第八章_多元函數(shù)微分學(xué)課件-

1、高數(shù)課件 教師 丁超 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用開(kāi) 始退出第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念返 回第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度第三節(jié) 全微分總習(xí)題返 回一.區(qū)域四.多元函數(shù)的連續(xù)性三.多元函數(shù)的極限二.多元函數(shù)概念第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念習(xí)題第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 一、區(qū)域 1.鄰域 設(shè) 是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù).與點(diǎn) 距離小于的點(diǎn) 的全體稱(chēng)為 的鄰域，記為 ，即也就是返 回下一頁(yè)2.區(qū)域 設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn).如果存在點(diǎn)P的某一鄰域 使 ，

2、 則稱(chēng)P為E的內(nèi)點(diǎn)(圖8-1). 如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則 稱(chēng)E為開(kāi)集. 如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬 P 于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)， E 則稱(chēng)P為E的邊界點(diǎn)（圖8-2）. 設(shè)D是開(kāi)集.如果對(duì)于D內(nèi)的 圖 8-1 任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 來(lái),而且該折線上的點(diǎn)都屬于D, P 則稱(chēng)開(kāi)集D是連通的. 連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域. E 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起,稱(chēng) 為閉區(qū)域. 圖 8-23.n維空間 設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù),我們稱(chēng)有序n元數(shù)組 的全體為n維空間,而每個(gè)有序n元數(shù)組 稱(chēng)為n維空間中的一個(gè)點(diǎn),數(shù) 稱(chēng)返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo),n維空間記為 . n維空間中兩點(diǎn)

3、 及 間的距離規(guī)定為返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、多元函數(shù)概念 定義1 設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集.如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P=(x,y)D,變量z按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng),則稱(chēng)z是變量x、y的二元函數(shù)(或點(diǎn)P的函數(shù)),記為點(diǎn)集D稱(chēng)為該函數(shù)的定義域,x、y稱(chēng)為自變量,z例題返 回下一頁(yè)上一頁(yè)也稱(chēng)為因變量,數(shù)集 稱(chēng)為該函數(shù)的值域. 把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間內(nèi)的點(diǎn)集D.則可類(lèi)似的定義n元函數(shù) .當(dāng)n=1時(shí)，n元函數(shù)就是一元函數(shù).當(dāng)n2時(shí)n元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù).返 回下一頁(yè)上一頁(yè)三、多元函數(shù)的極限 二元函數(shù) 當(dāng) , ,即 時(shí)的極限.這里 表示點(diǎn) 以任何方式趨于 ，也就是點(diǎn) 與點(diǎn) 間的距離趨于零，即 定義

4、2 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義， 是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式返 回下一頁(yè)上一頁(yè)的一切點(diǎn)P(x,y)D，都有成立，則稱(chēng)常A為函數(shù)f(x,y)當(dāng) ， 時(shí)的極限，記作或 這里 . 例題返 回下一頁(yè)上一頁(yè)四、多元函數(shù)的連續(xù)性 定義3 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義， 是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且 .如果則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) 連續(xù). 若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) 不連續(xù)，則稱(chēng) 為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn). 函數(shù)返 回下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)x0,y0時(shí)的極限不存在，所以點(diǎn)(0,0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn). 函數(shù)在圓周 上沒(méi)有定義，所以該圓周上

5、各點(diǎn)都是間斷點(diǎn)，是一條曲線. 性質(zhì)1(最大值和最小值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值. 在D上至少有一點(diǎn) 及一點(diǎn) ，使得 為最大值而 為最小值，即對(duì)于一切PD，有返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 性質(zhì)2(介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。 如果是函數(shù)在D上的最小值m和最大值M之間的一個(gè)數(shù)，則在D上至少有一點(diǎn)Q，使得f(Q)=. *性質(zhì)3(一致連續(xù)性定理) 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù). 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于D上的返

