大地測量學基礎：第四章 地球橢球數(shù)學投影的基本理論

1、1 第四章 地球橢球數(shù)學投影的基本理論24.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關系 地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)(或稱元素): 長半軸 短半軸 橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率 通常用a , 3為簡化書寫，還常引入以下符號橢球基本參數(shù)及其互相關系44.2 橢球面上常用坐標系及其關系4.2.1 各種坐標系的建立1、大地坐標系大地經(jīng)度B 大地緯度L 大地高H 52、空間直角坐標系 坐標原點位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點

2、G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標系之分。 常用坐標系及其關關系63、子午面直角坐標系 設P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x, y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L, x, y表示。 常用坐標系及其關系74、地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系 設橢球面上P點的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點建立地心緯度坐標系; 以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長與輔助圓相交點，則OP與x軸夾角稱為P點的歸化緯度u。 常用坐標系及其關系8常用坐標系及其關系5、大地極坐標系 M是橢球面上一點，MN是過M的子午線，S為連接MP的

3、大地線長，A為大地線在M點的方位角。 以M為極點； MN為極軸； P點極坐標為（S, A)9常用坐標系及其關系4.2.2 坐標系之間的相互關系子午平面坐標系同大地坐標系的關系 10常用坐標系及其關系 令: pn=N11常用坐標系及其關系空間直角坐標同子午面直角坐標系的關系12常用坐標系及其關系 空間直角坐標系同大地坐標系在橢球面上的點：不在橢球面上的點：13常用坐標系及其關系由空間直角坐標計算相應大地坐標14B、u、 之間的關系 B和u之間的關系 常用坐標系及其關系15常用坐標系及其關系 U、之間的關系 、之間的關系 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計算，當B=45時164.3

4、 橢球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作 法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。子午圈曲率半徑17橢球面上幾種曲率半徑18橢球面上幾種曲率半徑19卯酉圈曲率半徑(N) 卯酉圈:過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 麥尼爾定理: 假設通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑20橢球面上幾種曲率半徑21卯酉圈曲率半徑的特點: 卯酉圈曲

5、率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。 橢球面上幾種曲率半徑22主曲率半徑的計算 以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。 橢球面上幾種曲率半徑23橢球面上幾種曲率半徑24橢球面上幾種曲率半徑2526任意法截弧的曲率半徑 橢球面上幾種曲率半徑27 任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律: 不僅與點的緯度B有關，而且還與過該點的法截弧的方位角A有關。 當時，變?yōu)橛嬎阕游缛η拾霃降?，即?當90時，為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑M及N分別是的極小值和極大值。 當A由090時，之值由，

6、當A由90180時，值由N，可見值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。 橢球面上幾種曲率半徑28 平均曲率半徑 橢球面上任意一點的平均曲率半徑 R 等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。 橢球面上幾種曲率半徑29M，N，R的關系 橢球面上幾種曲率半徑30對于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑314.4 橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式 32橢球面上的弧長計算33橢球面上幾種曲率半徑34如果以B90代入，則得子午橢圓在一個象限內(nèi)的弧長約為10 002 137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個弧長約為40 008 549.995m。即一象限子午線弧長約為10 000km，

7、地球周長約為40 000km。為求子午線上兩個緯度B及間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應的X及X，而后取差：，該即為所求的弧長。當弧長甚短(例如X40km，計算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午圈的曲率半徑M 橢球面上的弧長計算35由子午弧長求大地緯度 迭代解法: 平行圈弧長公式 橢球面上的弧長計算36橢球面上的弧長計算 子午線弧長和平行圈弧長變化的比較374.5 大地線 兩點間的最短距離，在平面上是兩點間的直線，在球面上是兩點間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢? 它應是大地線。相對法截線 38相對法截線 大地線39相對法截線的特點

8、:當A，B兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個點處所測得的角度(各點上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。 大地線40大地線大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點間的最短程曲線叫大地線。41 大地線的性質(zhì):大地線是兩點間惟一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角 在橢球面上進行測量計算時，應當以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應當歸算成相應大地線的方向、距離。長度差異可忽

9、略,方向差異需改化。 大地線42大地線的微分方程和克萊勞方程 大地線的微分方程43大地線的微分方程44大地線的微分方程大地線的克萊勞方程 在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù) 45當大地線穿越赤道時當大地線達極小平行圈時由克萊勞方程可以寫出 464.6 將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求： 以橢球面的法線為基準； 將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。將地面觀測的水平方向歸算至橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂

