第六講向量代數(shù)與空間解析幾何(修改篇)課件

1、1.理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。一、向量代數(shù)第四部分、向量代數(shù)與空間解析幾何 表示法:向量的模 :向量的大小,向量:(又稱矢量). 既有大小, 又有方向的量稱為向量有向線段 M1 M2 ,或 a ,表示法:向量的模 :向量的大小,向量:(又稱矢量). 既有大小, 又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.單位向量:模為 1 的向量,零向量:模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,簡稱向量.規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方

2、向相同或相反,則稱 a 與 b 平行, ab ;記作(經(jīng)過平移后能完全重合)規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反,則稱 a 與 b 平行, ab ;記作(經(jīng)過平移后能完全重合)與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負向量,記作a ;向量的線性運算1. 向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 :交換律1. 向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 :交換律結(jié)合律2. 向量的減法1. 向量的加法(指向被減向量)2. 向量的減法三角不等式1. 向量的加法(指向被減向量

3、)3. 向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù) ,規(guī)定 : 與 a 的乘積是一個新向量, 記作總之: 是一個數(shù) ,規(guī)定 : 與 a 的乘積是一個新向量, 記作總之:因此 是一個數(shù) ,規(guī)定 : 與 a 的乘積是一個新向量, 記作運算律 :結(jié)合律分配律因此例1. 試用向量證明三角形兩邊中點的連線平行于第三邊, 且其長度等于第三邊長度的一半.ABCDE由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o , 坐標面 卦限(八個)zox面空間直角坐標系的基本概念由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.過空間一定點 o ,zox面

4、空間直角坐標系的基本概念定點橫軸縱軸豎軸向量在直角坐標系下坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點 M特殊點的坐標 :有序數(shù)組(稱為點 M 的坐標)原點 O(0,0,0) ;坐標軸 : 坐標面 :向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設(shè)點 M 則的坐標為給定向量 r = OM.向量的兩種坐標表示在空間直角坐標系下,設(shè)點 M 則的坐標為給定向量 r = OM.向量的兩種坐標表示例2已知兩點試用坐標表示式表示向量 及M1 M2 -2M1 M2 向量的坐標表示設(shè)點 M 的坐標為給定向量 r = OM.則利用坐標作向量的線性運算設(shè)則例3.向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與

5、兩點間的距離公式則有由勾股定理得例4 求平行于向量的單位向量.1. 向量的模與兩點間的距離公式則有得兩點間的距離公式:設(shè)兩點與得兩點間的距離公式:與設(shè)兩點例5. 求與兩點等距及離的點的軌跡 . 例6. 已知兩點和解:求方向角與方向余弦與三坐標軸的夾角 , , 為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦. 方向余弦的性質(zhì):例7. 已知兩點和的模 、方向余弦和方向角 . 計算向量例7. 已知兩點和的模 、方向余弦和方向角 . 解:計算向量空間一點在軸上的投影 定義 設(shè)已知空間一點A以及一軸 l，通過點A作軸 l 的垂直平面，那么平面與軸 l 的交點A叫做點A在軸 l上的投影. 空間一向量在軸上的投影

6、定義 已知向量AB的起點A和終點B在軸 l 上的投影分別為A和B, 那么軸 l上的有向線段AB的值A(chǔ)B叫做向量AB在軸 l 上的投影.=AB,即性質(zhì) (投影定理) 向量的投影具有下列性質(zhì)：向量在軸 l 上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦:2、掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積與向量積的計算方法。則設(shè)兩點與因此數(shù)量積(點積) . 記作設(shè)向量的夾角為 ,稱為兩個非零向量,則有兩向量的數(shù)量積(點積, 內(nèi)積)性質(zhì):數(shù)量積的坐標表示:設(shè)則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式: , 得設(shè)則當為非零向量時,由于, 得例8. 已知三點 AMB . 求例8. 已知三點 AMB . 解:則求故設(shè)則當為非零