6、回下一頁(yè)上一頁(yè)任意二點(diǎn) ，只要當(dāng) 時(shí)，都有成立. 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn) 處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)函數(shù)值，即例題返 回上一頁(yè)一.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法二.高階偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)習(xí)題返 回一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在 而x固定在 處有增量x 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果 （1）存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù) ，記作返 回下一頁(yè)例如，極限(1)可以表示為 (2)類(lèi)似地,函數(shù) 在點(diǎn) 對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) (3)記作 如果函

7、數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱(chēng)為函數(shù) 對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 類(lèi)似的，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 求 時(shí)只要把y暫時(shí)看作常量對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)只要把暫x時(shí)看作常量對(duì)y求導(dǎo)數(shù).例題返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 圖 8-6返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi) 都是x,y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱(chēng)它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的 不同下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)

8、有下述幾何意義. 設(shè) 為曲面z=f(x,y)上的一點(diǎn),過(guò) 作平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ,則導(dǎo)數(shù) ，即偏導(dǎo)數(shù) ,就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 對(duì)x軸的斜率(見(jiàn)圖8-6).同樣偏導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲面被平面 所截得的曲線在點(diǎn) 處的切線 對(duì)y軸的斜率.返 回下一頁(yè)上一頁(yè)其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù). 定理 如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.例題例題返 回上一頁(yè)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用習(xí)題下一頁(yè)返 回第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用 二元

9、函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量相對(duì)于該自變量的變化率.上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏微分. 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè) 為這鄰域內(nèi)的任意一下一頁(yè)上一頁(yè)返 回點(diǎn)，則稱(chēng)這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量x、y的全增量，記作z，即 定義 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量 (1)可表示為下一頁(yè)上一頁(yè)返 回其中A、B不依賴于x、y而僅與x,y有關(guān)， ，則稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，而 稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)全微分，記作dz,即 (2

10、) 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那么稱(chēng)這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 下面討論函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分的條件. 定理1(必要條件) 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)下一頁(yè)上一頁(yè)返 回(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為 (3) 證 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微分.于是對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) ，(2)式總成立.特別當(dāng) 時(shí)(2)式也應(yīng)成立，這時(shí) ，所以(2)式成為下一頁(yè)上一頁(yè)返 回上式兩邊各除以 ，再令 而極限，就得從而，偏導(dǎo)數(shù) 存在，而且等于A.同樣可證 =B.所以三式成立.證畢.下一頁(yè)上一頁(yè)返 回

11、 定理2(充分條件) 如果z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) 在(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. 證 因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)也如此)，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思.設(shè)點(diǎn) 為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，考察函數(shù)的全增量下一頁(yè)上一頁(yè)返 回在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，由于y+y不變，因而可以看作是x的一元函數(shù) 的增量.于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到 又依假設(shè)， 在點(diǎn) 連續(xù)，所以上式可寫(xiě)為下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 (4)其中 為x、y的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， . 同理可證第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫(xiě)為 (5)其中 為y的函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， . 由(4)、

12、(5)兩式可見(jiàn)，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 容易看出它就是隨著 即 而趨于零的. 這就證明了z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的.例題上一頁(yè)返 回第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則返 回下一頁(yè)習(xí)題第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理 如果函數(shù) 及 都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù) 在t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： (1) 證 設(shè)t獲得增量t，這時(shí) 、 的對(duì)應(yīng)增量為u 、v,由此，函數(shù)z=f(u,v)下一頁(yè)上一頁(yè)返 回相應(yīng)的獲得增量z.根據(jù)規(guī)定，函數(shù)z=f(u,v)在點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(

13、6)有這里，當(dāng) 時(shí)， . 將上式兩邊各除以t，得因?yàn)楫?dāng) ，時(shí) ， ，下一頁(yè)上一頁(yè)返 回 ，所以 這就證明符合函數(shù) 在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計(jì)算.證畢. 全微分形式不變 設(shè)函數(shù)z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分下一頁(yè)上一頁(yè)返 回如果u、v又是x、y的函數(shù) 、 且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為下一頁(yè)上一頁(yè)返 回其中 及 發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的 及 帶如上式，得下一頁(yè)上一頁(yè)返 回由此可見(jiàn)，無(wú)論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性.上一頁(yè)返 回一.一個(gè)方程的情形二.方程

