現(xiàn)代控制理論第六章最優(yōu)控制課件

1、第六章最優(yōu)控制2022年7月19日本章內(nèi)容6.1 概述6.2 研究最優(yōu)控制的前提條件6.3 靜態(tài)最優(yōu)化問題的解6.4 泛函及其極值變分法6.5 用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題 6.6 極小值原理6.7 線性二次型最優(yōu)控制問題 6.1 概述甲倉(cāng)1500包乙倉(cāng)1800包1元工地B600包工地C1200包2元4元4元5元9元如何發(fā)送水泥最省運(yùn)費(fèi)?工地A900包假設(shè)從甲倉(cāng)運(yùn)往A,B,C三個(gè)工地的水泥包數(shù)分別為x1,x2,x3;從乙倉(cāng)運(yùn)往A,B,C三個(gè)工地的水泥包數(shù)分別為x4,x5,x6總運(yùn)費(fèi)為:x的約束條件目標(biāo)函數(shù)約束條件最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述目標(biāo)函數(shù)等式約束條件不等式約束條件靜態(tài)最優(yōu)化問

2、題最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述目標(biāo)函數(shù)約束條件受控對(duì)象的狀態(tài)方程動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題6.2 最優(yōu)控制的前提條件1.狀態(tài)方程2.控制作用域控制集容許控制3.初始條件初始集可變始端4.終端條件目標(biāo)集可變終端5.目標(biāo)泛函性能指標(biāo)綜合型、鮑爾扎型積分型、拉格朗日型終端型、梅耶型滿足 的控制，稱為最優(yōu)控制；在最優(yōu)控制 下，狀態(tài)方程的解，稱為最優(yōu)軌線使性能指標(biāo)能夠達(dá)到的最優(yōu)值，稱為最優(yōu)指標(biāo)線性二次型性能指標(biāo)6.3 靜態(tài)最優(yōu)化問題的解靜態(tài)最優(yōu)化問題動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)多元普通函數(shù)泛函數(shù)解法古典微分法古典變分法6.3.1 一元函數(shù)的極值設(shè)J=f(x)為定義在閉區(qū)間a,b上的實(shí)數(shù)連續(xù)可微函數(shù)，則存在極值u*點(diǎn)的必要條件是：

3、u*極小值點(diǎn)的充要條件是u*極大值點(diǎn)的充要條件是6.3.2 多元函數(shù)的極值設(shè)n元函數(shù) f = f(u), u=u1, u2, un ，存在極值點(diǎn)的必要條件是：或者函數(shù)的梯度為零矢量取極小值點(diǎn)的充要條件是海賽矩陣?yán)?-1 求函數(shù) f(x) 的極值點(diǎn)及極小值。解：根據(jù)極值必要條件 ，得：解得：海賽矩陣：正定，x*為極小值點(diǎn)6.3.3 具有等式約束條件的極值目標(biāo)函數(shù)等式約束條件解法（1）嵌入法（2）拉個(gè)朗日乘子法拉個(gè)朗日乘子法等式約束條件核心思想：構(gòu)造與原目標(biāo)函數(shù)具有相同最優(yōu)解的拉個(gè)朗日函數(shù)，作為新得目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)消去等式約束。拉格朗日函數(shù)構(gòu)造：將拉格朗日函數(shù)最為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：則目標(biāo)函數(shù)存在最優(yōu)解的

4、條件是：目標(biāo)函數(shù)則目標(biāo)函數(shù)存在最優(yōu)解的條件是：例6-2 求使取極值的x*和u*，并滿足約束條件其中，Q1，Q2均為正定矩陣，F(xiàn)為任意矩陣。解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：則目標(biāo)函數(shù)存在最優(yōu)解的條件是：解得極值點(diǎn)為：由于Q1，Q2均為正定矩陣，滿足極小值的充分條件。6.4 泛函及其極值變分法1.什么是泛函?泛函就是函數(shù)的函數(shù) 函數(shù)：對(duì)于x定義域中的每一個(gè)x值，y又有一個(gè)（或者一組）確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記做y(x)。 泛函：對(duì)應(yīng)于某一類函數(shù)中的每一個(gè)確定的函數(shù)y(x)，因變量J都有一個(gè)確定的值（注意、不是函數(shù)）與之對(duì)應(yīng)，則稱因變量J為宗量函數(shù)y(x)的泛函數(shù)，簡(jiǎn)稱泛函，記做J=Jy(x)求弧