7、向量時,由于, 得例9. 設(shè) 問 與 有怎樣的關(guān)系, 能使得 與 z 軸垂直? 設(shè)則當為非零向量時,由于, 得例10. 設(shè)問 z 為何值時 最小? 并求出此最小值.數(shù)量積(點積) . 記作設(shè)向量的夾角為 ,稱為兩個非零向量,則有性質(zhì):(叉積)向量積:且符合右手規(guī)則模 :兩向量的向量積(叉積, 外積)方向 :,(叉積)向量積:且符合右手規(guī)則模 :兩向量的向量積(叉積, 外積)方向 :,性質(zhì): 為非零向量, 則(叉積)向量積:且符合右手規(guī)則模 :兩向量的向量積(叉積, 外積)方向 :,運算律:(2) 分配律(3) 結(jié)合律向量積的坐標表示式:設(shè)則例11. 設(shè) 且滿足 , 則運算律:(2) 分配律(3

8、) 結(jié)合律且符合右手規(guī)則模 :方向 :例12. 設(shè)求以 和 為邊的平行四邊形的面積.運算律:(2) 分配律(3) 結(jié)合律且符合右手規(guī)則模 :方向 :3. 掌握二向量平行、垂直的條件。1. 平面的點法式方程過點且垂直于非零向量的平面的點法式方程：二、平面與直線1.會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。例1 求過點M0(2, 9, -6) 且與連接坐標原點及點 M0 的線段 OM0 垂直的平面方程(點法式).過點1. 平面的點法式方程且垂直于非零向量的平面的點法式方程:2. 平面的一般方程的平面. 法向量為 過點1. 平面的點法式方程且垂直于非零向量的平面的點法式方程:3.

9、平面的截距式方程例2. 求過點 M0(2, 9, -6) 且與連接坐標原點及點 M0 的線段 OM0 垂直的平面方程(表示成一般式和截距式).2. 平面的一般方程的平面. 法向量為 平面的基本方程:一般式:點法式:截距式:例3. 指出下列各平面的特殊位置, 并畫出各平面.練: 指出下列各平面的特殊位置, 并畫出各平面. 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點的平面; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面的一般方程:平面平行于 x 軸;練: 指出下列各平面的特殊位置, 并畫出各平面. 當 C= 0 時, A x + B y

10、+ D = 0 的法向量平面平行于 z 軸; 當 B= 0 時, A x + C z + D = 0 的法向量平面平行于 y 軸; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸;練: 指出下列各平面的特殊位置, 并畫出各平面. 當 A=C= 0 時, B y + D = 0 表示 當 B=C= 0 時, A x + D = 0 表示 當 A=B= 0 時, C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面;平行于 xoz 面 的平面. 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點的平面;

11、當 C= 0 時, A x + B y + D = 0 的法向量平面平行于 z 軸; 當 B= 0 時, A x + C z + D = 0 的法向量平面平行于 y 軸; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; 當 A=C= 0 時, B y + D = 0 表示 當 B=C= 0 時, A x + D = 0 表示 當 A=B= 0 時, C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面;平行于 xoz 面 的平面.4. 兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為兩平面法向量的夾角 (常為銳角) 稱為兩平

12、面的夾角.4. 兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為兩平面法向量的夾角 (常為銳角) 稱為兩平面的夾角.4. 兩平面的夾角兩平面法向量的夾角 (常為銳角) 稱為兩平面的夾角.例7. 求平面 與各坐標面的夾角的余弦.當 z=0 時,當 y=0 時,當 x=0 時,例7. 求平面 與各坐標面的夾角的余弦.4. 兩平面的夾角兩平面法向量的夾角 (常為銳角) 稱為兩平面的夾角.4. 兩平面的夾角4. 兩平面的夾角4. 兩平面的夾角4. 兩平面的夾角例8. 一平面過點(1, 0, -1) 且平行于向量 和 , 試求這平面方程.點到平面的距離公式外一點, 則是平面到平面的距離為:例11. 求點

13、(2, 1, 1) 到平面 的距離. 2. 會求點到平面的距離。因此其一般式方程1. 一般方程 直線可視為兩平面交線，3.了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、 參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。例. 方程組表示一條直線.2. 標準式(對稱式, 點向式)方程故有設(shè)直線上的動點為 則此式稱為直線的標準式(對稱式, 點向式方程)已知直線上一點和它的方向向量 問: 若直線的方向向量是經(jīng)過點(2, 3, 4), 求直線的方程?問: 若直線的方向向量是經(jīng)過點(2, 3, 4), 求直線的方程?直線方程為:2. 標準式(對稱式, 點向式)方程故有設(shè)直線上的動點為 則此式稱為直線的標準式(對稱式,

