數(shù)出某種圖形的個(gè)數(shù)是一類有趣的圖形問題

1、數(shù)出某種圖形的個(gè)數(shù)是一類有趣的圖形問題。由于圖形千變?nèi)f化，錯(cuò)綜復(fù)雜，所以要想準(zhǔn)確地?cái)?shù)出其中包含的某種圖形的個(gè)數(shù)，還真需要?jiǎng)狱c(diǎn)腦筋。要想有條理、不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所要圖形的個(gè)數(shù)，最常用的方法就是分類數(shù)。例1：數(shù)出下圖中共有多少條線段。分析與解：我們可以按照線段的左端點(diǎn)的位置分為A，B，C三類。如下圖所示，以A為左端點(diǎn)的線段有3條，以B為左端點(diǎn)的線段有2條，以C為左端點(diǎn)的線段有1條。所以共有3216(條)。我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構(gòu)成的來分類。如下圖所示，AB，BC，CD是最基本的小線段，由一條線段構(gòu)成的線段有3條，由兩條小線段構(gòu)成的線段有2條，由三條小線段構(gòu)成的線段有1條。所以，共

2、有3216(條)。由例1看出，數(shù)圖形的分類方法可以不同，關(guān)鍵是分類要科學(xué)，所分的類型要包含所有的情況，并且相互不重疊，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。例2 ：下列各圖形中，三角形的個(gè)數(shù)各是多少？分析與解：因?yàn)榈走吷系娜魏我粭l線段都對應(yīng)一個(gè)三角形(以頂點(diǎn)及這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數(shù)就是三角形的總個(gè)數(shù)。由前面數(shù)線段的方法知，圖(1)中有三角形123(個(gè))。圖(2)中有三角形123=6(個(gè))。圖(3)中有三角形123410(個(gè))。圖(4)中有三角形1234515(個(gè))。圖(5)中有三角形123456=21(個(gè))。例3：下列圖形中各有多少個(gè)三角形？分

3、析與解：(1)只需分別求出以AB，ED為底邊的三角形中各有多少個(gè)三角形。以AB為底邊的三角形ABC中，有三角形1236(個(gè))。以ED為底邊的三角形CDE中，有三角形1236(個(gè))。所以共有三角形66=12(個(gè))。這是以底邊為標(biāo)準(zhǔn)來分類計(jì)算的方法。它的好處是可以借助“求底邊線段數(shù)”而得出三角形的個(gè)數(shù)。我們也可以以小塊個(gè)數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算：圖中共有6個(gè)小塊。由1個(gè)小塊組成的三角形有3個(gè)；由2個(gè)小塊組成的三角形有5個(gè)；由3個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)；由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形3512112(個(gè))。(2)如果以底邊來分類計(jì)算，各種情況較復(fù)雜，因此我們

4、采用以“小塊個(gè)數(shù)”為分類標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算：由1個(gè)小塊組成的三角形有4個(gè)；由2個(gè)小塊組成的三角形有6個(gè)；由3個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形4622115(個(gè))。例4：右圖中有多少個(gè)三角形？解：假設(shè)每一個(gè)最小三角形的邊長為1。按邊的長度來分類計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)。邊長為1的三角形，從上到下一層一層地?cái)?shù)，有1357=16(個(gè))；邊長為2的三角形(注意，有一個(gè)尖朝下的三角形)有1231=7(個(gè))；邊長為3的三角形有123(個(gè))；邊長為4的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形1673127(個(gè))。例5：數(shù)出下頁左上圖中銳角的個(gè)數(shù)。分析與解：在圖中加

5、一條虛線，如下頁右上圖。容易發(fā)現(xiàn)，所要數(shù)的每個(gè)角都對應(yīng)一個(gè)三角形(這個(gè)角與它所截的虛線段構(gòu)成的三角形)，這就回到例2，從而回到例1的問題，即所求銳角的個(gè)數(shù)，就等于從O點(diǎn)引出的6條射線將虛線截得的線段的條數(shù)。虛線上線段的條數(shù)有1+2+3+4+5=15(條)。所以圖中共有15個(gè)銳角。例6：在下圖中，包含“*”號(hào)的長方形和正方形共有多少個(gè)？解：按包含的小塊分類計(jì)數(shù)。包含1小塊的有1個(gè)；包含2小塊的有4個(gè)；包含3小塊的有4個(gè)；包含4小塊的有7個(gè)；包含5小塊的有2個(gè)；包含6小塊的有6個(gè)；包含8小塊的有4個(gè)；包含9小塊的有3個(gè)；包含10小塊的有2個(gè)；包含12小塊的有4個(gè)；包含15小塊的有2個(gè)。所以共有14