14、組的情形第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式返 回習(xí)題一、一個(gè)方程的情況 隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則方程 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單質(zhì)來(lái)年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ,它滿足條件 ，并有 （1）返 回下一頁(yè) 公式推導(dǎo)： 將方程 所確定的函數(shù) 代入，得恒等式其左端可以看作是x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的返 回下一頁(yè)上一頁(yè)一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得 如果 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 隱函數(shù)存在定理可以判定由方程所

15、確定的二元函數(shù) 的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，返 回下一頁(yè)上一頁(yè)且 ，則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它滿足條件 ，并有 (2)將公式(2)做如下的推導(dǎo)，由于 將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)法則得因?yàn)?連續(xù)，且 ，所以存在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、方程組的情況 考慮方程組 (5)在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù).這種情形下我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來(lái)斷定方程組(5)所確定的兩個(gè)

16、二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì).返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 隱函數(shù)存在定理3 設(shè) 以及 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 、 ，且 偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 (或稱(chēng)雅可比(Jacobi)行列式)：返 回下一頁(yè)上一頁(yè)在點(diǎn) 不等于零，則方程組 、 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ， ，它們滿足條件 ， ，并有返 回下一頁(yè)上一頁(yè) (6)返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 下面僅就公式(6)做如下推導(dǎo). 由于返 回下一頁(yè)上一頁(yè)將恒等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得這是關(guān)于 的線性方程組，由假設(shè)可知在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，系數(shù)行列式返 回下一頁(yè)上一頁(yè)從而可解出 ，得 同理，

17、可得 返 回上一頁(yè)一.空間曲線的切線與法平面二.曲面的切平面與法線第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用返 回習(xí)題一、空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程 (1)這里假定(1)式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo). 在曲線上取對(duì)應(yīng)與 的一點(diǎn)及對(duì)應(yīng)于 的鄰近一點(diǎn) .根據(jù)解析幾何，曲線的割線 的方程是 返 回下一頁(yè)當(dāng) 沿著趨于 ，時(shí)割線 的極限位置 就是曲線在點(diǎn) 處的切線(圖8-7).用t除上式的各分母，得 令 (這t0)， 通過(guò)對(duì)上式取極限，即得 圖 8-7 曲線在點(diǎn) 處的切線方程返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 這里當(dāng)要假定 都不能為零. 切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量.向量就是曲線通過(guò)在點(diǎn) 處的一個(gè)切向量. 點(diǎn)通過(guò) 而與切線

18、垂直的平面稱(chēng)為曲線在返 回下一頁(yè)上一頁(yè)點(diǎn) 處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn) 而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形. 設(shè)曲面由方程(9)給出， 是曲面上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零.在曲線上，通過(guò)點(diǎn)M引一條曲線(圖8-8)，假定曲線的參數(shù)方程為返 回下一頁(yè)上一頁(yè)程為 (10) 對(duì)應(yīng)于點(diǎn) 且 ， ， 不全為 零，則由(2)式可得這 曲線的切線方程為 圖 8-8 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 引入向量 則表示(10)在點(diǎn)M處的切向量 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)與向量n垂

19、直.因?yàn)榍€(10)是曲面上通過(guò)點(diǎn)M的任意一條曲線，它們?cè)邳c(diǎn)M的切線都與同一個(gè)向量n垂直，所以曲面上通過(guò)點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上.這個(gè)平面稱(chēng)為曲面在點(diǎn)M的切平面.這切平面的方程是 (12) 通過(guò)點(diǎn) 而垂直于切平面(12)的直線稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的法線.法線方程是返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 垂直于曲面上切平面的向量稱(chēng)為曲面的法向量.向量就是曲面在點(diǎn)M處的一個(gè)法向量.返 回上一頁(yè)一.方向?qū)?shù)二.梯度第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度返 回習(xí)題第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 一、方向?qū)?shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在P(x,y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義.自點(diǎn)P引射線.設(shè)x軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 ，并設(shè) 為 上的另一