10、線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習慣上稱此三項改正為三差改正。 47垂線偏差改正 以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以,表示，M是地面觀測目標m在球面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是(R-R1) 地面觀測值歸算至橢球面48標高差改正 地面觀測值歸算至橢球面49截面差改正 地面觀測值歸算至橢球面50 將地面觀測的長度歸算至橢球面 基線尺量距的歸算 將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認為它是基線平均高程面上的長度，以表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度S。 1.垂線偏差對長度歸算的影響 地面觀測值歸算至橢球面512.高程對長度歸

11、算的影響 地面觀測值歸算至橢球面52電磁波測距的歸算 地面觀測值歸算至橢球面53地面觀測值歸算至橢球面54 大地測量主題解算4.7.1 大地主題解算的一般說明 主題解算分為: 短距離(400km) 中距離(1000km) 長距離(1000km以上) 551.以大地線在大地坐標系中的微分方程為基礎，直接在地球橢球面上進行積分運算。主要特點：解算精度與距離有關，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離 典型解法：高斯平均引數(shù)法 大地測量主題解算562.以白塞爾大地投影為基礎1)按橢球面上的已知值計算球面相應值，即實現(xiàn)橢球面 向球面的過渡；2)在球面上解算大地問題；3)按球面上得到的數(shù)值計算橢球面

12、上的相應數(shù)值，即實現(xiàn)從圓球向橢球的過渡。典型解法：白塞爾大地主題解算 特點：解算精度與距離長短無關，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算?？蛇m應20 000km或更長的距離，這對于國際聯(lián)測，精密導航，遠程導彈發(fā)射等都具有重要意義。 大地測量主題解算574.7.2 勒讓德級數(shù)式 為了計算 的級數(shù)展開式，關鍵問題是推求各階導數(shù)。 大地測量主題解算58一階導數(shù)：二階導數(shù)： 大地測量主題解算59三階導數(shù) 大地測量主題解算60 大地測量主題解算61 大地測量主題解算62 大地測量主題解算634.7.3 高斯平均引數(shù)正算公式 高斯平均引數(shù)正算公式推導的基本思想： 首先把勒讓德級數(shù)在 P點展開改在大地線

13、長度中點M展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點 M 的復雜性，將 M 點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應的 m 點來代替，并借助迭代計算便可順利地實現(xiàn)大地主題正解。 大地測量主題解算64(1)建立級數(shù)展開式: 大地測量主題解算65同理可得: (2) 大地測量主題解算66 大地測量主題解算67 大地測量主題解算(3)由大地線微分方程依次求偏導數(shù):68 大地測量主題解算69大地測量主題解算70同理可得：大地測量主題解算71 注意： 從公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式的計算。除此之外，此方法適合與

14、200公里以下的大地問題解算，其計算經(jīng)緯計算精度可達到0.0001”, 方位角計算精度可達到0.001”。724.7.4 高斯平均引數(shù)反算公式 高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導出:上述兩式的主式為:7374已知：求得：754.7.5 白塞爾大地主題解算方法 白塞爾法解算大地主題的基本思想: 以輔助球面為基礎,將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應三角形,由三角形對應元素關系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進行大地主題解算，最后再將球面上的計算結(jié)果換算到橢球面上。 這種方法的關鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應元素之間的關系式,同時也要解決在球面上進

15、行大地主題解算的方法。 76在球面上進行大地主題解算 球面上大地主題正算: 已知 求解 球面上大地主題反算: 已知 求解771、球面三角元素間的相互關系78 球面上大地主題正解79 球面上大地主題反解方法 802 、橢球面和球面上坐標關系式81在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:82白塞爾提出如下三個投影條件：1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.大地線和大圓弧上相應點的方位角相等；3.球面上任意一點緯度等于橢球面上相應點的歸化緯度。 8384以上為白塞爾微分方程.85 3 、白塞爾微分方程的積分8687積分得到下式：88反算:正算: 迭代法: 直接法:89適合于反算:適合于正算: 迭

16、代法: 直接法:9091將三角函數(shù)冪級數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類項，積分。截去4倍角項，其值小于0.0001秒。92正算：反算：934 白塞爾法大地主題正算步驟 1.計算起點的歸化緯度2.計算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得:3. 按公式計算相關系數(shù)A,B,C以及, 944.計算球面長度 迭代法: 直接法:955.計算經(jīng)度差改正數(shù)6.計算終點大地坐標及大地方位角 96975 白塞爾法大地主題反算步驟 1.輔助計算982.用逐次趨近法同時計算起點大地方位角、球面長度及經(jīng)差 ，第一次趨近時，取。99計算下式,重復上述計算過程2.3. 計算大地線長度S 4. 計算反方位角1001011024.8 地圖數(shù)

