線性代數(shù)(慕課版)第三章----向量與向量空間課件

1、線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第一講 n 維向量及其線性運算n維向量的線性運算01n維向量的定義02本講內容一、n維向量的定義1. n 維向量的定義定義3.1行向量列向量3n維向量的線性運算02n維向量的定義01本講內容二、 n維向量的線性運算2. n 維向量的運算即兩個向量相等，就是各個對應的分量都相等。（1）零向量分量都為零的向量稱為零向量, 記作O。 （2）負向量 定義3.2（3）向量的相等5二、n維向量的線性運算（4）向量的加法都是 n 維向量，規(guī)定（5）向量的減法即：兩個向量相加減就是將它們的對應分量相加減6二、n維向量的線性運算（6）數(shù)乘即：數(shù)乘向量就是用數(shù)乘以向量的每一

2、個分量。注向量相加及數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為向量的線性運算7二、n維向量的線性運算定理3.1 向量的線性運算滿足如下運算規(guī)律。8二、n維向量的線性運算例1解9二、n維向量的線性運算例2解10二、n維向量的線性運算注11二、n維向量的線性運算例3解12線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第二講 向量組的線性關系(1)向量組的等價01向量組的線性組合02線性組合的經(jīng)濟學應用舉例03向量組線性相關性的定義04本講內容一、向量組的線性組合定義3.3(3) 任一向量均可由其基本單位向量組唯一線性表示.注意(1) 零向量可由任一向量組線性表示.(2) 向量組中任一向量均可由該向量組線性表示.15一、向量組的

3、線性組合例1證16向量組的等價02向量組的線性組合01線性組合的經(jīng)濟學應用舉例03向量組線性相關性的定義04本講內容二、向量組的等價定義3.4性質定理3.2定理3.318二、向量組的等價例2證19二、向量組的等價例3解20向量組的等價03向量組的線性組合01線性組合的經(jīng)濟學應用舉例02向量組線性相關性的定義04本講內容三、線性組合的經(jīng)濟學應用舉例在經(jīng)濟學中，需要將某個量，比如成本，分解成幾部分時，常常需要用到線性組合的概念.例4解22向量組的等價04向量組的線性組合01線性組合的經(jīng)濟學應用舉例03向量組線性相關性的定義02本講內容四、向量組線性相關性的定義定義3.5注24四、向量組線性相關性的

4、定義25四、向量組線性相關性的定義例5解26四、向量組線性相關性的定義例6解27四、向量組線性相關性的定義例7解28四、向量組線性相關性的定義29線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第三講 向量組的線性關系(2)向量組的等價01向量組的線性組合02線性組合的經(jīng)濟學應用舉例03向量組線性相關性的定義0405向量組線性相關性的性質本講內容向量組線性相關性的性質性質3.1推論性質3.2推論32向量組線性相關性的性質例1解33向量組線性相關性的性質性質3.3找等式，看系數(shù)34向量組線性相關性的性質cv性質3.3推論35向量組線性相關性的性質找等式，看系數(shù)性質3.436向量組線性相關性的性質cv性質

5、3.437向量組線性相關性的性質例2解38向量組線性相關性的性質例3解39向量組線性相關性的性質性質3.540向量組線性相關性的性質性質3.6例4解41向量組線性相關性的性質42向量組線性相關性的性質性質3.6推論43線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第四講 向量組的線性關系(3)向量組的等價01向量組的線性組合02線性組合的經(jīng)濟學應用舉例03向量組線性相關性的定義0405向量組線性相關性的性質向量組線性相關性的判定06本講內容向量組線性相關性的判定定理3.4推論1推論2推論346向量組線性相關性的判定例1解47向量組線性相關性的判定例2解48向量組線性相關性的判定例3解49向量組線性相

6、關性的判定例4解定理2.850向量組線性相關性的判定定理3.5推論1推論251向量組線性相關性的判定例5解52向量組線性相關性的判定性質3.5定理3.5總結改變向量的個數(shù)時，少的相關，多的也相關；多的無關，少的也無關.改變向量的維數(shù)時，低維無關，高維也無關；高維相關，低維也相關.同步改變向量的分量順序時，線性相關性不變53線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第五講 極大線性無關組和秩(1)01極大線性無關組和向量組的秩(1)本講內容極大線性無關組和向量組的秩(1)向量組的極大無關組定義3.6解釋定義3.756極大線性無關組和向量組的秩(1)注01020304050657極大線性無關組和向量

7、組的秩(1)向量組的秩定義3.8向量組的秩的性質58極大線性無關組和向量組的秩(1)向量組的等價定義3.4性質定理3.2定理3.359極大線性無關組和向量組的秩(1)定理3.6推論60極大線性無關組和向量組的秩(1)性質向量組等價矩陣等價61極大線性無關組和向量組的秩(1)例162極大線性無關組和向量組的秩(1)解63極大線性無關組和向量組的秩(1)64極大線性無關組和向量組的秩(1)例2解65極大線性無關組和向量組的秩(1)66極大線性無關組和向量組的秩(1)例3解找等式，看系數(shù)67極大線性無關組和向量組的秩(1)注68線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第六講 極大線性無關組和秩(2)