20、點(diǎn)(圖8-9)且 .我們考慮函數(shù)的增量 與 兩點(diǎn)間的距離 的比值 .當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱(chēng)這極返 回下一頁(yè) 限為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P沿 方向 的方向?qū)?shù)，記 作 ，即 圖 8-9返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 定理 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存在且有其中 為x軸到方向 的轉(zhuǎn)角. 證 根據(jù)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的假定，函數(shù)的增量可以表達(dá)為返 回下一頁(yè)上一頁(yè)兩邊各除以 ，得到所以 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 對(duì)于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來(lái)說(shuō)，它在空間一點(diǎn)P(x,

21、y,z)沿著 (設(shè)方向 的方向?yàn)?的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為其中 ， 同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、梯度 在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P(x,y)D，都可以定出一個(gè)向量這向量稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度，記作 ，即返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 由梯度的定義可知，梯度的模為 一般來(lái)說(shuō)二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一個(gè)曲面，這曲面被平面z=

22、c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 這條曲線 在xOy面 的投影是一條平面曲 線 (圖8-10)，它 在xOy平面直角坐標(biāo) 系中的方程為 圖 8-10返 回下一頁(yè)上一頁(yè)對(duì)于曲線 上的一切點(diǎn)，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱(chēng)平面曲線 為函數(shù)z=f(x,y)的等高線. 由于等高線f(x,y)=c上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線斜率為所以梯度返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為等高線上點(diǎn)P處的法向量.因此我們可得梯度與等高線的下述關(guān)系：函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度方向與過(guò)點(diǎn)P的等高線f(x,y)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函

23、數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向. 對(duì)于三元函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)每一點(diǎn) ，都可定出一個(gè)向量返 回下一頁(yè)上一頁(yè)這向量稱(chēng)為函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度，將它記作 ，即 如果我們引進(jìn)曲面返 回下一頁(yè)上一頁(yè)為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P的等量面f(x,y,z)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).返 回上一頁(yè)一.多元函數(shù)的極值及最大值

24、、最小值二.條件極值第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法返 回習(xí)題第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 的點(diǎn) ：如果都適合不等式則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 有極大值 ；如果都適合不等式返 回下一頁(yè)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 有極小值 .極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn). 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n 元函數(shù).設(shè)n元函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)有異于 的任何點(diǎn) 都不適合不等式 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)則稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) 有極大值(極小值) . 定理1(必要條件) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) 處有

25、極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 證 不妨設(shè) 在點(diǎn) 處有極大值.依極大值的定義，在 的某鄰返 回下一頁(yè)上一頁(yè)域內(nèi)異于 的點(diǎn) 都適合不等式特殊地，該鄰域內(nèi)取 而 的點(diǎn)，也應(yīng)合適不等式這表明一元函數(shù) 在 處取得極大值，因而必有 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)類(lèi)似地可證 如果三元函數(shù) 在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn) 具有極值的必要條件為 定理2(充分條件) 設(shè)函數(shù) 在返 回下一頁(yè)上一頁(yè)點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有 一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ， ，令則 在 處是否取得極值的條件如下： (1) 時(shí)具有極值，且當(dāng) 時(shí)有極大值，當(dāng) 時(shí)有極小值； (2) 時(shí)沒(méi)有極值； (3) 時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)返 回下一頁(yè)上一頁(yè)有極值，還

26、需另作討論. 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn). 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 和 . 第三步 定出 的符號(hào)，按定理2的返 回下一頁(yè)上一頁(yè)結(jié)論判定 是否是極值、是極大值還是極小值.返 回下一頁(yè)上一頁(yè)二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 上面所討論的極值問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無(wú)其他條件，所以有時(shí)候稱(chēng)為無(wú)條件極值.但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問(wèn)題. 例如，求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題.設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為 還必須滿足附加條件 .象這種對(duì)自變量有附加條件的

