微分方程模型假設(shè)和建立

1、微分方程模型假設(shè)和建立一階微分方程的一般形式為：4.1 利用微元法建立微分方程模型問題1 高速公路上汽車總數(shù)模型從A城市到B城市有條長(zhǎng)30KM 的高速公路，某天公路上距A城市X KM 處的汽車密度（每千米多少輛車計(jì)）為p（x）=300+300sin(2x+0.2).請(qǐng)計(jì)算該高速公路上的汽車總數(shù)一 模型的假設(shè)假設(shè)從A城市到B城市的高速路是封閉的，路上沒有其他出口二 變量說明W 高速公路上的汽車總數(shù)三 模型的分析與建立利用微元法，在x,x+dx路段上，可將汽車密度視為常數(shù)，車輛數(shù)為dW=300+300sin(2x+0.2)dx所以高速公路上的汽車總數(shù)為：四 模型的求解用MATLAB計(jì)算syms x

2、int(300+300*sin(2*x+0.2),x,0,30)ans=9.2779e+003所以高速公路上的汽車總量約為9278輛微元法建立微分方程模型的一般步驟對(duì)于實(shí)際問題，若各種研究對(duì)象在整體范圍內(nèi)為變化的，但經(jīng)過分割后的局部分為內(nèi)可以近似地認(rèn)為是不變的，則可以在確定了變量以及取值范圍后，用以下步驟即建立微分方程模型第一步用近似方法確定微元寫出整體量U在自變量任一小區(qū)間x,x+dx上的微元dU=f(x)dx,即得微分方程第二步寫出定積分式以所求變量U的微元f(x)dx為被積表達(dá)式，寫出在區(qū)間a,b上的定積分，得上述方法稱為微元法。問題2 學(xué)生宿舍的規(guī)模模型2005年年底的一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示

3、：新欣寄宿學(xué)校的在校生人數(shù)以 的速度遞增，其中x=0對(duì)應(yīng)2005年，若學(xué)校目前在校生2000人，學(xué)生宿舍700間，每間最多可容納6人。（1）請(qǐng)預(yù)測(cè)2015年學(xué)校有多少學(xué)生（2）到2015年學(xué)校最多能容納多少學(xué)生？若不能容納，至少還需修建多少間宿舍？一 模型的假設(shè)1.假設(shè)今后10年學(xué)校的在校生人數(shù)均按的速度遞增，不能出現(xiàn)其他變故2假設(shè)宿舍10年后還能正常使用二 變量說明P(t) 從2005年起的第t年新欣學(xué)校的在校人數(shù)三 模型的建立利用微元法，在區(qū)間x,x+dx上，可將學(xué)校在校人數(shù)的增長(zhǎng)率視為常數(shù)，增加的人數(shù)為所以2015年新欣學(xué)校的在校生人數(shù)為四 模型的求解syms xint(280*exp(

4、0.2*x),x,0,10)ans=1400*exp(2)-1400 ans=1400*exp(2)-1400ans=8.9447e+003五 結(jié)果分析通過計(jì)算可知，10年后學(xué)校將有近8945名學(xué)生。而學(xué)校現(xiàn)有宿舍700間，按每間最多容納6人，最多可容納700*6=4200名學(xué)生差8945-4200=4745個(gè)床位則缺47456=791間宿舍。已知導(dǎo)數(shù)，建立和求解微分方程模型的方法問題三 森林可被砍伐年限模型2000年林業(yè)部門對(duì)某伐木場(chǎng)砍伐樹木的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，該伐木廠砍伐樹木的速度為其中t=0對(duì)應(yīng)2000年（1）請(qǐng)預(yù)測(cè)今后5年伐木廠將砍伐多少樹木（2）如果空中偵察發(fā)現(xiàn)該片森林的木材儲(chǔ)量為8百萬

5、方，那么該片森林可供砍伐多少年？一 模型假設(shè)1.假設(shè)森林的木材被砍伐后不再生長(zhǎng)，即木材儲(chǔ)量不再增加。2.假設(shè)該森林只有這一家伐木場(chǎng)。二 變量說明W(t) 第t年伐木廠將砍伐的樹木（單位：百萬方）Q 森林的木材儲(chǔ)量（單位：百萬方）X 可供砍伐的年數(shù)三 模型的建立對(duì)于第一問：因?yàn)榭撤淠镜乃俣葹榭撤淠镜臄?shù)量關(guān)于時(shí)間的變化率，即對(duì)于第二問：當(dāng)森林的木材儲(chǔ)量為Q百萬方時(shí)，設(shè)第x年砍伐完，則有四 模型求解對(duì)于問題一syms xint(2*exp(-0.2*t),t,0,5)ans=-10*exp(-1)+10 -10*exp(-1)+10對(duì)于問題2將Q=8代入模型，則有syms x;solve(-10