14、點向式方程)已知直線上一點和它的方向向量 注意: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.直線方程為例如, 當2. 標準式(對稱式, 點向式)方程故有設(shè)直線上的動點為 則此式稱為直線的標準式(對稱式, 點向式方程)已知直線上一點和它的方向向量 例12. 求過點 且平行于直線的直線方程.2. 標準式(對稱式, 點向式)方程故有設(shè)直線上的動點為 則此式稱為直線的標準式(對稱式, 點向式方程)已知直線上一點和它的方向向量 3. 參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :例14. 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線例15. 求過點(1,2 , 4) 且與平面解: 取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為垂直的直線方程. 為所

15、求直線的方向向量. 2. 標準式(對稱式, 點向式)方程直線方程:經(jīng)過點, 方向向量 兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為則兩直線夾角 滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為例17. 求以下兩直線的夾角兩直線的夾角 例17. 求以下兩直線的夾角解: 直線直線二直線夾角 的余弦為從而的方向向量為的方向向量為當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為直線和它在平面上的投影直4.會判定直線與平面間的關(guān)

16、系（垂直、平行、直線在平面上）.當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為直線和它在平面上的投影直則直線與平面夾角 滿足當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;當直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足直線和它在平面上的投影直線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;當直線與平面不垂直時,直線和它在平面上的投影直例18. 求直線與平面的夾角.例19: 試確定下列各組中直線與平面間的關(guān)系.4.會判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、

17、直線在平面上）.例20. 求過點(1, 2, 1) 而與兩直線和平行的平面方程.三、簡單的二次曲面1.了解球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。球面方程:以原點 O(0,0,0) 為球心, R 為半徑的球面方程為例: 方程 表示怎樣的曲面?在xOy面上表示圓心在原點O, 半徑為R的圓.在空間直角坐標系中, 此方程不含z, 僅含x, y, 母線平行于z軸的圓柱面, 解:它的準線是xOy平面上的圓:表示故 平行于定直線, 并沿曲線C 移動的直線L 形成的軌跡稱為柱面, 定曲線C 稱為柱面的準線, 動直線L 稱為柱面的母線.2. 柱面例: 方程 x+y-1=0 在空

18、間直角坐標系中表示怎樣的曲面?方程x+y-1=0在空間直角坐標系中表示一個柱面:解:是以xOy平面上的直線 x+y-1=0 為準線, 而母線平行于z軸的柱面.例: 方程 x2=4z 表示怎樣的柱面?方程中僅含x, z, 故此柱面的母線平行于 y軸, 它們的準線為xOz平面上的拋物線 x2=4z, 這類柱面為拋物柱面.解: F(x, y)=0 在空間直角坐標系中表示柱面, 其母線平行于z軸, 準線為xOy面上的曲線C: F(x, y)=0;僅含y, z的方程: F(y, z)= 0 在空間表示母線平行于x軸的柱面. 同理, 僅含x, z的方程: F(x, z)= 0 在空間表示母線平行于y軸的柱

19、面;常見的母線平行于 z 軸的柱面及其方程有:方程 稱為母線平行于z 軸的圓柱面.方程 稱為母線平行于z軸的橢圓柱面.方程 稱為母線平行于z軸的雙曲柱面.方程 x2=2py 稱為母線平行于 z軸的拋物柱面. 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸定義3. 旋轉(zhuǎn)曲面如圖,將 代入旋轉(zhuǎn)過程中的特征:設(shè)(1)(2)點 M 到 z 軸的距離得方程:是: yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.將 代入得方程:是: yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.將 代入例:

20、求 yOz 平面上的拋物線 z=y2 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.例: 求 yOz 平面上的拋物線 z=y2 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.所求曲面方程為:這個曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面.旋轉(zhuǎn)拋物面得方程:是: yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.同理, yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:將 代入yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:xOy 坐標面上的已知曲線 f(x,

21、y)=0 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:例1. 求 xOy 平面上的曲線 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程.xOy 坐標面上的已知曲線 f(x, y)=0 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:xOy 坐標面上的已知曲線 f(x, y)=0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:曲面方程:這個曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面.旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)曲面的方程為:解此曲面稱為圓錐面,即例2. 求 yOz 平面上的直線 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.其中 ,為圓錐頂角.yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:yOz 坐標面上的已知曲線 f(y, z)=0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程:xOy 坐標面上的已知曲線 f(x, y)=