27、極值稱(chēng)為條件極值.返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，可以把條件極值化為無(wú)條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問(wèn)題，可由條件 ，將z表示成x,y的函數(shù)再把它代入 中，于是問(wèn)題就化為求返 回下一頁(yè)上一頁(yè)的無(wú)條件極值. 但在很多情形下，將條件極值化為無(wú)條件極值并不這樣簡(jiǎn)單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問(wèn)題化到無(wú)條件極值的問(wèn)題. 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中 為某一常數(shù).求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，返 回下一頁(yè)上一頁(yè)并使之為零，然后與方程 聯(lián)立起來(lái)：由這方程組解出 及 ，則其中 就是函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)的坐

28、標(biāo). 返 回下一頁(yè)上一頁(yè)第八章結(jié)束上一頁(yè)返 回總習(xí)題 八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個(gè)正 確的填入下列空格內(nèi)： （1） 在點(diǎn) 可微分是 在該點(diǎn)連續(xù)的 充分 條件. 在點(diǎn)連續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 必要 條件. （2） 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在是 在該點(diǎn)可微分的 必要 下一頁(yè)返 回條件. 在點(diǎn) 可微分是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在的 充分 條件. （3） 的偏導(dǎo)數(shù) 及 在點(diǎn) 存在且連續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 充分 條件. （4）函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階下一頁(yè)返 回上一頁(yè)混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的 充分 條件.2.求函數(shù) 的定義 域，并求 .3.證明極限 不

29、存在.下一頁(yè)返 回上一頁(yè)題解題解4.設(shè)求 及 .5.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：下一頁(yè)返 回上一頁(yè)題解題解題解6.求函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的全增量和全微分.7.設(shè) 證明： 在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分. 下一頁(yè)返 回上一頁(yè)題解題解8.設(shè) ，而 都是可微函數(shù)，求 .9.設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而求 .10.設(shè) ，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求 . 下一頁(yè)返 回上一頁(yè)題解題解題解11.設(shè) 試求 和 .12.求螺旋線在點(diǎn) 處的切線及法平面方程.13.在曲面 上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面 ，并寫(xiě)出這法線的方程.下一頁(yè)返 回上一頁(yè)題解題解題解14.設(shè)x軸正向到方向 的轉(zhuǎn)角為 ，求函數(shù)在點(diǎn)(1,

30、1)沿方向 的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角 ，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數(shù) 在橢球面上點(diǎn) 處沿外法線方向的方向?qū)?shù).下一頁(yè)返 回上一頁(yè)題解題解16.求平面 和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點(diǎn).17.在第一卦限內(nèi)做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點(diǎn)，并求此最小體積.返 回上一頁(yè)題解題解解：求定義域 需滿足即 需滿足下一頁(yè)返 回而 是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).返 回上一頁(yè)解： 設(shè)當(dāng) 時(shí)， 沿 的方向趨近于零顯然，該極限隨k的 不同而改變.返 回解：當(dāng) ,顯然 .當(dāng) ,下一頁(yè)返 回下一頁(yè)返 回上一頁(yè)同理當(dāng) ,顯然 .當(dāng) ,返 回上一

31、頁(yè)解：返 回解：返 回解：全增量返 回下一頁(yè)返 回上一頁(yè)證明: 顯然 時(shí), 有返 回下一頁(yè)返 回下一頁(yè)上一頁(yè)返 回下一頁(yè)上一頁(yè)返 回若令 沿 方向趨近于0上一頁(yè)解: 返 回解: 返 回解: 返 回解: 返 回下一頁(yè) 返 回上一頁(yè)解: 返 回解: 返 回解: 返 回解: 返 回下一頁(yè) 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 返 回上一頁(yè)解: 返 回下一頁(yè) 返 回上一頁(yè)解: 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 返 回下一頁(yè)上一頁(yè) 返 回上一頁(yè)習(xí) 題 8-11.已知函數(shù) 試 求 .2.試證函數(shù) 滿足關(guān)系式.3.以知函數(shù) ，試求 .下一頁(yè)返 回4.求下列各函數(shù)的定義域：下一頁(yè)返 回上一頁(yè)5.求下列各極限：下一頁(yè)返 回

