第二章隨機(jī)變量及其概率分布(2015)(共17頁)

1、2015年考研概率統(tǒng)計(jì)強(qiáng)化講義PAGE PAGE 27第二章 隨機(jī)變量(su j bin lin)及其概率分布一考研(ko yn)內(nèi)容提要1隨機(jī)變量(su j bin lin)2分布函數(shù)及其性質(zhì)3離散型隨機(jī)變量及其分布律（1）定義（2）分布律（3）分布律的性質(zhì)（4）分布律與分布函數(shù)的關(guān)系（5）五種重要的離散型分布：（ = 1 * roman i）01分布；（ = 2 * roman ii）二項(xiàng)分布；（ = 3 * roman iii）Poisson分布；（ = 4 * roman iv）幾何分布；（ = 5 * roman v）超幾何分布。（6）Poisson定理：設(shè)是一常數(shù)，是任意的正整數(shù)，

2、則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)，有在實(shí)際應(yīng)用中可以得到二項(xiàng)分布的近似計(jì)算，即當(dāng)很大，很小時(shí)，有4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（1）定義（2）概率密度的性質(zhì)（3）注（ = 1 * roman i）連續(xù)型隨機(jī)變量在一點(diǎn)取值的概率為零；（ = 2 * roman ii）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)（4）三種重要(zhngyo)的連續(xù)型分布：（ = 1 * roman i）均勻分布；（ = 2 * roman ii）正態(tài)分布： = 1 * GB3 一般(ybn)正態(tài)分布； = 2 * GB3 標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)正態(tài)分布：特別地當(dāng)時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為； = 3 * GB3 標(biāo)準(zhǔn)化：設(shè)，則，稱為的標(biāo)準(zhǔn)

3、化。一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的關(guān)系為：，特別地 ；（ = 3 * roman iii）指數(shù)分布。5隨機(jī)變量函數(shù)的分布（1）定義（2）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律（3）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度：（ = 1 * roman i）分布函數(shù)法：先求的分布函數(shù)，其中，再將關(guān)于求導(dǎo)，便得的概率密度函數(shù) ；（ = 2 * roman ii）公式法：若為上的嚴(yán)格單調(diào)的可微函數(shù)，則的概率密度函數(shù)為，其中是的反函數(shù)，是使得有意義的的公共部分。二考研題型解析1選擇題例1 設(shè)，記，則（ ）（A）對(duì)于任何(rnh)實(shí)數(shù)，都有 （B）對(duì)于(duy)任何實(shí)數(shù)，都有（C）只對(duì)的個(gè)別(gbi)值，才有 （D）對(duì)于

4、任何實(shí)數(shù)，都有解 應(yīng)選（A）。例2 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則隨的增大，概率（ ）（A）單調(diào)增大 （B）單調(diào)減少 （C）保持不變 （D）增減不定解 應(yīng)選（C）。例3 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，且，是的分布函數(shù)，則對(duì)任何的實(shí)數(shù)，有（ ）（A） （B） （C） （D）解 應(yīng)選（B）。例4 設(shè)與分別為隨機(jī)變量和的分布函數(shù)，為了使是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?）（A） （B） （C） （D）解 應(yīng)選(yn xun)（A）。例5 設(shè)是一離散(lsn)型隨機(jī)變量，的分布(fnb)律為：且為常數(shù)，則為（ ）（A）的任意實(shí)數(shù) （B） （C） （D）解 應(yīng)選（C）。例6 設(shè)，是兩個(gè)相互獨(dú)立

5、的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為與，分布函數(shù)分別為與，則（ ）（A）必為某隨機(jī)變量的概率密度 （B）必為某隨機(jī)變量的概率密度（C）必為某隨機(jī)變量的分布函數(shù) （D）必為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)解 應(yīng)選（D）。例7 設(shè)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）解 應(yīng)選（A）。例8 某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（ ）（A） （B） （C） （D）解 應(yīng)選(yn xun)（C）。例9 設(shè)，是隨機(jī)變量(su j bin lin)，且，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選(yn xun)(A)。由，得，由，得由，得由于是

6、單調(diào)增函數(shù)，因此，因?yàn)?，且，因此，從而，故選(A)。例10 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，事件，則(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選(yn xun)（D）。由于(yuy)，因此(ync)的概率密度為，從而故選（D）。例11 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則（ ）(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選（C）。由，故選（C）。例12 設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，為上均勻分布的概率密度，若 為概率密度，則應(yīng)滿足（ ）(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選（A）。由題設(shè)，又為概率密度，故即，故選（A）。例13 設(shè)與是兩個(gè)分布(fnb)函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度與是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度為（ ）(A)

7、(B) (C) (D)解 應(yīng)選(D)。由題設(shè)知，且所以(suy)是概率密度，故選(D)。2填空題例1 設(shè)在三次(sn c)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相等。若已知事件至少出現(xiàn)一次的概率等于 ，則事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 。解 應(yīng)填。例2 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)的概率密度為，以表示(biosh)對(duì)的三次獨(dú)立重復(fù)觀察(gunch)中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則 。解 應(yīng)填。例3 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，若，則 。解 應(yīng)填。例4 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ，則的分布律為 。解 應(yīng)填3例5 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則的分布函數(shù)為 。解 應(yīng)填。例6 若隨機(jī)