6、*exp(-15*x)+10=8,x)ans=5*log(5) 5*log(5)五 結(jié)果分析今后5年將砍伐百萬方木材而且最多可供砍伐8年多一點(diǎn)。問題4 飛行跑道的設(shè)計(jì)模型波音727噴氣式客機(jī)起飛時(shí)的速度為360km/h，如果要求一架波音727噴氣式客機(jī)在50s內(nèi)勻速地將速度提到起飛速度，問設(shè)計(jì)的跑道至少應(yīng)多長(zhǎng)？一 模型的準(zhǔn)備先進(jìn)行單位換算，50s等于50/3600=1/72h二 模型假設(shè)1.假設(shè)飛行跑道為直線型跑道2.假設(shè)飛機(jī)在跑道上勻加速行駛50s，起飛時(shí)的速度為360km/h三 變量說明a km/h 飛機(jī)在跑道上行駛的勻加速度v(t) t時(shí)刻的速度S 跑道長(zhǎng)度s(t) t時(shí)刻飛機(jī)行駛的距離

7、四 模型的建立和求解由速度與加速度的關(guān)系知道：a=dv/dt,即dv=a*dt 根據(jù)題意，飛機(jī)要在t=1/72(h)內(nèi)勻加速的將速度提到360km/h，有即 360=1/72a，所以a=360*72=25920(km/h2)因v(0)=0,所以速度為v(t)=25920t再利用路程與速度之間的關(guān)系v(t)=ds(t)/dt得路程s(t)為將1/72代入上式，得跑道的最短長(zhǎng)度為：所以設(shè)計(jì)飛行跑道的最短距離為注意1.在建立和求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，一定要注意問題所給單位（量綱）是否一致，若不一致，必須先進(jìn)行處理2.已知變化率，要達(dá)到預(yù)定的設(shè)計(jì)要求，可以通過建立和求解所求量的微分方程得以解決。一般地，與變化

8、率有關(guān)的問題均可建立微分方程模型問題5 生活垃圾的總量預(yù)測(cè)模型中國(guó)既是一個(gè)人口大國(guó)，又是一個(gè)垃圾生產(chǎn)大國(guó)。隨著人類生產(chǎn)和生活的不斷發(fā)展，由此而產(chǎn)生的垃圾給生態(tài)環(huán)境及人類生存帶來極大的威脅，成為重要的社會(huì)問題。請(qǐng)查閱相關(guān)文獻(xiàn)，搜集垃圾產(chǎn)量數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上建立城市生活垃圾產(chǎn)量中短期預(yù)測(cè)模型，并分析模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性一 模型的準(zhǔn)備通過查閱資料，獲得以下數(shù)據(jù)：城市生活垃圾的年增長(zhǎng)率達(dá)8%10%。僅2000年的垃圾產(chǎn)量就達(dá)億噸，預(yù)計(jì)到2010年垃圾產(chǎn)量約2億噸。二 模型假設(shè)假設(shè)2000年我國(guó)的垃圾產(chǎn)量為億噸三 變量說明R(t) 第t年我國(guó)的生活垃圾（單位：億噸）K 垃圾的增長(zhǎng)速度（單位：億噸/年）四

9、模型的建立利用微元法，第t年到第t+t年間垃圾的增長(zhǎng)量為：R(t)=R(t+t)- R(t)=kR(t)* t方程兩邊同時(shí)除以t，并令t趨于0，由此建立微分方程：dR/dt=kR,初始條件為R(0)=1.4(億噸)五 模型的求解解法一1.求通解將代入模型，分離變量得兩端積分得2.求特解將初始條件R（0）（億噸）代入通解，得C=1.4.于是滿足該問題的特解為：R（t）由此可知，2010年的垃圾產(chǎn)量約為（億噸）解法二dsolve(DR=0.08*R,R(0)=1.4)ans=(7*exp(2*t)/25)/5從而R（t）。把t換成10，即的 (7*exp(2*10)/25)/5結(jié)果分析網(wǎng)址中預(yù)測(cè)2

10、010年我們的垃圾生產(chǎn)量為億噸，本模型計(jì)算結(jié)果略大于網(wǎng)上預(yù)測(cè)。因?yàn)槟晟鲩L(zhǎng)速度可能受社會(huì)發(fā)展水平、人們的環(huán)保意識(shí)等的變化而變化，因此，此模型所得結(jié)果僅能作為短期的初步預(yù)測(cè)值。建立微分方程模型的一般步驟與方法一般地，若影響問題的因素較多，以致難以迅速地建立微分方程模型，或問題不是直接由變化率求總改變量時(shí)。則可以通過以下步驟完成微分方程模型的建立：第一步：如果自變量為x，因變量為y。先分析當(dāng)自變量從x變到x+x時(shí)相應(yīng)的函數(shù)y的改變量y第二步：方程兩邊同時(shí)除以x，并令x趨于0，即得微分方程。用機(jī)理分析法建立微分方程問題6：體內(nèi)藥物分析模型某人突然開始強(qiáng)烈氣喘，醫(yī)生立即給他一次性注射茶堿藥物，可以想象