6、472643242=39(個(gè))。例7：同時(shí)包含兩個(gè)*的長方形(含正方形)有多少個(gè)?分析：(1)要同時(shí)包含兩個(gè)“*”，必須由四個(gè)相鄰的長方形構(gòu)成。如下圖：所以，可以把圖形簡化成這樣：也就是把原來的75的長方形簡化成了，橫少一排，豎少一列，轉(zhuǎn)化成64的長方形。(2)在每一列中包含“*”的長方形有6個(gè)包含一個(gè)長方形的有1個(gè)；包含二個(gè)長方形的有2個(gè)；包含三個(gè)長方形的有2個(gè)；包含四個(gè)長方形的有1個(gè)；共有6個(gè)。(3)在每一排中包含“*”的長方形有12個(gè)包含一個(gè)長方形的有1個(gè)；包含二個(gè)長方形的有2個(gè)；包含三個(gè)長方形的有3個(gè)；包含四個(gè)長方形的有3個(gè)；包含五個(gè)長方形的有2個(gè)；包含六個(gè)長方形的有1個(gè)；共有12個(gè)。

7、(4)所以，同時(shí)包含兩個(gè)*的長方形(含正方形)有126=72（個(gè)）例8：有一塊木板上釘了16個(gè)釘子，橫豎都是4個(gè)，橫豎相鄰的兩個(gè)釘子間的距離都相等。用皮筋能套出多少個(gè)正方形？分析：套出的正方形包括三種情況。第一種情況：（1）包含一個(gè)小正方形的有：33=9（個(gè)）（2）包含四個(gè)小正方形的有：22=4（個(gè)）（3）包含九個(gè)小正方形的有：11=1（個(gè)）共有9+4+1=14（個(gè)）第二種情況：有4個(gè)。第三種情況：有2個(gè)。所以共能套:14+4+2=20(個(gè))數(shù)圖形屬于“計(jì)數(shù)”的范疇。通常，計(jì)數(shù)有兩種基本方法，一種是“分類計(jì)數(shù)”，一種是“分步計(jì)數(shù)”。分類計(jì)數(shù)的理論基礎(chǔ)是“加法原理”，分步計(jì)數(shù)的理論基礎(chǔ)是“乘法原

8、理”。具體采用什么方法，要根據(jù)圖形的構(gòu)成特點(diǎn)和學(xué)生的能力水平適當(dāng)選擇。如：例9：正五邊形和它的對角線可以形成多少個(gè)三角形？一分類計(jì)數(shù)方法一：按組成分類。(1)單一的三角形(ABF、AFJ、AJE)有10個(gè)；(2)由2部分組成的三角形(ABJ、AFE)有10個(gè)；(3)由3部分組成的三角形(ABE、BEH)有10個(gè)；(4)由5部分組成的三角形 (ACD)有5個(gè)。總共有101010535(個(gè))。方法二：按形狀分類。根據(jù)圖形的對稱性：(1)與ABF 相同的有 5 個(gè)；(2)與ABJ 相同的有 5 個(gè)；(3)與ABE 相同的有 5 個(gè)；(4)與AFJ 相同的有 5 個(gè)；(5)與AFE 相同的有 5 個(gè)；

9、(6)與ACD 相同的有 5 個(gè)；(7)與ACI 相同的有 5 個(gè)?？偣灿?735(個(gè))。二分步計(jì)數(shù)抓住“所有的三角形都至少有一個(gè)頂點(diǎn)是五邊形的頂點(diǎn)”這個(gè)特征。第一步：以頂點(diǎn)A為代表。(1)只涉及頂點(diǎn)A的三角形，只有AFJ這1個(gè)；(2)涉及頂點(diǎn)A和另一個(gè)頂點(diǎn)的三角形，有ABF、ABJ、ABG、ACI、ADG、AEI、AEJ、AEF共8個(gè)；(3)涉及頂點(diǎn)A和另外2個(gè)頂點(diǎn)的三角形，有ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE共6個(gè)。第二步：推廣到5個(gè)頂點(diǎn)。(1)只涉及1個(gè)頂點(diǎn)的三角形無重復(fù)，有155(個(gè))；(2)涉及2個(gè)頂點(diǎn)的三角形排除重復(fù)后，實(shí)際有85220(個(gè))；(3)涉及3個(gè)頂點(diǎn)的三角形