8、變量(su j bin lin)在上服從(fcng)均勻分布，則方程有實(shí)根的概率(gil)為 。解 應(yīng)填。例7 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則 ， 。解 應(yīng)填；。例8 設(shè)隨機(jī)變量，且，則 。解 應(yīng)填。例9 若隨機(jī)變量，且二次方程無實(shí)根的概率為，則 。解 應(yīng)填。例10 設(shè)隨機(jī)變量，且，則 。解 應(yīng)填。例11 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，且，則 。解 依題意(t y)知，又，故，即 。例12 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)的概率分布為，其中(qzhng)，若，則 。解 由于，即，解之得，（舍），故。例13 設(shè)隨機(jī)按變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，為常數(shù)且大于零，則 。解 由于服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，因

9、此的概率密度為，從而3解答題例1 某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)的電子元件，其壽命（單位：小時(shí)）都服從同一指數(shù)分布，其概率密度為，試求在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率。 解 設(shè)表示(biosh)該型號(hào)電子元件的壽命，則，設(shè)表示儀器(yq)使用的最初200小時(shí)內(nèi)電子元件損壞的個(gè)數(shù)，則 例2 假設(shè)(jish)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率可以直接出廠，以概率需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率出廠，以概率定為不合格不能出廠，現(xiàn)該廠生產(chǎn)了臺(tái)儀器（假設(shè)每臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求（ = 1 * roman i）全部能出廠的概率；（ = 2 * roman ii）其中恰好有兩臺(tái)不能出

10、廠的概率；（ = 3 * roman iii）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率。解 設(shè)A=儀器需進(jìn)一步調(diào)試，B=儀器可以出廠，則任一儀器可以出廠的概率為，設(shè)表示所生產(chǎn)的臺(tái)儀器能出廠的臺(tái)數(shù)，則，因此（ = 1 * roman i）；（ = 2 * roman ii）；（ = 3 * roman iii）例3 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)在區(qū)間(q jin)服從(fcng)均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度。解法一：（分布函數(shù)法）由于，故的概率密度為，的分布函數(shù)為 ，于是 當(dāng)時(shí)，所以 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，的概率密度為。解法二：（公式法）由于是嚴(yán)格單調(diào)可微函數(shù)，其反函數(shù)為，所以，的概率密

11、度函數(shù)為，即例4 假設(shè)一大型(dxng)設(shè)備在任何長為的時(shí)間內(nèi)發(fā)生(fshng)故障的次數(shù)服從(fcng)參數(shù)為的Poisson分布。（ = 1 * roman i）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔的概率分布；（ = 2 * roman ii）求在設(shè)備無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行工作8小時(shí)的概率。解（ = 1 * roman i）求的分布函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，由于是非負(fù)隨機(jī)變量，所以； 當(dāng)時(shí)，故即服從參數(shù)為指數(shù)分布。（ = 2 * roman ii）例5 假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間服從參數(shù)的指數(shù)分布。設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)閉，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求設(shè)備每次開動(dòng)無故障

12、工作的時(shí)間的分布函數(shù)。解 顯然 ，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)槭菚r(shí)間取非負(fù)值）； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；于是，的分布函數(shù)為例6 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)的概率密度為，令隨機(jī)變量(su j bin lin)（ = 1 * roman i）求分布(fnb)函數(shù)；（ = 2 * roman ii）求概率。解 （ = 1 * roman i）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)， ，因此分布函數(shù)為（ = 2 * roman ii）例7 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)服從(fcng)參數(shù)為的指數(shù)分布，且。（ = 1 * roman i）求參數(shù)(cnsh)；（ = 2 * roman ii）求。解 （ = 1 *

13、 roman i）由題設(shè)知的分布函數(shù)為由于，因此。（ = 2 * roman ii）例8 向直線上投隨機(jī)點(diǎn)，已知隨機(jī)點(diǎn)落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率分別為0.2，0.5，0.3，并且隨機(jī)點(diǎn)在上分布是均勻的，假設(shè)隨機(jī)點(diǎn)落入?yún)^(qū)間內(nèi)得0分，落入內(nèi)得1分，落入內(nèi)的上得分，試求所得分?jǐn)?shù)的分布函數(shù)。解 以和也分別表示事件“隨機(jī)點(diǎn)落入?yún)^(qū)間上”和“隨機(jī)點(diǎn)落入?yún)^(qū)間上”，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，故例9 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)的概率密度為，令，求（ = 1 * roman i）的概率密度；（ = 2 * roman ii）。解（ = 1 * roman i）記的分布(fnb)函數(shù)為，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的概率密度為（ = 2 * roman ii），或。例10 設(shè)離散(lsn)型隨機(jī)變量的分布律為在給定的條件下，隨機(jī)變量服從均勻分布，求的分布函數(shù)。解 由全概率公式及題設(shè)得當(dāng)時(shí)，事件是不可能事件，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，事件(shjin)是必然(brn)