17、學投影變換的基本概念 1、地圖數(shù)學投影變換的意義和投影方程 所謂地圖數(shù)學投影，簡略地說來就是將橢球面上元素(包括坐標，方位和距離)按一定的數(shù)學法則投影到平面上，研究這個問題的專門學科叫地圖投影學。投影變換的基本概念103 2 、地圖投影的變形1.長度比 : 長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應的微分線段dS二者之比。 不同點上的長度比不相同，而且同一點上不同方向的長度比也不相同 投影變換的基本概念1042.主方向和變形橢圓 投影后一點的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。 在橢球面的任意點上，必定有一對相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相

18、互垂直的。這兩個方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。 投影變換的基本概念105 投影變換的基本概念 以定點為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。106 3.投影變形 1）長度變形 投影變換的基本概念1072）方向變形 投影變換的基本概念1083）角度變形： 角度變形就是投影前的角度u 與投影后對應角度u之差 投影變換的基本概念1094）面積變形：P-14.8.3 地圖投影的分類1.按變形性質(zhì)分類1）等角投影：投影前后的角度不變形，投影的長度比與方向無關，即某點的長度比是一個常數(shù)，又把等角投影稱為正形投影。 2）等積投影：投影前后的面積不變形.

19、 3）任意投影：既不等角，又不等積. 投影變換的基本概念1102.按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類 1）方位投影 取一平面與橢球極點相切，將極點附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以極點為圓心的同心圓，而經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)線交角不變。 Light Source投影變換的基本概念111 2）圓錐投影: 取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪開成平面。 Standard LineTrue Length Exaggerated投影變換的基本概念1123）圓柱(或橢圓柱)投影 取圓柱(或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面(或橢圓柱面)上，然后將圓柱

20、或橢圓柱展開成平面。 Standard LineTrue Length Exaggerated投影變換的基本概念1133.按投影面和原面的相對位置關系分類1)正軸投影：圓錐軸(圓柱軸)與地球自轉(zhuǎn)軸相重合的投影，稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影。2)斜軸投影：投影面與原面相切于除極點和赤道以外的某一位置所得的投影。3)橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。 除此之外，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標準線，這就是所謂割圓錐，割圓柱投影等。投影變換的基本概念1144.9 高斯平面直角坐標系 1、 高斯投影概述 控制測量對地圖投影的要求 （1）采用

21、等角投影(又稱為正形投影) （2）長度和面積變形不大 （3）能按高精度的、簡單的、同樣的計算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體 高斯投影描述 高斯平面直角坐標系115高斯平面直角坐標系 想象有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面 。116投影帶：以中央子午線為軸，兩邊對稱劃出一定區(qū)域作為投影范圍； 1）分帶原則 （1）限制長度變形使其不大于測圖誤差； （2）帶數(shù)不應過多以減少換帶計算工作。 我國規(guī)定按經(jīng)差6和3進行投影分帶

22、。高斯平面直角坐標系2）分帶方法117高斯平面直角坐標系 6帶: 自0子午線起每隔經(jīng)差6自西向東分帶，依次編號1，2，3，60。我國6帶中央子午線的經(jīng)度，由73起每隔6而至135，共計11帶，帶號用n表示，中央子午線的經(jīng)度用表示。 帶號及中央子午線經(jīng)度的關系： 3帶: 自東經(jīng)1.5子午線起，每隔3設立一個投影帶， 依次編號為1，2，3， ， 120帶；中央子午線經(jīng)度依次為3, 6, 9, , 360。帶號及中央子午線經(jīng)度的關系：118 .5帶或任意帶: 工程測量控制網(wǎng)也可采用.5帶或任意帶，但為了測量成果的通用，需同國家6或3帶相聯(lián)系。 n=L/3(四舍五入)3高斯平面直角坐標系119高斯平面

