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文檔簡介
1、高三復(fù)習(xí)專題:從函數(shù)視角解決數(shù)列問題 數(shù)列是一類定義在正整數(shù)集或它的有限子集上的特殊函數(shù),可見,任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義,具有函數(shù)的一些固有特征。另外,數(shù)列與函數(shù)的綜合也是當(dāng)今高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn),因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí),應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識(shí),以它的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶,架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁,揭示了它們間的內(nèi)在聯(lián)系,從而有效地分解數(shù)列問題。(在下面所選講的問題中,都是從函數(shù)的角度展開,事實(shí)上,每個(gè)問題都還有其它解法,請(qǐng)大家能充分綜合數(shù)列有關(guān)知識(shí),從多角度、多方位完成,本課題大約3至4課時(shí))一、以函數(shù)概念為載體,合理消化數(shù)列問題。設(shè)計(jì)意圖:通過對(duì)數(shù)列中的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式
2、等這些特殊函數(shù)關(guān)系的概念的理解與分析,引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)與,與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而合理地找到解決問題的辦法。例、(1997年上海市高考試題)設(shè) (n)= (nN),則(n+1)(n)等于( )A、 B、 C、 D、點(diǎn)撥:此題從形式上看是考查學(xué)生對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)的意義的理解,但事實(shí)上更側(cè)重于對(duì)函數(shù)符號(hào)及對(duì)應(yīng)關(guān)系的考查,解決它的關(guān)鍵在于如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù) = 的概念的本質(zhì)的理解,即如何正確表示,從而得出答案。例、(1999年全國高考試題)已知函數(shù)y=的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線,當(dāng)nyn+1(n=0,1,2)時(shí),該圖象是斜率為b的線段(其中正常數(shù)b1),設(shè)數(shù)列,由f()=n (n=1,2)定義,求,和的
3、表達(dá)式。點(diǎn)撥:本題是集函數(shù)概念、直線斜率、數(shù)列等知識(shí)于一體的綜合問題,具有高度的抽象性,要求學(xué)生掌握歸納、推理、綜合等基本能力,同時(shí)能合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想直觀簡化問題,解決它的關(guān)鍵是如何通過斜率把函數(shù)的兩個(gè)變量有機(jī)結(jié)合起來,再根據(jù)兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系反映到數(shù)列的遞推關(guān)系中。即=b(n=1,2),其中x=0,則 =,且=,可求得 =1+,由遞推關(guān)系通過累加得=。二、以函數(shù)圖象為工具,直觀簡化數(shù)列問題。設(shè)計(jì)意圖:函數(shù)圖象是函數(shù)特征的直觀體現(xiàn),利用圖象解決數(shù)學(xué)問題(以形助數(shù))是我們?cè)诮鉀Q問題中經(jīng)常采用的手段。在數(shù)列中,我們可以利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中展示的圖象關(guān)系來解決問題
4、,常常會(huì)起到意想不到的效果。例、在等差數(shù)列中,s是其前n項(xiàng)和,公差為.(1)若=m,=n(mn),求(2)若s=s(mn),求s 點(diǎn)撥:(1)由=+(n1)d=dn+(d)可知:是關(guān)于n的一次式,則三點(diǎn)(m, )、(n,)、(m+n, )共線,根據(jù)任意兩點(diǎn)斜率相等得=0。(2)由s=n+=可知:是關(guān)于n的二次式,且無常數(shù)項(xiàng),令f()= ,由 s=s 得f(m)=f(n),則=為此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸, 因此 f(m+n)= f(0)=0,即 s=0 。另解:由s=得可知:是關(guān)于n的一次式,則三點(diǎn)(m,共線,易求s=0 。當(dāng)然此題可以有其它很多方法來解決,但是我們從中不難發(fā)現(xiàn)利用函數(shù)圖象直觀簡便
5、。例、(2000年成都市診斷性試題)已知等差數(shù)列,公差為d,等比數(shù)列,公比為q(q) , 若a=b=2,a=b。比較a與b,a與b的大??; 猜想并證明a與b(n 5)的大小關(guān)系。點(diǎn)撥:由題意知a=2+(n2)d=dn+22d, b=2q根據(jù)函數(shù)y=2q與y=dx+22d的圖象可知,在x=2與x=4處有兩個(gè)公共點(diǎn),則ab,并可判斷當(dāng)n 5時(shí)有a0,a1),令b=alga若中每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng),求a的范圍。點(diǎn)撥:由已知得a=a,則b=nalga,又b b,則nlga1時(shí),a顯然成立。(2)當(dāng)a1時(shí)a,令=,則在(0,+)上是增函數(shù),則 ()=,(nN),因此0a1或0a。此題意在尋找遞增數(shù)列的
6、條件,通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為恒成立類型的問題,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出最小值,從而得到結(jié)果。例、已知數(shù)列滿足a=aa,a=1,a=2,求點(diǎn)撥:令f(n)= a,則f(n+2)=f(n+1)f(n)若函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x+1)f(x),則 f(x+3)=f(x+2)f(x+1)相加得f(x+3)=f(x),則f(x+6)=f(x+3),因此 f(x)f(x+6)即函數(shù)y=f(x)的周期為 ,則易求f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)+f(x+5)=0所以本題是通過變量間規(guī)律的探求,發(fā)現(xiàn)存在周期性,這樣在大大簡化了解題過程的同時(shí),很好地培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。四、以
7、構(gòu)造函數(shù)為途徑,巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)列問題。設(shè)計(jì)意圖:構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題是函數(shù)思想中的中心所在,其實(shí)質(zhì)是把所求問題轉(zhuǎn)化為以函數(shù)背景的問題,再利用函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)來幫助解決,這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法與解題能力。例、(年全國高考試題)設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和。(1)證明;(2)是否存在常數(shù)使得成立?并證明。點(diǎn)撥:(1)設(shè),下證其圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),顯然,故其開口向上,令它的公比為q,當(dāng)q1時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。因此其圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則對(duì)應(yīng)方程的判別式即,兩邊取常用對(duì)數(shù)即可。對(duì)于(2)可考察來完成。通過上述實(shí)例的分析與說明,我們可以發(fā)現(xiàn),在數(shù)列的教學(xué)中,
8、應(yīng)重視函數(shù)思想的滲透,應(yīng)該把函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)有機(jī)地融入到數(shù)列中,通過數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的相互交匯,使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善,同時(shí)也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高。另外,對(duì)上述問題還有許多其它的解法,應(yīng)注意引導(dǎo)與發(fā)散。配套練習(xí):1、(1996年全國高考試題)設(shè)等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為( )A 、130 B 、1 C 、210 D 、260 2、(2002年上海市春季招生試題)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知?jiǎng)t在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )、 B、 C、 D、中的最大值3、(2004年重慶市高考試題)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若則使成立的最大自然數(shù)n為()、4005 B、4006 C、4007 D、40084、(2000年全國高考試題)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若 的前n項(xiàng)和,則=_。5、(2004年甘肅等省高考試題)已知是等比數(shù)列,。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)是數(shù)列其前n項(xiàng)和,證明。6、(2004年北京市高考試題)是定義在0,1上的增函數(shù),滿足,在每個(gè)區(qū)間上,的圖象都是斜率
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