專題06動點(diǎn)折疊類問題中圖形存在性問題解析版

1、專題06動點(diǎn)折疊類問題中圖形存在性問題一、基礎(chǔ)知識點(diǎn)綜述動點(diǎn)型問題是指題設(shè)中的圖形中存在一個或多個動點(diǎn)，它們在線段、射線、直線、拋物線、雙曲線、弧線等上運(yùn) 動的一類非常具有開放性的題目.而從其中延伸出的折疊問題，更能體現(xiàn)其解題核心一一動中求靜，靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué) 知識進(jìn)行解答，有時需要借助或構(gòu)造一些數(shù)學(xué)模型來解答.實(shí)行新課標(biāo)以來，各省（市）的中考數(shù)學(xué)試卷都會有此類題目，這些題目往往出現(xiàn)在選擇、填空題的壓軸部分，題型繁多，題意新穎，具有創(chuàng)新力.其主要考查的是學(xué)生的分析問題及解決問題的能力 .要求學(xué)生具備：運(yùn)動觀點(diǎn)；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想等等存在性問題主要有等腰三角形存在性、

2、直角三角形存在性、特殊落點(diǎn)存在性等問題，常用的數(shù)學(xué)解題模型有一線三直角”等模型，作圖方法是借助圓規(guī)化動為靜找落點(diǎn) .解題思路：分析題目-依據(jù)落點(diǎn)定折痕-建立模型-設(shè)出未知數(shù)列方程求解 -得到名論.解題核心知識點(diǎn)：折疊性質(zhì)；折疊前后圖形大小、形狀不變；折痕是折疊前后對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；勾股定理；相似圖形的性質(zhì)、三角函數(shù)等.等腰三角形存在性問題解題思路：依據(jù)圓規(guī)等先確定落點(diǎn)，再確定折痕；直角三角形存在性問題解題思路：依據(jù)不同直角頂點(diǎn)位置分類討論，作出圖形求解二、精品例題解析題型一：折疊問題中等腰三角形存在性問題例1. （2019 金水區(qū)校級模擬） 如圖，/ AOB=90,點(diǎn)P為/AOB內(nèi)部一點(diǎn)

3、，作射線 OP,點(diǎn)M在射線OB 上，且OM= 石，點(diǎn)M與點(diǎn)M關(guān)于射線OP對稱，且直線 MM 與射線OA交于點(diǎn)N,當(dāng) ONM 為等腰三 角形時，ON的長為:【分析】分三種情況討論：當(dāng)M落在線段ON的垂直平分線上時，即 MN=MO,設(shè)/ ONM=x,通過三角形外角定理及三角形內(nèi)角和定理求得x=30 ,進(jìn)而利用三角函數(shù)求得 ON的長;當(dāng)MN=ON時，作出圖形，得到/ ONM度數(shù)，利用三角函數(shù)求解；當(dāng)MO=ON=OM = J3,此時M、M、N點(diǎn)不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在【答案】1或3.【解析】解：由 ONM為等腰三角形，分以下三種情況討論：當(dāng)M落在線段ON的垂直平分線上時，即 MN=M

4、O,如圖所示,設(shè)/ONMx,則/OMM = /OMM 笈， / AOB=90 ,x+2x=90,解得：x=30 ,在 RtNOM 中，ON= 0M。=3;tan 30當(dāng)MN=ON時，如下圖所示，過 M 作 M H，OA 于 H , TOC o 1-5 h z ,1 -3HM =OM= HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 22HM 1在 RtA HNM 中，NM=1 ,cos30即 ON=1 ;當(dāng) MO=ON=OM = J3,此時M、M、N點(diǎn)不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在故答案為：1或3.例2. （2017 蜀山區(qū)期末） 如圖所示， A

5、BC中，/ACB=90, AC田C,將 ABC沿EF折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上的D點(diǎn)，設(shè)EF與AB、AC分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,如果折疊后 CDF與 BDE均為等腰三角形，則/ B=【分析】由題意知， CDF是等腰三角形，則 CD=CF, BDE是等腰三角形時，分三種情況討論:當(dāng)DE=BD時，設(shè)/ B=x ,通過翻折性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得x=45;當(dāng)BD=BE時，作出圖形，設(shè)/ B=x ,通過翻折性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得x=30;當(dāng)BE=DE時，得/ FDB=90, / FDB + / CDF =135 W18Q此時C、D、B點(diǎn)不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在.【答案】45或30