23、直角坐標系例：某控制點 P 點按3帶：按6帶：120 在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標軸，以赤道的投影為橫坐標軸。 高斯平面直角坐標系121 6帶與3帶的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別 6帶：從 0子午線起劃分，帶寬6 ，用于中小比例尺（1：25000以下）測圖； 3帶：從 1.5子午線起劃分，帶寬3，用于大比例尺（如1：10000）測圖。 3帶是在6帶的基礎上劃分的，6帶的中央子午線及分帶子午線均作為3帶的中央子午線，其奇數(shù)帶的中央子午線與6帶中央子午線重合，偶數(shù)帶與分帶子午線重合。高斯平面直角坐標系122高斯平面直角坐標系國

24、家統(tǒng)一坐標在我國x坐標都是正的，y坐標的最大值(在赤道上)約為330km。為了避免出現(xiàn)負的橫坐標，規(guī)定在橫坐標上加上500 000m。此外還應在坐標前面再冠以帶號。這種坐標稱為國家統(tǒng)一坐標。例如： Y=19 123 456.789m該點位在19帶內(nèi)，橫坐標的真值：首先去掉帶號，再減去 500 000m，最后得 y = -376 543.211(m)。 123高斯平面直角坐標系分帶存在的問題？邊界子午線兩側(cè)的控制點與地形圖位于不同的投影帶內(nèi)，使得地形圖不能正確拼接，采用帶重疊的方法解決此問題。124高斯投影特點： 正形投影，保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點各方向上的長度比的同一性

25、。 由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡便公式和數(shù)表進行由于變形引起的各項改正的計算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進行。 高斯平面直角坐標系1252、橢球面元素化算到高斯投影面126 3) 將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計算方向的曲率改化即方向改化來實現(xiàn)的。橢球面三角系歸算到高斯投影面的計算 1）將起始點P的大地坐標(L，B)歸算為高斯平面直角坐標 x,y；為了檢核還應進行反算，亦即根據(jù) x,y反算B，L，這項工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標計算。 2）將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上

26、相應邊PK的坐標方位角，這是通過計算該點的子午線收斂角及方向改化實現(xiàn)的。127 因此將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標、曲率改化、距離改化和子午線收斂角等項計算工作。 當控制網(wǎng)跨越兩個相鄰投影帶，以及為將各投影帶聯(lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進行平面坐標的鄰帶換算。 4) 將橢球面上起算邊PK的長度S歸算到高斯平面上的直線長度s。這是通過計算距離改化實現(xiàn)的。128正形投影的一般條件4.9.2 正形投影的一般條件1、長度比的通用公式129正形投影的一般條件130正形投影的一般條件將上述兩式代入（4-334）式，整理，令131正形投影的一般條件132正形投影的一般條件2、柯西.黎曼條件133正形投影的一

27、般條件正形條件m與A無關，即滿足：134正形投影的一般條件則有：柯西-黎曼條件135正形投影的一般條件考慮到F=0，E=G，長度比公式簡化為136把 代入（4-347），考慮下式正形投影的一般條件137柯西-黎曼條件的另一種解釋方法正形投影的一般條件138正形投影的一般條件如果點在子午線上：L=常數(shù)，dl=0如果點在平行圈上：B=常數(shù) dB=0139正形投影的一般條件 三角形ABB與ACC相似140高斯投影坐標正算4.9.3 高斯投影坐標正反算公式1、高斯投影坐標正算公式 高斯投影必須滿足以下三個條件： (1)中央子午線投影后為直線； (2)中央子午線投影后長度不變； (3)投影具有正形性質(zhì)，

28、即正形投影條件。高斯投影坐標正算公式推導如下：141高斯投影坐標正算1) 由第一個條件可知，由于地球橢球體是一個旋轉(zhuǎn)橢球體，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線。 x為l的偶函數(shù)，而y則為l的奇函數(shù)。2) 由第三個條件正形投影條件142由恒等式兩邊對應系數(shù)相等，建立求解待定系數(shù)的遞推公式高斯投影坐標正算143高斯投影坐標正算m0=? ) 由第二條件可知，位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標 x 應該等于投影前從赤道量至該點的子午弧長。即當 l=0 時,144高斯投影坐標正算145高斯投影坐標正算將各系數(shù)代入，略去高次項，精度為0.001m146高斯投影坐標反算2、高斯投影坐標反算公式

29、 在高斯投影坐標反算時，原面是高斯平面，投影面是橢球面，已知的是平面坐標 (x, y)，要求的是大地坐標 (B，L)，相應地有如下投影方程：同正算一樣，對投影函數(shù)提出三個條件。147高斯投影坐標反算1) 由第一個條件可知2) 由第三個條件，正形條件148高斯投影坐標反算149高斯投影坐標反算3) 由第二條件依次求各系數(shù)因為所以150高斯投影坐標反算151高斯投影坐標反算152高斯投影幾何解釋3、高斯投影正反算公式的幾何解釋153高斯投影幾何解釋154高斯投影的特點高斯投影的特點 (1)當l等于常數(shù)時，隨著B的增加x值增大，y值減??；無論B值為正或負，y值不變。這就是說，橢球面上除中央子午線外，