10、排除重復(fù)后，實(shí)際有65310(個(gè))。總共有5201035(個(gè))。可見，分類計(jì)數(shù)比較直觀，適合各年級(jí)學(xué)生。其中，方法一具有一般性，適用于所有圖形；方法二只適用于特殊圖形（對稱圖形，特別是多向?qū)ΨQ圖形）。分步計(jì)數(shù)比較抽象，只適合分析概括能力較強(qiáng)的高年級(jí)學(xué)生。關(guān)鍵和難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)圖形構(gòu)成的內(nèi)在規(guī)律。無論是分類計(jì)數(shù)還是分步計(jì)數(shù)，對于小學(xué)生來說，要求圖形都不能太復(fù)雜，否則，極易發(fā)生重復(fù)或遺漏。設(shè)計(jì)題目時(shí)，必須從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，不能要求過高。作業(yè)：1.請數(shù)數(shù)看下面有多少個(gè)正方形2.請數(shù)數(shù)下面有多少個(gè)三角形?多少個(gè)正方形？后記：數(shù)圖形問題，讓孩子對圖形有初步的感應(yīng)，認(rèn)識(shí)，對以后中學(xué)學(xué)幾何有好處，有些比較復(fù)雜，也

11、能鍛煉孩子做題目辦事細(xì)心的問題數(shù)學(xué)競賽中常遇到數(shù)圖形問題。這類問題一般都要先尋求規(guī)律，而后按照這個(gè)規(guī)律去數(shù)圖形。數(shù)圖形時(shí)要有次序、有條理，才能不遺漏、不重復(fù)。因此，一般步驟應(yīng)是：仔細(xì)觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)津。運(yùn)用規(guī)律常能使解法簡便。 例1 下面兩根線段中各有多少條線段？ 解 （1）由一條基本線段構(gòu)成的線段有： AB、BC、CD、DE，共4條； 由兩條基本線段構(gòu)成的線段有：AC、BD、CE，共3條；由三條基本線段構(gòu)成的線段有：AD、BE，共2條； 由四條基本線段構(gòu)成的線段只有AE1條。 因此共有線段：4+3+2+1 =（4+1）42 =10（條） （2）可以采用（1）同樣的解法： 由一條基本線段

12、組成的線段有6條， 由兩條基本線段組成的線段有5條， 由三條基本線段組成的線段有4條， 由四條基本線段組成的線段有3條， 由五條基本線段組成的線段有2條， 由六條基本線段組成的線段有1條， 共有線段：6+5+4+3+2+1 =（6+1）62 =21（條） 答 （1）中有10條線段。（2）中有21條線段。這種先分類再排序的方法稱為分類排序法。這樣排序，不易遺漏和重復(fù)。由以上例子可以推知，如果線段上有五個(gè)點(diǎn)，就構(gòu)成了四條基本線段，總線段數(shù)為四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和：4+3+2+1。如果有n個(gè)點(diǎn)，線段總數(shù)為（n-1）+（n-2）+3+2+1=n（n-1）2（條）。找到了這個(gè)規(guī)律，我們就可以運(yùn)用這個(gè)公式來解

13、答這類問題。例2 在AOB（圖62）內(nèi)有8條從O點(diǎn)引出的射線，可組成各種大小不同的角一共有多少個(gè)？解 這問題類似于例1， 1092=45（個(gè)） 答 圖中有45個(gè)角。解3 數(shù)一數(shù)，圖63一共有幾個(gè)長方形？分析 可以按照順序去數(shù)長方形的個(gè)數(shù)，也可以通過分析研究，找出數(shù)長方形的規(guī)律。長方形是由長和寬組成的，圖中共有3個(gè)長（橫向線段）、3個(gè)寬（豎向線段），解339（個(gè)）答 圖中共有9個(gè)長方形。這一類型的問題在后面還要專門討論。例4 如圖64。（1）如上圖這樣的形狀，如果最底層有11個(gè)三角形，那么這堆小三角形共有多少個(gè)？ （2）現(xiàn)在共有169個(gè)小三角形，按上圖排列，那么最底層三角形有幾個(gè)？ 分析 根據(jù)圖示可以得到規(guī)律，底層與總數(shù)有“24，39， 416”的關(guān)系。而 224，33=9，44 16，就是：“底層的個(gè)數(shù)的平方