6、 .【解析】解：由題意知， CDF是等腰三角形，則 CD=CF, / CDF = /CFD=45,FDB=135 , BDE是等腰三角形時，分以下三種情況討論：當(dāng)DE=BD時，見下圖，設(shè)/ B=x ,貝U/ DEB=x, / EDB=180 -2x,由折疊知：/ A=Z FDE=90 -x,.180 2x+90-x =135,解得：x=45 ,即/ B=45 ;當(dāng)BD=BE時，如下圖所示，設(shè)/ B=x ,貝叱EDB =180 x由折疊知：/ A=Z FDE=90 -x,180 xx=30,+90-x =135,解得:2即/ B=30 ;當(dāng) BE=DE 時，得/ B=/EDB,FDB=/FDE

7、+ /EDB = /A+/B=90 , / FDB+ /CDF =135 180 此時 C、D、B 點(diǎn)不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在故答案為：45或30 .題型二：折疊問題中直角三角形存在性問題例3. （2017 營口）在矩形紙片 ABCD中，AD=8, AB = 6, E是邊BC上的點(diǎn)，將紙片沿 AE折疊, 使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC,當(dāng) EFC為直角三角形時，BE的長為.【分析】根據(jù)題意作出圖形，通過分析可知：點(diǎn)E、F均可為直角頂點(diǎn)，因此分兩種情況討論，作出圖形后，根據(jù)勾股定理等知識求得結(jié)果.【答案】3或6.【解析】解：: AD=8, AB=6,四邊形ABCD為矩形，BC=AD

8、 = 8, / B = 90,根據(jù)勾股定理得：AC=10.當(dāng)/ EFC = 90時，如下圖所示，由分析知， EFC為直角三角形分下面兩種情況：B C由折疊性質(zhì)知：/ AFE = /B=90, / EFC = 90, AF=AB=6,A、F、C三點(diǎn)共線，又AE平分/ BAC,.CF=AC-AF=4,設(shè) BE=x,貝U EF=x, EC=8-x,在RtA EFC中，由勾股定理得：22 一 2x 48 x ,解得：x=3,即 BE=3;當(dāng)/ FEC = 90時，如下圖所示.由題意知：/ FEC=90, / FEB = 90, ./ AEF = Z BEA=45,四邊形ABEF為正方形，BE= AB=

9、6.綜上所述：BE的長為3或6.故答案為：3或6.例4. (2019 唐河縣三模) 矩形ABCD中，AB=4, AD=6,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一個 動點(diǎn)，連接EP,將 APE沿PE折疊得到 FPE,連接CE, CF,當(dāng) CEF為直角三角形時， AP的長為【分析】當(dāng) CEF為直角三角形時，通過分析知：/ FCE90 ,不可能為直角頂點(diǎn)，故分兩種情況討論：/ EFC=90或/ FEC=90 ,作出圖形求解；9【答案】9或1.4【解析】解：分以下兩種情況討論：/ EF(=90 ,如下圖所示，由折疊性質(zhì)知：/ A=ZPFE=90 , AP=PF所以點(diǎn)P、F、C在一條直線上， EF=ED=

10、3, RtACEFRtACED,由勾股定理得：CE=5,CD = CF=4,設(shè) AP=x,貝U PF=x, PC=x+4, BP=4 - x,在RtBCP中，由勾股定理得： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 222 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document x 4 x 46 , HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 99解得：x=,即 AP=; HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 4

11、4/ FEC=90 ,如下圖所示，過F作FHXAD于H ,過P作PGXFH于G,易知/ EFH = Z ECD,FH DE ,EF CEFH 3 , 35即 FH = 9, . EH= 12 ,AH = PG=3 ,555由/ FPG=Z HFE ,cos/ FPG= cos/ HFE ,即或電PF EF 39_5_ 5PF 3 ,解得：PF=1;一， 9 .故答案為：9或1.4例5. （2019 許昌二模） 如圖，已知平行四邊形 ABCD中，AB=16, AD=10, sinA=?,點(diǎn)M為AB邊上5一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNLAB交AD邊于點(diǎn)N,將/ A沿直線MN翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的點(diǎn)E處.