30、其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時還對稱于中央子午線和赤道。 155高斯投影的特點(2)當B等于常數(shù)時，隨著l的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上對稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對稱的曲線，同時與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。(3)距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，長度變形也愈大。1564.9.4高斯投影坐標計算算例1) WGS84 (6378137 , 298.257223563) A001 2463376.6502 49592.07212) GDZ80 (6378140,298.257) A001 2463377.7973 49592.09553) B

31、J54 (6378245,298.3) A001 2463420.5657 49592.9084A001：157平面子午線收斂角4.9.5 平面子午線收斂角公式 1、平面子午線收斂角的定義1582、公式推導 1）由大地坐標L、B計算平面子午線收斂角的公式 平面子午線收斂角159(1)為l的奇函數(shù)，而且l愈大，也愈大；(2)有正負，當描寫點在中央子午線以東時，為正；在西時，為負；(3)當l不變時，則隨緯度增加而增大平面子午線收斂角160平面子午線收斂角2.平面坐標 x, y 計算平面子午線收斂角的公式161方向改化公式4.9.6 方向改化公式162方向改化公式1、方向改化近似公式的推導 在球面上

32、四邊形ABED的內(nèi)角之和等于360+ 由于是等角投影，所以這兩個四邊形內(nèi)角之和應該相等，即163方向改化公式164方向改化較精密公式 方向改化公式165方向改化公式1664.9.7 距離改化公式1671) s與D的關系168當取最大40，s=50km時，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情況下，誤差也不會超過1mm。而實際上，邊長要比50km短得多，此時誤差將會更小。所以在應用上，完全可以認為大地線的平面投影曲線的長度s等于其弦線長度D 1692、長度比和長度變形1）用大地坐標 (B , l) 表示的長度比m的公式1702）用平面坐標 (x , y)表示的長度比m的公式171(1)長度比m只

33、與點的位置 (B，l)或 (x ,y) 有關。(2)中央子午線投影后長度不變。 (3)當y0(或l)時， m恒大于1。 (4)長度變形(m-1)與y（或l）成比例地增大 ,而對某一條子午線來說，在赤道處有最大的變形 。1723、距離改化公式 將橢球面上大地線長度S描寫在高斯投影面上，變?yōu)槠矫骈L度D。1734.9.8 高斯投影的鄰帶坐標換算(1)位于兩個相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個投影帶(東、西帶)的控制網(wǎng) 174鄰帶換算方法： (2)在分界子午線附近地區(qū)測圖時，往往需要用到另一帶的三角點作為控制，因此必須將這些點的坐標換算到同一帶中 (3)當大比例尺(110 000或更大)測圖時，特別是在工程測量

34、中，要求采用3帶、1.5帶或任意帶，而國家控制點通常只有6帶坐標，這時就產(chǎn)生了6帶同3帶(或1.5帶、任意帶)之間的相互坐標換算問題。1754.10 橫軸墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.10.1通用橫軸墨卡托投影概念 UTM (Universal Transverse Mercator Projection)投影屬于橫軸等角割橢圓柱投影 ,它的投影條件是取第3個條件“中央經(jīng)線投影長度比不等于1而是等于0.9996”，投影后兩條割線上沒有變形，它的平面直角系與高斯投影相同，且和高斯投影坐標有一個簡單的比例關系，因而有的文獻上也稱它為m00.9996的高斯投影。 176177基本公式如下：178UTM投影變形的特點： UTM投影的中央經(jīng)線長度比為0.999 6，這是為了使得，處的最大變形值小于0.001而選擇的數(shù)值。兩條割線(在赤道上，它們位于離中央子午線大約(約)處)上沒有長度變形；離開這兩條割線愈遠變形愈大；在兩條割線以內(nèi)長度變形為負值；在兩條割線之外長度變形為正值。 UTM投影帶的劃分： UTM投影的分帶是將全球劃分為60個投影帶，帶號1，2，3，60連續(xù)編號，每帶經(jīng)差為，從經(jīng)度180和17之間為起始帶(1帶)，連續(xù)向東編號。