5、長(zhǎng)的泛函一般的L也是x，y的函數(shù)， 2泛函的極值求泛函極值的問題稱為變分問題。求泛函極值的方法稱為變分法。 如果泛函 在任何一條與y0(x)接近的曲線上所取的值不小于Jy0(x)，即 ，則稱泛函 在曲線 上達(dá)到了極小值。反之，達(dá)到了極大值。泛函的變分的另一定義 為關(guān)于 的線性泛函 是關(guān)于 的髙階無窮小量， 例6-3 求下列泛函的變分解：方法一的線性主部為，則方法二4泛函極值定理6.泛函極值的必要條件歐拉方程 歐拉方程證明：設(shè)極值曲線為 ，泛函極值為 在極值曲線附近有一容許曲線 ，則 代表了 與 之間所有可能的曲線。 當(dāng) 時(shí)， 就是極值曲線 。 根據(jù)泛函極值條件對(duì)第二部分分部積分歐拉方程 展開后

6、得歐拉方程是一個(gè)二階方程，需要兩個(gè)邊界條件如果有兩個(gè)固定端點(diǎn)，邊界條件為： 如有自由端點(diǎn)，則自由端滿足 確定的邊界條件為 例6-5 設(shè)受控對(duì)象的微分方程為以 和 為邊界條件，求 使下列性能泛函極值取最小值。解：將微分方程帶入性能泛函歐拉方程為 解得 帶入邊界條件解上面方程得到C1和C2，即獲得 根據(jù) ，可得最優(yōu)控制 6.5用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題拉格朗日問題 系統(tǒng)狀態(tài)方程為性能泛函為尋求最優(yōu)控制u(t)，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，并使性能泛函J取極值 解狀態(tài)方程寫成約束方程形式 應(yīng)用拉格朗日乘子法，構(gòu)造增廣泛函： 伴隨方程 系統(tǒng)的狀態(tài)方程 控制方程 哈密爾頓

7、正則方程 6.7 線性二次型最優(yōu)控制問題 1.有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器 狀態(tài)調(diào)節(jié)器的任務(wù)在于，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時(shí)，能在不消耗過多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍接近平衡狀態(tài)。在研究這類問題時(shí)，通常把初始狀態(tài)矢量看作擾動(dòng)，而把零狀態(tài)取做平衡狀態(tài)。于是調(diào)節(jié)器問題就變?yōu)閷で笞顑?yōu)控制規(guī)律u，在有限的時(shí)間區(qū)間t0,tf內(nèi)，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)附近，并使給定的性能泛函取極值。 設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 為nn維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣， 為rr維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣， 為nn維半正定的終端加權(quán)矩陣。設(shè)u取值不受限制，尋求最優(yōu)控制，使J取極值。 解：（1）構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)（2）控制

8、方程（3）正則方程（4）邊界條件(5)根據(jù)控制方程，控制最優(yōu)控制u*(t)是線性函數(shù)，為了使用狀態(tài)反饋，我們希望u*(t)是x的函數(shù)，為此，假設(shè) 則K(t)就是最優(yōu)反饋控制矩陣。 （6）將 帶入正則方程，消去 ，得（7）將 求導(dǎo)得黎卡提矩陣微分方程（對(duì)稱矩陣）邊界條件2無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 為nn維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣，為rr維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣。設(shè)u取值不受限制，尋求最優(yōu)控制u*，使J取極值。解：最優(yōu)控制為其中P為nn維正定常數(shù)矩陣，且滿足下面得黎卡提矩陣代數(shù)方程最優(yōu)軌線是下列線性定常齊次方程得解例6-22 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程性能泛函為 求使 的最優(yōu)控制 解：已知 為使 正定，假設(shè) 經(jīng)檢驗(yàn)受控系統(tǒng)完全能能控。 和 正定，因此存在最優(yōu)控制 P是如下黎卡提代數(shù)方程的解整理得三個(gè)代數(shù)方程在保證 和P為正定條件下，可得則系統(tǒng)最優(yōu)控制為閉環(huán)系統(tǒng)框