第四章-中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用wpp課件

1、4.1微分中值定理4.2洛必達(dá)法則4.3用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和最值4.4函數(shù)曲線的凹向及拐點(diǎn)4.5曲線的漸近線與函數(shù)作圖4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第四章 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用7/19/20224.1微分中值定理一、羅爾 ( Rolle ) 定理1) 在閉區(qū)間 上連續(xù); 2) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo);有一點(diǎn)則在內(nèi)至少 使若函數(shù)滿足：3)aboyABx7/19/2022證明aboyABx則在 a, b 上取得最大值 M 和最小值 m .1) 若即恒為常數(shù),可取(a, b)內(nèi)任一點(diǎn)作為2) 若由知,M , m 至少有一個要在內(nèi)取得.不妨設(shè) M 在內(nèi)點(diǎn)處取得,即所以,證畢.7/19/2022幾何意

2、義:在兩端點(diǎn)高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上,若除端點(diǎn)外處處有不垂直于 x 軸的切線,則此曲線弧上至少有一點(diǎn),在該點(diǎn)處的切線是水平的.或者說切線aboyABx與端點(diǎn)的連線AB平行.羅爾定理的三個條件是結(jié)論成立的充分必要條件7/19/20227/19/20227/19/20227/19/20227/19/20227/19/20227/19/2022注意：該題輔助函數(shù)的尋找過程是一種常用方法7/19/2022二、拉格朗日 (Lagrange) 定理或（2）1) 在閉區(qū)間上連續(xù); 2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);至少有一點(diǎn)若函數(shù)滿足：則在內(nèi)aboyABxC（1）7/19/2022分析要證即證即證令只須證只須證在上

3、滿足羅爾定理?xiàng)l件.7/19/2022證明易見在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且即根據(jù)羅爾定理知，使即即構(gòu)造輔助函數(shù)7/19/2022幾何意義： 在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線與連接兩端點(diǎn)的弦平行.aboyABxC7/19/20221). (1)或(2)式對于時也成立.拉格朗日中值公式.2). 若令則,于是拉格朗日公式可寫成:(3)3). 若令則得有限增量公式:(4)2) 定理結(jié)論肯定中間值的存在,但未知其確切位置;3) 式中的可能不只一個,這并不影響它在理論上的應(yīng)用說明1) 定理中的兩個條件缺一不可;.注意7/19/2022證明

4、不妨設(shè)在上應(yīng)用中值定理,使所以, 由的任意性知, 對7/19/2022證明由定理知,即7/19/2022驗(yàn)證在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),滿足拉格朗日中值定理的條件, 即即的確在 (0,1) 內(nèi) 找到使定理成立.應(yīng)用定理知例5 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間 0,1 上的正確性,并求驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù) 在區(qū)間-1,1上的正確性 .7/19/20227/19/20227/19/2022時,例7 證明: 當(dāng)證明 設(shè)對在上應(yīng)用拉氏中值定理, 使即因 所以即7/19/20227/19/20227/19/20227/19/20227/19/20227/19/2022若函數(shù)滿足:則在 內(nèi)至少存

5、在一點(diǎn)使成立.1) 在閉區(qū)間上連續(xù); 2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);且三、柯西(Cauchy)中值定理7/19/20227/19/20227/19/20227/19/20227/19/20224.2洛必達(dá)法則如果當(dāng)時, 兩個函數(shù) f(x) 與 g(x)都趨于零或都趨于無窮大, 為未定式.通常稱極限7/19/20227/19/20227/19/20227/19/2022 則有 2) 對 時的情形, 也有結(jié)論型1）如果當(dāng)時仍屬型，且 f(x) 及 g(x) 能滿足定理中相應(yīng)的條件， 當(dāng)滿足相似條件時,說明7/19/2022例1例2解解不是未定式, 不能盲目應(yīng)用羅比塔法則注意7/19/2022例3 求解例4