32、上一頁(yè)6.證明下列極限不存在：下一頁(yè)返 回上一頁(yè)7.函數(shù) 在何處是間斷的？8.證明 .上一頁(yè)返 回例1 圓柱體的體積 和它的底半徑 、高 之間具有關(guān)系這里，當(dāng) 、 在集合 內(nèi)取定一對(duì)值 時(shí)， 的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng) 、體積 和絕對(duì)溫度 之間具有關(guān)系下一頁(yè)返 回其中 為常數(shù).這里，當(dāng) 、 在集合 內(nèi)取定一對(duì)值 時(shí)，的值就隨之確定.例3 設(shè) 是電阻 并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系這里，當(dāng) 在集合 內(nèi)取定一對(duì)值 時(shí)， 的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.上一頁(yè)返 回例4 設(shè)求證證 因?yàn)榭梢?jiàn)，對(duì)任給 ，取 則當(dāng)下一頁(yè)返 回時(shí)，總有成立，所以下一頁(yè)上一頁(yè)返 回例5 求解 這里 在

33、區(qū)域 和區(qū)域 內(nèi)都有定義， 同時(shí)為 及 的邊界點(diǎn).但無(wú)論在 內(nèi)還是在 內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的：上一頁(yè)返 回例6 求 解 函數(shù) 是初等函數(shù)，它的定義域?yàn)?因 不是連通的，故 不是區(qū)域.但是區(qū)域，且 ，所以 是函數(shù) 的一個(gè)定義域.因 ，故下一頁(yè)返 回例7 求解 下一頁(yè)上一頁(yè)返 回上一頁(yè)返 回習(xí) 題 8-21.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)下一頁(yè)返 回2.設(shè) ，求證 .3.設(shè) ，求證 .4.折 ， 求 .下一頁(yè)返 回上一頁(yè)5.設(shè) ，在(2,4,5)處的切線對(duì)于x 軸的傾角是多少？6.求下列函數(shù)的 ， 和 下一頁(yè)返 回上一頁(yè)7.設(shè) ，求 ， ， 及 . 8.設(shè) ，求 及 .9.驗(yàn)證： 滿足 ； 滿足 下一頁(yè)返

34、 回上一頁(yè)例1 求 在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解 把 看作常量 把 看作常量將(1,2)代入上面的結(jié)果，就是下一頁(yè)返 回例2 求 的偏導(dǎo)數(shù)解 下一頁(yè)上一頁(yè)返 回例2 求 的偏導(dǎo)數(shù)解 下一頁(yè)上一頁(yè)返 回例3 設(shè) ，求證：證 因?yàn)?， ，所以下一頁(yè)上一頁(yè)返 回例4 求 的偏導(dǎo)數(shù).解 把y和z都看作常量，得由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱(chēng)性，所以上一頁(yè)返 回例6 設(shè) ，求 、 、 、 及 .解 下一頁(yè)返 回返 回上一頁(yè)例7 驗(yàn)證 滿足方程證 因?yàn)?，所以 ，下一頁(yè)返 回因此例8 證明函數(shù) 滿足方程 下一頁(yè)返 回上一頁(yè)其中 .證 由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱(chēng)性，所以 下一頁(yè)返 回上一頁(yè)因此返 回上一頁(yè)習(xí) 題 8-31.求下列函數(shù)的全微分：2.求函數(shù) 當(dāng) 時(shí) 的全微分.下一頁(yè)返 回3.求函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的全增量和全微分. 4.求函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的全微分. 返 回上一頁(yè)例1 計(jì)算函數(shù) 的