+(y- a) 2=1 相切，則 p是 q 的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】： 由直線x+y=0與圓x2+ (y a)2 = 1相切得，圓心(0, a)到直線x+y=。的距離等于圓的I al半徑，即有里=1, a=j2.因此，p是q的充分不必要條件

9、.2產(chǎn)”【答案】：A. (2011 天津高考)設(shè)集合 A= xGRx20, B= xGRx 0,則 “ x GAU B” 是 8”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】：AU B= xGR|x2, C= xGR|x2,.,AU B= C,xeAU B是xC的充分必要條件.【答案】：C.對于函數(shù)y=f(x), xGR, y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“ y = f(x)是奇函數(shù)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】：選B若y= f (x)是奇函數(shù)，則f ( -x) =- f(x)

10、,|f(-x)| =| -f(x)| =|f(x)| ,- y = | f (x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，但若y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，如y=f(x)=x：而它不是 奇函數(shù).【答案】：B.條件p： 亍a 1,得 a e 4-+ k% , 2-+ k 無；,ke Z,而 仔, 2j 4+ k無，2i k無 ( 卜6 Z),:p是q的充分不必要條件.【答案】：B、填空題.下列命題中所有真命題的序號是 .“ab”是“a2b2”的充分條件；“ | a| b| 是“ a2b2”的必要條件；“ab”是“a+cb + c”的充要條件.【解析】：由2-3? / 22( 3)2知，該命題為假；由a2b2

11、? |a|2|b|2? |a| b|知,該命題為真; ab? a+cb + c,又 a+cb+ c? ab, : ab是a+cb+c”的充要條件為真命題.【答案】：.已知p: 4x a4, q： (x 2)( x 3)0 ,且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍為 【解析】 設(shè)q, p表示的范圍為集合 A, B,則 A=(2,3) , b= (a-4, a+ 4).由于q是p的充分而不必要條件，則有 A= B,a-42, fe-42,即 3a+4 3,【答案】：-1,622. (2013 -紹興模擬)3a0,【解析】：方程表示橢圓時，應(yīng)有a0,、a + 3 1 1 a解得一3a1 且 a，

12、 1,故3a1”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.【答案】：必要不充分三、解答題9.已知兩個關(guān)于x的一元二次方程 mx 4x + 4= 0和x2 4m肝4m4m-5=0,且me Z.求兩方程的根 都是整數(shù)的充要條件.【解析】,mx 4x +4=0是一元二次方程，.nr5 0.另一方程為x2 4m桿4m4m-5=0,兩方程都要有實根，1 = 16 1 m 20,J 22 2= 16m4 4m 4m- 5 0,5斛得 mG - 4, 1 .:兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù)，m, I 4m Z4rm 4m-5 Z：m為4的約數(shù)，：m= 1或1,當(dāng)m= 1時，第一個方程x2 + 4x4 = 0的根為非

13、整數(shù)，而當(dāng)m= 1時，兩方程均為整數(shù)根，;兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m= 1.10.已知 P= x| x2-8x-200 , S= x| x-1| n)(1)是否存在實數(shù) m使xG P是xG S的充要條件.若存在，求 m的范圍.(2)是否存在實數(shù) m使xe P是xe S的必要條件.若存在，求出 m的范圍.【解析】(1) P= x| -2x10,S= x|1 - me x mrb 1若xG P是xGS的充要條件,彳一m= - 2：*, : m不存在.1+ m= 10（2）若存在實數(shù)m,使xGP是xGS的必要條件,一工10.S? P.若m 1 -m若S，?,應(yīng)有卜m- 2|m+ K 10 I解

14、之彳t 03.x3 , a是不等式2x2-5x-3 0成立的一個充分不必要條件，又根據(jù)集合元素的互異性a，3,.一 13 c. a0 2或 a3.【答案】：D.在 AB8，a, b, c分別是角A, B, C所對的邊，則“ *B”是“cos 2 Acos 2 B”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】：由大邊對大角可知，AB? ab.,一、. a b ._由正弦te理可知 二7 =- 故 ab? sin A0, sin B0,所以 sin Acos 2 B所以 acos 2 B,即 “ Acos 2 B” 的充要條件.【答案】：C.（2012 濟

15、南模擬）在命題p的四種形式的命題（原命題、逆命題、否命題、逆否命題 ）中，正確命題 的個數(shù)記為f（p）,已知命題p：“若兩條直線 卜：a1x+by + c = 0, 12 ： a2x + bzy+ c?=0平行，則ab?一a2b = 0”.那么 f （p）=（）B. 2A. 1D. 4C. 3【解析】：若兩條直線li： a1x+by+c= 0與12： a?x+Ky+ c?=0平行，則必有aKa2bi=0,但當(dāng)aih a2bi = 0時，直線li與12不一定平行，還有可能重合，因此命題p是真命題，但其逆命題是假命題，從而其否命題為假命題，逆否命題為真命題，所以在命題p的四種形式的命題(原命題、逆

16、命題、否命題、逆否命題)中，有2個正確命題，即f(p)=2.【答案】：B二、填空題.已知 p： (x1)( y2) = 0, q： (x1)2+(y2)2 = 0,則 p是 q 的 條件.【解析】：由(x1)(y 2)=0 得 x = 1 或 y=2,由(x1)2 + (y 2)2 =0 得 x=1 且 y= 2,所以由q能推出p,由p推不出q,所以填必要不充分條件.【答案】必要不充分三、解答題_ x 122. 已知 p: 1 2, q: x 2x+1m 0)3若p是q的必要充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】：x 1x 1一W2=-2 1 233:二-2 _x _10;又x2 -2x

17、 1 -m2 .0:二 lx -(1 m) I lx -(1 - m) -0m m 0.1 -m _x _1 mp是q的必要充分不必要條件故(力 P - qm 0, 3 0,小GR),則“f(x)是奇函數(shù)”是“中=_ ”的() 2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件(2) (2013 上海高考文科 T17)錢大姐常說“好貨不便宜”，她這句話的意思是：“好貨”是“不便宜”的()A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件【解析】：(1)先由f(x)是奇函數(shù)可以得到小的取值，再由9 =判斷f(x)是否為奇函數(shù)，最后再判斷.f(x)是奇函數(shù)？ 邛=+kn,kwZ;中=三？ f(x)是奇函數(shù)，所以“f(x)是奇函數(shù)”是“中=222的必要不充分條件.【答案】：B(2)【解析】：由題意可知，好貨？不便宜，故選A.【答案】：B2. (1) (15北京理科)設(shè)a，P是兩個不同的平面,m是直線且m? a m / P 是a / P ”的A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D