函數(shù)連續(xù)和間斷

1、關于函數(shù)的連續(xù)與間斷第一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量第二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2.連續(xù)的定義第三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1證由定義2知第五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3.單側連續(xù)定理第六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,第七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,第八張，

2、PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例3證第九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、函數(shù)的間斷點及其分類第十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1.跳躍間斷點例4解第十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2.可去間斷點例5第十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點第十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3.第二類間斷點例6解第十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例7解注意

3、 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.第十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù), 其余各點處處間斷.第十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).判斷下列間斷點類型:第十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例8解第十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、連續(xù)函數(shù)的運算定理1例如,第二十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第二十一張，PPT共五十八

4、頁，創(chuàng)作于2022年6月定理3證第二十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月將上兩步合起來:第二十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例9解第二十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例10解同理可得第二十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,第二十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月四、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.第二十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理6 一切初等函數(shù)在

5、其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.第二十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.第二十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例11例12解解第三十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義:例如,第三十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間

6、內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立.第三十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證第三十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義:第三十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月幾何解釋:第三十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月幾何解釋:MBCAmab證由零點定理,第三十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.例13證由零點定理,第三十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例14證由零點定理,第三十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022

7、年6月六、小結1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)第三十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第四十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.6.復合函數(shù)的連續(xù)性.7.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個定理; 兩點意義.5.反函數(shù)的連續(xù)性.第四十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月8.有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在

8、性定理.注意1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點定理;第四十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題1第四十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題1解答且第四十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月但反之不成立.例但第四十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題2第四十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題2解答是它的可去間斷點第四十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題3下述命題是否正確？第四十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題3解答不正確.例函數(shù)第四十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月練 習 題 1第五十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月練習題1答案第五十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月練 習 題 2第五十四張，PPT共五