第二章實(shí)數(shù)理論

1、第二章 實(shí)數(shù)理論郇中丹2006-2007年度第一學(xué)期1為什么要講實(shí)數(shù)理論以往教材上關(guān)于實(shí)數(shù)處理的方式:以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定義以公理化方式定義實(shí)數(shù)來回避直接定義實(shí)數(shù)上述處理方式的缺陷:分割和基本列的方式定義需要引入一系列的工具，并且與中小學(xué)教材脫節(jié)公理化的方式使得學(xué)生困惑: 實(shí)數(shù)變的難以理解了應(yīng)當(dāng)與中小學(xué)教材銜接并講清實(shí)數(shù): 講清十進(jìn)小數(shù)2實(shí)數(shù)理論1 數(shù)系理論發(fā)展簡史2 定義實(shí)數(shù)遇到的困難3 我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)4 有理數(shù)系的性質(zhì)5 實(shí)數(shù)定義6 實(shí)數(shù)的完備性7 實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)8 記號(hào)和實(shí)數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)31 數(shù)系理論發(fā)展簡史有趣的現(xiàn)象實(shí)數(shù)理論簡史引入實(shí)數(shù)的方法數(shù)系理論4有趣

2、的現(xiàn)象數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長, 有人通過觀察推斷: 動(dòng)物有數(shù)感. 在人類文明史中, 數(shù)的概念是逐步擴(kuò)展開來的. 然而數(shù)的嚴(yán)格意義上的理論直到在十九世紀(jì)后半葉才完成. 雖然歐幾里德幾何原本中已經(jīng)討論了可公度比和無公度比,但沒有定義什么叫無公度比的相等建立數(shù)系理論為了完善數(shù)學(xué)分析理論建立數(shù)系理論是要保證數(shù)學(xué)的真實(shí)性,非歐幾何的出現(xiàn),幾何失去了其真實(shí)性;數(shù)學(xué)在哲學(xué)意義上的真實(shí)性應(yīng)當(dāng)建立在算術(shù)基礎(chǔ)上 (Gauss 1817)5實(shí)數(shù)理論是指以有理數(shù)系為基礎(chǔ)建立實(shí)數(shù)理論以往的直觀想法: 有理數(shù)的極限, 然而必須先存在才能談極限William R. Hamilton, 1833, 1835提出無理數(shù)

3、的第一個(gè)處理, 以時(shí)間作為實(shí)數(shù)的基礎(chǔ).提出用將有理數(shù)分成兩類的方法定義無理數(shù)Weierstrass (1857), Mray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873) (來源于Kline IV P46-47)6引入實(shí)數(shù)的方法Weierstrass: 有自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù),然后用無窮多個(gè)有理數(shù)集合定義實(shí)數(shù)Dedekind: 有理數(shù)分割Canter: 有理數(shù)基本列等價(jià)類7數(shù)系理論歐幾里德的幾何原本中的比例理論以及討論了現(xiàn)在有理數(shù)中的相關(guān)結(jié)果,但是在比例線段的術(shù)語下討論的.Muller 1855一般算術(shù)和Grassmann 1861算術(shù)中有討論, 但是講得不清楚

4、Peano 1889算術(shù)原理新方法引入Peano公理系統(tǒng)解決了這個(gè)問題。他用了許多符號(hào): , 和N0表示自然數(shù)集。82 定義實(shí)數(shù)遇到的困難如何從有限小數(shù)過渡到無限小數(shù)基本想法都是利用有理數(shù)序列逼近(極限),這就有兩個(gè)問題引入序列和極限等相關(guān)的概念即便如此, 也要先定義清楚作為極限的實(shí)數(shù)雖然知道實(shí)數(shù)的眾多性質(zhì), 如何寫出一個(gè)邏輯上正確、清晰和不難接受的實(shí)數(shù)理論仍然有待努力93 我們?nèi)绾味x實(shí)數(shù)與中學(xué)實(shí)數(shù)定義銜接，用十進(jìn)小數(shù)定義實(shí)數(shù)系，然后建立相關(guān)的性質(zhì)建立實(shí)數(shù)的序建立實(shí)數(shù)的完備性利用有理數(shù)的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的完備性定義實(shí)數(shù)的運(yùn)算104 有理數(shù)系的性質(zhì)自然數(shù)系及其運(yùn)算有理數(shù)系的建立有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有理數(shù)

