教學案例：問題數學化——生活數學的切入點

1、 問題數學化生活數學的切入點 很多人認為數學數學尤其是高中數學很枯燥，和實際生活沒有聯系，看到一個實際問題不知道如何將問題數學化，更不要說解決問題了。本文以一節(jié)展示課直線與圓的位置關系復習為例，來尋找生活的問題的切入點。 直線與圓的位置關系是平面解析幾何的基礎知識，也是高考的熱點問題之一。它既復習了前面的直線與圓的方程，又為今后復習直線與圓錐曲線的位置關系奠定了基礎，有著廣泛的應用。 1.數學源于生活 導入語：大家知道數學來源于生活，又服務于生活。下面有一道生活問題，你能用學過的哪方面的知識求解？ 【問題引入】在一個特定的時間內，以為中心的5米范圍內（不包括邊界）被設為危險區(qū)域，某人在點的南偏

2、西（其中）的方向上，且距點13米的地，若他向東北方向直行，會進入危險區(qū)域嗎？學生思考2分鐘后，老師問：你能用數學化的語言刻化一下，如何判定此人是否會進入危險區(qū)域？有些學生沉默，有些想回答。 生1：以為中心的5米范圍是圓，可以求出點坐標，根據向東北方向直行可得出直線方程為，此人是否會進入危險區(qū)域是指直線上是否存在點在圓內？ 生2舉手說：這個問題其實是考慮直線與圓的位置關系？ 師：生1能不能解釋一下怎么判斷直線上是否有點在圓內？ 生1：有解，應該是，最小值就是點到直線的距離。 生1用了函數的知識轉化為最值問題，說明前面函數復習的還是不錯的。 師：生2能否說一下怎么判斷直線與圓的位置關系？ 生2：判

3、斷圓心到直線的距離，與半徑的關系。老師總結：兩位同學的思路都可以解釋為比較距離和的大小。再將生活問題數學化時，我們需要將每句話、每個條件翻譯成數學語言，進而轉換為數學符號語言，然后再利用數學知識解決數學問題，最后回到實際生活問題。引入課題：直線與圓的位置關系復習。2.數學問題需要數學方法提問學生3：回顧直線與圓的位置關系的定義與判定方法。 生3準確回答出定義和兩種判定方法（幾何法和代數法）。 （學生邊回答，老師邊板書。）師：你能選擇恰當的方法解決下面問題嗎？問題一 已知圓，直線過點，求直線與圓有公共點時斜率的取值范圍？ 學生書寫時，老師巡視，發(fā)現有問題的個別提醒（如有公共點的含義）。學生基本都

4、選擇了幾何法，只見一個女同學用的代數方法，中間計算好像出了點小問題，我及時提醒了她并鼓勵她繼續(xù)算下去。幾分鐘后，將她的答案和另一位同學答案分別進行投影對比，整理如下： 師：請問，你覺得哪種方法比較好？為什么？生齊聲答道：幾何法（解法一）好，因為計算量小，方法二不好化簡。師：都認為代數法不好嗎？它沒有優(yōu)點嗎？其他學生不知什么意思，那位女同學說：幾何法只能解決直線與圓相交的問題，不能解決其他曲線與直線相交問題。這時其他同學已經陷入回憶中了。師總結：每個人都有優(yōu)缺點，解題方法也一樣。這里幾何法比幾何法運算量少，簡便；代數法比幾何法通用，主要用于直線與圓錐曲線的位置關系問題，具有運用的廣泛性。當然解決

5、直線和圓的有關問題時，一般還是利用幾何性質比較方便。 學生繼續(xù)做下面的變式。 變式1：過點作圓的切線，則切線的方程為 . 變式2：已知滿足條件，則的取值范圍為 .學生很快就做好了兩道題，老師歸納總結：兩道題最終都可化歸為問題一，變式1是問題一的臨界情況，變式2可化為，同問題一。這也充分體現了化歸的數學思想方法。 問題二 求證：直線與圓有兩個不同的交點.學生書寫，教師巡視。發(fā)現學生化簡、計算能力有所欠缺。有的同學畫了草圖，發(fā)現直線過一定點，且定點在圓內；有的同學在比較與關系時碰到了困難，及時提醒做差比較法。過程整理如下：方法總結：如果直線過定點，只要先確定點和圓的位置關系，就能確定直線與圓的位置

6、關系，就不必用與關系判定了。變式：已知直線與圓，求直線被圓截得的線段最短時直線的方程以及最短弦長.學生有的不思考拿到題就寫，寫到后面才知道要么計算困難，要么寫不下。畫圖觀察不難發(fā)現直線過定點，當直線轉到與垂直時，最大，即弦長最短。沒有這些分析，只能先將弦長表示出來轉化為分式函數求最值問題，對我們三星學校學生而言，難度可想而知。本題體現了數形結合的數學思想方法，充分利用了半徑、弦心距、半弦長構成的直角三角形來簡化運算。數學方法關鍵在數學化課上到這里，學生已有所收獲，通過課堂練習檢驗效果。 1. 過點作圓的切線，求切線的方程. 2. 圓在點處的切線方程是 . 3.（14年高考第9題）在平面直角坐標

7、系中，直線被圓截得的弦長為 .4.（15年高考第10題）在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為 .有些學生犯了這樣那樣的錯誤，有些同學先是把圖畫出了，避免一些問題發(fā)生，如：第1題斜率不存在時，第2題點在圓上直接利用垂直求出斜率，第4題直接根據圖得出最大半徑。老師借機表揚這些同學懂得現學現用，掌握了數形結合方法。 以往課堂小結都是臨下課，問學生今天學到了什么？學生把概念、定理等內容回答一下，并沒有實質性的作用。這次我采用具體問題的形式總結，學生回答。直線與圓的位置關系、判定方法有哪些？各有什么特點？點與圓的位置關系與過此點的直線與該圓的位置關系有什么聯系？

8、求過一點的圓的切線方程的步驟及注意事項是什么？有了這些具體問題，學生總結自然也就詳細了。教學反思1.以問題驅動問題教學 “問題驅動教學法”是一種建立在建構主義學習理論基礎上的教學法。建構主義學習理論強調：學生的學習活動必須與任務或問題相結合，以探索問題來引導和維持學生的學習興趣和動機，創(chuàng)建真實的教學情境，讓學生帶著真實的任務學習，以使學生擁有學習的主動權。學生的學習不單是知識由外到內的轉移和傳遞，更應該是學生主動建構自己知識經驗的過程，通過新經驗和原有知識經驗的相互作用，充實和豐富自身的知識、能力。 本節(jié)課一開始呈現問題，在分析問題時自然喚起了學生對基礎知識、基本技能、基本方法的回憶，體現了“做數學”的思想。用數學解決數學問題 數學思想方法能提高學生分析和解決問題的能力。素質教育要求我們教師在數學教學中，要有計劃、有意識地滲透數學思想方法。只有這樣才能有效增強學生的思維能力，讓學生在學習知識的過程中體會思想方法，讓學生擺脫題海戰(zhàn)術，真正的學會解題，學會解釋、解決實際生活中的問題。 本節(jié)課提到的化歸思想，主要就是培