6、 求解7/19/20227/19/20227/19/2022例7 求7/19/20227/19/2022解答7/19/2022定理2設(shè)（1）當(dāng)時, 函數(shù) f(x) 及 g(x) 都趨于無窮大 ;(2) 在點(diǎn)a 的某去心鄰域內(nèi),都存在且(3)存在 (或無窮大);則有7/19/2022說明練一練7/19/2022其它未定式:例9解例10解也可化為或型的未定式來計(jì)算7/19/2022例12解例11 解7/19/20227/19/2022練一練7/19/20224.3用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、 極值、和最值一、函數(shù)單調(diào)性的判別7/19/2022證應(yīng)用拉格朗日中值定理 僅證(1). 設(shè)注意：7/19/20

7、227/19/2022xyo不存在,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和步驟:(1) 確定函數(shù)的定義域;(2) 求找使的點(diǎn)(駐點(diǎn)),及使不存在的點(diǎn);(3) 以(2)中所找點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分割成部分區(qū)間, 判斷在每一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號，由定理得出結(jié)論。問題：如何求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？7/19/2022解 (1) 定義域例2 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.令, 得(2)(3) 以為分界點(diǎn),將定義域分割,列表:增減增函數(shù)的單增區(qū)間為:單減區(qū)間為:7/19/2022解 (1) 定義域例3 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)令, 得當(dāng)時,不存在,(3) 列表:增減增函數(shù)的單增區(qū)間為:單減區(qū)間為:7/19/2022利用單調(diào)性證明不等式例

8、4 證明不等式證明 令, 即在上單增,當(dāng)時,當(dāng)時,7/19/20227/19/20227/19/20227/19/2022二、函數(shù)的極值與最值定義1設(shè) f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)有定義, 都有極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).若存在1), 則稱為函數(shù)的極大值.2), 則稱為函數(shù)的極小值.(一)函數(shù)的極值和最值的定義xyo7/19/2022注意 1) 函數(shù)的極值概念是局部性的2) 函數(shù)的極值可能有多個3) 函數(shù)的極大值可能比極小值小4) 函數(shù)的極值不在端點(diǎn)上取xyo7/19/2022定理1極值存在（必要條件）是極大值.證 不妨設(shè)由定義知,設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)并取得極值,

9、則條件必要而不充分.即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn).的某一鄰域內(nèi),恒有在注意例 y= x3 在 x= 0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但不是極值點(diǎn)。7/19/2022說明1）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).若，稱點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn).2）極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取到。xyo7/19/2022定理2 (極值存在的第一充分條件)當(dāng)時,當(dāng)時, (1) 若則在處取得極大值.當(dāng)時, (2) 若當(dāng)時,則在處取得極小值. (3) 若在的鄰近兩側(cè)不變號,則在處沒有極值.在點(diǎn)連續(xù)，在 的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)（ 可除外）設(shè)函數(shù)xy7/19/2022(二)求函數(shù)極值的方法和步驟: (1) 確定 (2) 求使的點(diǎn)(駐點(diǎn)),及使不存在的點(diǎn)

10、; 例1 求函數(shù)的極值.解得 列表:極大值極小值增減增 極大值為: 極小值為: (3) 列表考察這些點(diǎn)左右區(qū)間上 的符號，利用定理3 判別所找點(diǎn)是否極值點(diǎn),并判別極大(小)值.7/19/2022解列表:7/19/20227/19/2022定理 3 （第二充分條件）設(shè)函數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù) ,且在點(diǎn)則當(dāng)時,為極大值;當(dāng)時,為極小值.7/19/20227/19/2022例4 求函數(shù)的極值.解 令,得所以有極小值:定理3失效,用定理2判斷.當(dāng)時,時,不是極值點(diǎn)當(dāng)時,時,不是極值點(diǎn)7/19/2022注意：7/19/2022(三)最值的求法若函數(shù)在上連續(xù)，上取得最大值和最小值.則必在xyo求最值的方法:2