5、的序性質(zhì)和稠密性質(zhì)有理數(shù)的不完備性11自然數(shù)系及其運(yùn)算已經(jīng)完成了邏輯地引入自然數(shù)系N=0,1, 2,的過程(上一章引入的)加法運(yùn)算就是數(shù)數(shù),乘法運(yùn)算就是一類特殊數(shù)數(shù)的方法.減法: 對小的數(shù)加多少的到大的數(shù)除法: 分組帶余除法: 確定組數(shù)和余數(shù)歸納法是論證工具12有理數(shù)系Q的建立有理數(shù)可以看成是由為了在自然數(shù)系中加、減、乘和除封閉而得到的最小集合自然數(shù)到有理數(shù)的邏輯擴(kuò)展: 由自然數(shù)及其笛卡爾積建立整數(shù)使得加、減、乘封閉; 由整數(shù)及其笛卡爾積建立有理數(shù)使得加、減、乘和除封閉自然數(shù)到有理數(shù)的直觀擴(kuò)展: 引入負(fù)數(shù)和所有正整數(shù)份數(shù)13有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律: a+b=b+a, ab= ba

6、與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c乘法與加法之間滿足分配律: a(b+c)= ab+ac0是加法零元: a: a+0=a1是乘法單位元: a: a1=a每個(gè)數(shù)a有負(fù)數(shù)-a: a+(-a)=0每個(gè)非零數(shù)a有倒數(shù)1/a: a(1/a)=114有理數(shù)序的三歧性和稠密性有理數(shù)序的三歧性: a,bQ, 則ab中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系:a,b,cQ, ab a+cb+ca,b,cQ且c0, ab acbc記號(hào): ab表示ab或a=b有理數(shù)的稠密性: a,bQ, ab, cQ: acb15有理數(shù)的不完備性上界: 設(shè)AQ, A, 若bQ使得aA, ab, 就

7、稱b為A的一個(gè)上界, 并且說A是有上界的上確界:設(shè)AQ, A, bQ叫做A的上確界, 如果(1) b是A的上界, (2) cc上確界的惟一性序的完備性: 任何有上界的集合都有上確界有理數(shù)的不完備性: 存在有理數(shù)有上界而沒有上確界的非空子集: 例如aQ | a0, a20,x(n)0,9;k0,nk, x(n)0, x(k)叫作x的第k位小數(shù), 記作xk ;x也寫成: x=x+0.x1x2記x= 0.x1x2叫作x的小數(shù)部分n0, sn(x)=x+0.x1x2xn叫作x的n位小數(shù)(舍值)近似, 也記s0(x)=x18有理數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示如果aZ, 自然地對應(yīng)x: x(0)=a, k0, x(k)

8、=0aQ, 如果a有十進(jìn)小數(shù)表示: a=p+0.a1an, 對應(yīng)的x: x(0)=p,0kn, x(k)=ak, kn, x(k)=0.稱之為有限小數(shù), 用Qf表示R中所有有限小數(shù)的集合.R中的其他數(shù)叫無限小數(shù).aQ, 其十進(jìn)小數(shù)是無限的, 則其十進(jìn)小數(shù)是循環(huán)小數(shù), 有引入有理數(shù)十進(jìn)小數(shù)方式, 其十進(jìn)小數(shù)不會(huì)有9循環(huán)(習(xí)題), 如此a=p+0.a1an 自然對應(yīng)x: x(0)=p,k0, x(k)=ak注意這里用到整數(shù)部分而可能引起的與中學(xué)十進(jìn)小數(shù)表示的差異19實(shí)數(shù)的序?qū)崝?shù)序的定義: x,yR, xy, 如果nN:x(n) 0時(shí), kx注: 當(dāng)x,y是有限小數(shù)時(shí), 與有理數(shù)中的序一致實(shí)數(shù)的序具

9、有三歧性: x,yR, 則xy中有且僅有一種情形成立證明: 任取x,yR, 若x=y, 由整數(shù)序的三歧性, 不會(huì)有xy成立; 若xy, 則nN:x(n)y(n), 有歸納法,可設(shè)n是滿足這一性質(zhì)的最小自然數(shù), 因而由實(shí)數(shù)序的定義和整數(shù)序的三歧性可得有且僅有xy中的一個(gè)成立.206 實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)集的上界和上確界實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)完備性的推論常用記號(hào)和名詞21實(shí)數(shù)集的上界和上確界上界: 設(shè)AR, A, 若bR使得aA, ab, 就稱b為A的一個(gè)上界, 并且說A是上有界的上確界:設(shè)AR, A, bR叫做A的上確界, 如果(1) b是A的上界, (2) cc 事實(shí)1: 確界的惟一性事實(shí)2: 整數(shù)子集