11、藥物是進(jìn)入了一個(gè)容積為35000ML的分隔區(qū)間（這一容積就是人體內(nèi)藥物可以達(dá)到的空間的總體積），藥物離開病人身體的速度與體內(nèi)藥物的多少成正比，比例常數(shù)為。試建立藥物濃度c(t)所滿足的微分方程一 模型的假設(shè)1.假設(shè)病人身體內(nèi)最初不含這種藥物2.假設(shè)人體體液的總體積為V=35000ML二 變量說明X(t) t時(shí)刻人體內(nèi)的藥物量D 一次注入體內(nèi)的藥物量三 模型的建立藥物離開人體的速度dx(t)/dt與體內(nèi)藥量x成正比，即：dx/dt=-kxx(0)=D其中，初始條件為四 模型求解解法一1.求通解x(t)=De-kt藥物的濃度為C(t)=x(t)/V=De-kt/V2.求特解將初始條件代入通解，得D

12、=43.2.又因?yàn)閂=35000，所以滿足該條件的特解為解法2dsolve(Dx=-0.082*x，x(0)=43.2)ans=216/(5*exp(41*t)/500)模型推廣如果此病人每隔4h注射一次藥，試建立藥物濃度所滿足的微分方程模型問題7 刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定模型某地發(fā)生一起謀殺案。刑偵人員測(cè)得尸體溫度為30C，此時(shí)是下午四點(diǎn)整，假設(shè)該人被謀殺前的體溫為37C，被殺兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度為35C，周圍空氣的溫度為20C，試推斷謀殺是何時(shí)發(fā)生的？一 模型的假設(shè)1.假設(shè)尸體的溫度按牛頓冷卻定律開始下降，即尸體冷卻速度與尸體溫度和空氣溫度之差成正比。（牛頓冷卻定律：物理在空氣中冷卻的速度與

13、物體溫度和空氣溫度之差成正比）2.假設(shè)尸體的最初溫度為37C，兩小時(shí)后尸體溫度為35C。且周圍空氣的溫度保持20C不變。3.假設(shè)尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是30C，時(shí)間是下午4點(diǎn)整二 變量說明H(t) 尸體的溫度二 模型的建立由于尸體的冷卻速度dH/dt與尸體溫度H和空氣溫度之差成正比，設(shè)比例系數(shù)為k，則：Dh/dt=-k(H-20)初始條件為H(0)=37四 模型的求解解法一1.求通解分離變量得dH/(H-20)=-kdt兩端積分得H-20=Ce-kt2.求特解將初始條件H(0)=37代入通解，得C=17.于是滿足該問題的通解為：H=20+17e-kt為求出k值，根據(jù)兩小時(shí)后尸體溫度為35這一條件，

14、有：35=20+17e-k*2求得，于是尸體的溫度函數(shù)為將H=30，代入上式有得t=8.4(h)解法二dsolve(DH=-0.063*(H-20),H(0)=37)ans=17/exp(63*t)/1000)+20solve(30=20+17/exp(63*t)/1000),t)ans=-(1000*log(10/17)/63 -(1000*log(10/17)/63結(jié)果分析由分析可以判定謀殺發(fā)生在下午四點(diǎn)尸體被發(fā)現(xiàn)前的小時(shí)，即在上午7點(diǎn)36分發(fā)生的。模型的推廣 冷卻問題將溫度為 物體放在溫度為24 的空氣中冷卻，經(jīng)10min后，物體溫度降為 。問t=20min時(shí)，物體的溫度是多少？ 牛頓冷

15、卻定理：物體在空氣中的冷卻速度與該物體的溫度及空氣溫度之差成正比。 解：設(shè)物體的溫度T隨時(shí)間t的變化規(guī)律為T=T(t)，則由冷卻定律及條件可得 其中 為比例函數(shù)，k為常數(shù),負(fù)數(shù)表示溫度下降的兩邊求積分得 T= +24 且t=0時(shí) =150t=10時(shí) 所以 -10k+ln126= ln 76 10k=ln126-ln76 當(dāng)t=20時(shí)， = = 減肥的數(shù)學(xué)模型1.問題提出 隨著人們生活水平的提高,肥胖成為世人關(guān)注的問題,減肥健美之美日盛,但如何減肥,才能達(dá)到預(yù)期效果？1.體重標(biāo)準(zhǔn):亞洲人超出標(biāo)準(zhǔn)體重10的，稱為超重。超出標(biāo)準(zhǔn)體重的20，稱為肥胖。 2.問題分析2.肥胖的特征:脂肪過多,如果人吸收含過多熱量的食物,則人體中這些過多的熱量就會(huì)轉(zhuǎn)化為脂肪而使體重增加.3.減肥的途徑:減少飲食,增加新陳代謝、工作及體育鍛煉及變量說明 (1)設(shè)某人每天從食物中攝取的熱量是aJ，其中 bJ用于新陳代謝(自動(dòng)消耗),工作、生活每