11、若函數(shù)在內(nèi)取得最值，則此點(diǎn)一定取得極值1 求出最值點(diǎn)的存在范疇：端點(diǎn)、駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)2 計(jì)算函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值; 3 比較這些函數(shù)值的大小,其中最大者與最小者就是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.x01 函數(shù)可能在端點(diǎn)取得最值。說明7/19/20227/19/2022幾種特殊情況:1 若在上單調(diào), 則在端點(diǎn)處取得最值.2 若在內(nèi)只有一個極值點(diǎn)則當(dāng)為極大(小)值點(diǎn)時,就是最大(小)值.7/19/20227/19/20227/19/2022注意: 1 在實(shí)際問題中, 則按實(shí)際情況進(jìn)行判斷.2 當(dāng)表示該實(shí)際問題的函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個可能的極值點(diǎn)時,則該實(shí)際問題一定在該點(diǎn)取得所求的最大值

12、或最小值.7/19/2022例3 某商店每年銷售某種商品 a 件，每次購進(jìn)的手續(xù)費(fèi)為 b 元，而每件商品每年庫存費(fèi)為 c 元。在該商品均勻銷售的情況下，問商店應(yīng)分幾批購進(jìn)此種商品，能使所需手續(xù)費(fèi)及庫存費(fèi)之和最小？解 設(shè)每批購進(jìn) x 件商品，所需總費(fèi)用為 y 元。則得即批數(shù)為 時，費(fèi)用最小。7/19/20224.4函數(shù)曲線的凹向及拐點(diǎn)定義1上凹xyo下凹xoy7/19/2022問題：如何確定曲線的凹向呢？我們得到：曲線的凹向與一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性相關(guān)，從而可以用二階導(dǎo)數(shù)的符號判別.7/19/2022定理1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),(1)若在內(nèi)，則在上圖形是上凹下凹(2)若在內(nèi)，則在上圖形是

13、7/19/2022推論 7/19/2022解不存在.例2 求曲線的拐點(diǎn).時,時,曲線 在內(nèi)是上凹的.時,曲線 在內(nèi)時是下凹的.問題：如何求曲線的凹向區(qū)間呢？是拐點(diǎn)判斷曲線 y=lnx 的凹向性？7/19/20227/19/2022 列表：上凹下凹上凹有拐點(diǎn)無拐點(diǎn) 綜上, 曲線在上為下凹;點(diǎn)是拐點(diǎn). 令得的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間. 例3 求曲線解 定義域?yàn)?當(dāng)時,不存在.不存在在上為上凹.7/19/2022定義1一、曲線的漸近線4.5 曲線的漸近線與函數(shù)作圖7/19/2022漸近線的種類：思考7/19/2022定義21、水平漸近線對于函數(shù) ，若或或則稱直線 為曲線 的一條水平漸近線。解 例1.求曲線的水

14、平漸近線。例1 求 故是水平漸近線。7/19/2022解7/19/2022定義32、垂直漸近線對于函數(shù) ，若或或則稱直線 為曲線 的一條垂直漸近線。解所以是垂直漸近線。所以是垂直漸近線。例3 求 曲線的垂直漸近線。例37/19/2022解7/19/20223、斜漸近線7/19/20227/19/2022解7/19/2022解7/19/2022二、函數(shù)圖形的描繪一般步驟:1 確定函數(shù)的定義域2 討論函數(shù)的奇偶性、周期性3 求出曲線的漸近線7/19/20227/19/20227/19/20227/19/2022例2 描繪函數(shù)的圖形.解1) 定義域:令得令得2)7/19/20223) 列表:拐點(diǎn)極小值4) 找漸近線:因, 故直線為垂直漸近線.因故直線為水平漸近線.7/19/20225) 計(jì)算得點(diǎn): 補(bǔ)充點(diǎn):xy0123-1-2-3127/19/20224.6 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用1 成本