10、具有完備性，并且上確界在所討論的集合中22實(shí)數(shù)的完備性(I)R的非空有上界的子集必有上確界.證明: 設(shè)AR非空且有上界. 取定A的一個(gè)上界z. 下面歸納地構(gòu)造A的上確界b.1. 考慮整數(shù)集合A0=x(0) | xA, 則x(0)z(0). 由整數(shù)序的完備性, A0有在其中的上確界b0. 即存在xA, x(0)=b0. 很自然地, b0R.若b0是A的上界,取b=b0就得到了上確界.否則考慮整數(shù)集A0=x(1)|xA, xb0 且A0有上界923實(shí)數(shù)的完備性(II)2.然后重復(fù)上面的步驟做下去，在第k步得到b0+0.b1bk滿足下列性質(zhì):xA, x(0)b0, xA滿足x(0)=b0;h=0,

11、k-1, Ah=x(h+1)| xA, xb0+0.b1bhh=1, k-1, bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn, n=0,h若b0+0.b1bk是A的上界,令b=b0+0.b1bk.就得到了上確界,否則考慮整數(shù)集Ak=x(k+1)|xA, xb0 +0.b1bk 其有上界9, 設(shè)bk+1為Ak的上確界,則xA滿足x(h)=bh, h=1, k+1. 由歸納法就得到24實(shí)數(shù)的完備性(III)3. 下列兩種可能性之一必成立: (1) A有有限小數(shù)上確界b=b0+0.b1bn; (2) 得到b: NZ, b(0) =b0Z, k0, b(k)=bk0,9,有無限多個(gè)bk 0, 滿足

12、xA, x(0)b0, xA滿足x(0)=b0;hN, Ah=x(h+1)| xA, xb0+0.b1bhh N, bh+1是Ah的上確界并且xA滿足x(n)=bn, n=0,h 下面證明, 由b可以構(gòu)造出A的上確界.25實(shí)數(shù)的完備性(IV)4. 考慮兩種情形: (1) 存在k0, nk, bk= 9, 如果k1, bk-1 1, 取b= b0+0.b1bk-1+1.為簡單這里僅給出k=1時(shí)的證明, k1情形的證明留作習(xí)題.由xA, x(0)b0b=b(0)可得b是A的上界.下面證明b是A的上確界, 任取cR, cb, 如果c(0)c(0),則xc. 如果c(0)=b0, 由m0, c(m)c

13、. 因此b是A的上確界.26實(shí)數(shù)的完備性(V)6. 假設(shè)(2)成立, 則bR. 令b=b. 首先說明b是上界. 用反證法, 若b不是A的上界,則xA, xb, 這就存在k0, jb(k)=bk,這與bk的取法矛盾.證明b是A的上確界: 任取cR, cb,則存在k0, jk, c(j)=b(j)=bj, c(k)c. 這就得到b是A的上確界.這樣實(shí)數(shù)的完備性就建立了. #27實(shí)數(shù)完備性的推論實(shí)數(shù)集的下界和下確界:設(shè)AR, A, 若bR使得aA, ab, 就稱b為A的一個(gè)下界, 并且說A是下有界的設(shè)bR是AR的下界, 如果cb, aA, a0, 而nk, x(n)=0. 負(fù)元-x定義為: k=0時(shí)

14、, (-x)(0)=-x(0), (-x)(n)=0k0時(shí), (-x)(0)=-x(0)-1, (-x)(k)=10- x(k); n1,k-1, (-x) (n) =9-x(n); nk, x(n)=0;即k=0時(shí)-x=-x; k0時(shí)-x=-x-1+0.(9-x1)(9-xk-1)(10-xk)若x為無窮小數(shù), 負(fù)元-x定義為: (-x)(0)=-x(0)-1, n0, (-x)(n)=9-x(n).定義: 設(shè)x,yR. 定義x與y的差x-y為x+(-y).命題1: xR, -(-x)=x, x+(-x)=0.33實(shí)數(shù)的符號(hào)和絕對值符號(hào)函數(shù)sgn: xR, 若x0, sgn(x)=1; 若x