12、當(dāng)ACDE為直角三角形時， AM的長為.A M E B【分析】分兩種情況討論：當(dāng)/CDE=90。，根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理求解；當(dāng)/ DEC =90。，過D作DHLAB于H,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：得到 DH=6, AH = 8,設(shè)EH = x,根據(jù)勾股定理得到 x=8-26，x=8+2 J7 （舍去），得 AE= AH+HE = 162近，于是得至U AM = 8- V7 .【解析】解：當(dāng) CDE為直角三角形時,當(dāng)/CDE=90 ,如下圖所示，在平行四邊形 ABCD中，AB/CD, DEXAB,由折疊知： MNAB, AM = EM,MN / DE,. AN= DN= 1AD=5,2由 sin

13、A =MNANMN = 3, AM=4;當(dāng)/DEC = 90 ,如下圖所示,過D作DH，AB于H,由題意知：/ HDC = 90 ,./HDC+/CDE =/CDE + /DCE=90 ,./ HDE =Z DCE ,.DHEACED,DE CDEH DE . “3. sinA= , AD = 10, . DH = 6, AH = 8,5設(shè) EH = x,DE=4 Tx ,由勾股定理得： DH2+HE2=DE2, 62+x2=16x,解得：x= 8-277 , x= 8+2 V7 （不合題意舍去），.AE=AH + HE=16-2,AM = 8 - 7T ,故答案為：4或8-6.例6. （20

14、19 金水區(qū)校級一模） 如圖，在RtABC中，AB = 3, BC = 4,點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，過點(diǎn) P作PDLBC于點(diǎn)D,將 PCD沿PD折疊，得到 PED,連接AE.若 APE為直角三角形，則 PC =16【解析】解：當(dāng)/ AEP=90。時，設(shè) PC = x,在 RtA PDC 中，sInC= 3 , cosC= 4 ,55所以 PD = -x, CD= x.55由折疊知：DE = CD=4x.5BE=BC-CE= 12 x5在 ABE 和 EDP 中，/ B= / PDE ,Z BAE+ZAEB=90, Z PED+Z AEB= 90, ./ BAE = Z PED .ABEA EPD .

15、 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark83 o Current Document -L -12, HYPERLINK l bookmark85 o Current Document be DP x 。15，即 53）斛付 x=.AB DE1634.15故答案為：.16DE LAB例7. （2019 臥龍區(qū)一模） 如圖，在 RtABC中，AC=8, BC=6,點(diǎn)D為斜邊 AB上一點(diǎn),交AC于點(diǎn)E,將4AED沿DE翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F.如果 EFC是直角三角形，那么AD的長為90 時,【分析】根據(jù)勾股定理得到AB=10,分三種情況討論：/ CFE=90, /EC

16、F=90, / CEF得到結(jié)論.【答案】7或5.5【解析】解：在 RtAABC中，AC=8, BC = 6,由勾股定理得：AB=10,(1)若/ CFE = 90,在 RtAABC 中，/ ACB=90,101 + Z2 = Z B+/A= 90,由折疊知：/ A= / 2, AE = EF,./ 1=Z B,即 CF = BC=6,在RtCEF中，由勾股定理得：CE2=EF2+CF2,CE2= ( 8- CE) 2+62,.CE= 25 ,4AE=,4由“DECB,得:AEABADACAC 7AD=；5(2)當(dāng)/ ECF = 90時，點(diǎn) F 與 B 重合，AD = 5;(3)當(dāng)/ CEF = 90時，貝U EF / BC, / AFE = / B,. / A=Z AFE,./ A=Z B,.AC=BC （與題設(shè)矛盾），這種情況不存在，故答案為：7或5.5F分別為BC, AC上的兩個動點(diǎn)，AGF恰為直角三角形，則線段 CF例8. （2019 河南模擬） 在矩形 ABCD中，AB = 3, BC = 4,點(diǎn)E,將