8、向量組的秩和矩陣的秩的關系01極大線性無關組和向量組的秩02本講內容一、極大線性無關組和向量組的秩例1解71一、極大線性無關組和向量組的秩72一、極大線性無關組和向量組的秩例2證73向量組的秩和矩陣的秩的關系02極大線性無關組和向量組的秩01本講內容二、向量組的秩和矩陣的秩的關系定理3.775二、向量組的秩和矩陣的秩的關系例3解列擺行變換法76二、向量組的秩和矩陣的秩的關系例4解77二、向量組的秩和矩陣的秩的關系78二、向量組的秩和矩陣的秩的關系例5解定理2.9（3）79二、向量組的秩和矩陣的秩的關系例6證80二、向量組的秩和矩陣的秩的關系81線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第七講 向

9、量空間過渡矩陣與坐標變換01向量空間的定義02本講內容一、向量空間的定義定義3.9例184一、向量空間的定義定義3.10定義3.1185一、向量空間的定義維數(shù)定義3.6定義3.886一、向量空間的定義例2解87一、向量空間的定義例3解88過渡矩陣與坐標變換02向量空間的定義010本講內容二、過渡矩陣與坐標變換定義3.12注注過渡矩陣90二、過渡矩陣與坐標變換例4解定義3.1291二、過渡矩陣與坐標變換例5解定義3.1292二、過渡矩陣與坐標變換例6解93線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第八講 向量的內積向量組的正交規(guī)范化01向量的內積的定義02正交矩陣03本講內容一、向量的內積的定義9

10、6定義3.13內積的性質一、向量的內積的定義97定義3.14范數(shù)的性質定義3.15一、向量的內積的定義98例1解向量組的正交規(guī)范化02向量的內積的定義01正交矩陣03本講內容二、向量組的正交規(guī)范化100正交向量的性質定義3.16定義3.17定理3.8二、向量組的正交規(guī)范化101定理3.8二、向量組的正交規(guī)范化102例2證二、向量組的正交規(guī)范化103施密特正交化二、向量組的正交規(guī)范化104例3解向量組的正交規(guī)范化03向量的內積的定義02正交矩陣01本講內容三、正交矩陣106正交矩陣性質三、正交矩陣107結論例4解三、正交矩陣108例5三、正交矩陣109例5向量組線性相關性的判定110性質3.5定

11、理3.5總結改變向量的個數(shù)時，少的相關，多的也相關；多的無關，少的也無關.改變向量的維數(shù)時，低維無關，高維也無關；高維相關，低維也相關.同步改變向量的分量順序時，線性相關性不變線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間導學第三章 向量與向量空間N維向量及其線性運算向量組的線性關系極大無關組和秩向量空間本章主要內容包括： 平面上的任意點，可以由二元的有序數(shù)組來表示，空間直角空間直角坐標系中表示任意點用三元的有序數(shù)組，討論方程組的解時，我們用n元的有序數(shù)組，在一個較復雜的控制系統(tǒng)中(導彈、飛行器) ，決定系統(tǒng)在某一時刻t的參數(shù)有n個，這就需要用n元的有序數(shù)組來對控制系統(tǒng)進行描述.這些有序數(shù)組就是我們

12、要討論的向量，向量是解決數(shù)學以及工程技術問題的有力的工具。向量的內積11201向量與矩陣向量組的線性關系向量空間0204向量組的正交規(guī)范化03本講內容 列矩陣行矩陣行向量列向量mXn矩陣第二章默認向量的定義01 向量與矩陣114代數(shù)和數(shù)乘乘法矩陣數(shù)乘乘法數(shù)向量沒有冪運算向量代數(shù)和相等相等列向量與行向量相乘行向量與列向量相乘方陣冪運算01 向量與矩陣11502向量與矩陣向量組的線性關系向量空間0104向量組的正交規(guī)范化03導學內容02 向量組的線性關系線性表示向量組等價線性相關性定義性質定理判定定理矩陣等價第二章總成本第二章矩陣的秩極大無關組與秩極大無關組向量組的秩矩陣的秩第二章第二章初等變換1

13、1703向量與矩陣向量組的線性關系向量空間0102向量組的正交規(guī)范化04導學內容03 向量空間基(底)向量組的秩向量組維數(shù)向量空間極大無關組定義定義坐標過渡矩陣11904向量與矩陣向量組的線性關系向量空間0102向量組的正交規(guī)范化03導學內容04 向量組的正交規(guī)范化向量的內積定義性質正交向量組定義性質施密特正交化正交矩陣定義性質121線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間本章小結01知識點歸納教學要求和學習建議02本章小結 1 知識點歸納124向量與向量空間向量的基本運算向量的內積向量組的線性關系向量空間極大無關組與秩第五章預備知識第四章預備知識矩陣的秩 1 知識點歸納125(1)向量的基本

14、運算相等代數(shù)和乘積數(shù)乘數(shù)列向量與行向量相乘行向量與列向量相乘方陣 1 知識點歸納126(2)向量組的線性關系向量組等價定義性質定理線性組合判定定理部分組延長向量組線性相關性 1 知識點歸納127(3)極大無關組與秩向量組的秩定義求解方法極大無關組列擺行變換法線性相關性定義求解方法矩陣的秩關系具體矩陣求秩初等變換法抽象矩陣求秩利用結論(4) 向量空間維數(shù)基(底)坐標過渡矩陣 1 知識點歸納128(5)向量的內積正交向量組范數(shù)夾角內積定義施密特正交化正交矩陣先正交化再單位化01知識點歸納教學要求和學習建議02本章小結 2 教學要求和學習建議130（1）理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩（3）（2）理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.（4）理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系了解維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標等概念了解基變換和坐標變換公式，會求過渡矩陣.（5）了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特(Schmidt)方法. 了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質.（6）131向量的