15、0時(shí), x的倒數(shù)定義為: 1/x=supsn1/(sn(x)+10-n)|nN; 當(dāng)x 0時(shí), x的倒數(shù)為: 1/x=-1/|x|.除法: 對于x, yR, y0, 定義x與y的商為xy=x1/y.命題 2: xR, x0, x1/x=1.36實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法和乘法滿足交換律: a+b=b+a, ab= ba與結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c乘法與加法之間滿足分配律: a(b+c)= ab+ac0是加法零元: a: a+0=a1是乘法單位元: a: a1=a每個(gè)數(shù)a有負(fù)數(shù)-a: a+(-a)=0每個(gè)非零數(shù)a有倒數(shù)1/a: a(1/a)=137實(shí)數(shù)序的三歧性和

16、稠密性實(shí)數(shù)序的三歧性: a,bR, 則ab中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系:a,b,cR, ab a+cb+ca,b,cR且c0, ab acbc記號(hào): ab表示ab或a=b實(shí)數(shù)的稠密性: a,bR, ab, cRQ, dQ, acd0, a22是Q中的有上界的非空集合, 但在Q中沒有上確界.2.設(shè)x,yR. 證明sn(x)+sn(y) | nN, 且有上界x+y+2.3. 證明: xR, -(-x)=x, x+(-x)=0.4. 證明實(shí)數(shù)的稠密性: a,bR, ab, cRQ, dQ, acd0, xA, 使得x b-e.下確界: aR為集合A的下確界當(dāng)且僅當(dāng): e 0, xA,

17、使得x0, xA, 使得xM.無下界: 非空集合A無下界當(dāng)且僅當(dāng): M0, xA, 使得x-M.44記號(hào)區(qū)間: a, bR, ab,有限開區(qū)間: (a,b)=xR | axb有限閉區(qū)間:a,b=xR | a x b有限半開區(qū)間: a,b)=xR | a x a, (-,a) =xR | xa, R= (-,+), a,+) =xR | xa, (-,a 鄰域: aR, (a-e,a+e)=xR | |x-a| e稱為a的e鄰域(簡稱鄰域)空心鄰域: aR, (a-e,a+e)a=xR|0|x-a|e稱為a的e空心鄰域(簡稱空心鄰域)45實(shí)數(shù)集的分離性命題1. 設(shè) A, BR非空. 如果aA,

18、bB, 都有ab, 則c滿足: aA, bB, acb.證明: 取定bB, 由aA, ab可知A有上界,由完備性, c=sup AR. 在利用B的每個(gè)點(diǎn)都是A的上界和c是A的最小上界, 就有bB, cb.#46閉區(qū)間套閉區(qū)間套: 非空閉區(qū)間族M叫作閉區(qū)間套, 如果D1, D2M, D1D2與D2D1中必有一個(gè)成立.閉區(qū)間套引理: 任何閉區(qū)間套的所有閉區(qū)間一定有公共點(diǎn), 即這些閉區(qū)間的交集不空.證明: 設(shè)M是個(gè)閉區(qū)間套. 1. 先證明M中的任何閉區(qū)間的左端點(diǎn)小于M中任何閉區(qū)間的右端點(diǎn). 任取a,b, c,dM, 要證ad. 若a,bc,d, abd; 若c,da,b, ac0, a,bM, b-ae, 就稱M為收縮閉區(qū)間套.收縮閉區(qū)間套引理: 收縮閉區(qū)間套(的所有閉區(qū)間)只有一個(gè)公共點(diǎn)證明: 用反證法證明, 如果存在兩個(gè)不同的公共點(diǎn)x,y, 設(shè)x0).由收縮閉區(qū)間套定義, a,bM, b-ae,由x,ya,b, e=y-xb-ae,#命題: 任何閉區(qū)間套的閉區(qū)間都能利用其端點(diǎn)定義一個(gè)序, 使得序號(hào)小的包含序號(hào)大的.48習(xí)題四 (I)1. 證明:任何閉區(qū)間套的閉區(qū)間都能利用其端點(diǎn)定義一個(gè)序, 使得序號(hào)小的包含序號(hào)大的.2. 證明確界的惟一性、上確界是最小上界和下確界是最大下界.3. 證明: a,