高中數(shù)學(xué)人教版必修四常見公式及知識點(diǎn)系統(tǒng)總結(jié)

1、 必修四?？脊郊案哳l考點(diǎn)第一部分三角函數(shù)與三角恒等變換考點(diǎn)一角的表示方法終邊相同角的表示方法：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合：B|B=k360+a,kWZ象限角的表示方法：第一象限角的集合為a|k360ak360+90,kZ第二象限角的集合為a|k360+90ak360+180,kZ第三象限角的集合為a|k360+180ak360+270,kZ第四象限角的集合為a|k360+270ak360+360,kZ終邊在某條射線、某條直線或兩條垂直的直線上(如軸線角)的表示方法：若所求角B的終邊在某條射線上，其集合表示形式為B|B=k360+a,kZ，其中a為射線與x軸非負(fù)半軸形成的

2、夾角若所求角B的終邊在某條直線上，其集合表示形式為B|B=k180+a,kGZ，其中a為直線與x軸非負(fù)半軸形成的任一夾角若所求角B的終邊在兩條垂直的直線上，其集合表示形式為B|B=k90+a,kZ，其中a為直線與x軸非負(fù)半軸形成的任一夾角例：終邊在y軸非正半軸上的角的集合為a|a=k360+270,kWZ終邊在第二、第四象限角平分線上的集合為a|a=k180+135,kGZ終邊在四個象限角平分線上的角的集合為a|a=k90+45,kGZ易錯提醒：區(qū)別銳角、小于90度的角、第一象限角、090、小于180度的角考點(diǎn)二弧度制有關(guān)概念與公式弧度制與角度制互化，1=金，1弧度57302.扇形的弧長和面積

3、公式(分別用角度制、弧度制表示方法)丫n兀R廠弧長公式：i，而，R,其中為弧所對圓心角的弧度數(shù)扇形面積公式：S，：1R=2R2|I,其中為弧所對圓心角的弧度數(shù)36022易錯提醒：利用S=2R2|求解扇形面積公式時，為弧所對圓心角的弧度數(shù)，不可用角度數(shù)規(guī)律總結(jié)“扇形周長、面積、半徑、圓心角”4個量，“知二求二”，注意公式選取技巧考點(diǎn)三任意角的三角函數(shù)1任意角的三角函數(shù)定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）,那么sin=丄，cos=-，tan=工（廠TOP|=：x2y2）；rrxy化簡為sin=y,cos=x,tan=.x2三角函數(shù)值符號規(guī)律總結(jié)：利用三角函數(shù)定義或一全正、二正弦、

4、三正切、四余弦”口訣記憶象限角或軸線角的三角函數(shù)值符號3特殊角三角函數(shù)值除此之外，還需記住15o、750的正弦、余弦、正切值4三角函數(shù)線經(jīng)典結(jié)論:(0，)，貝ysinx,x,tanx2若xe貝y1,sinx+cosx2(3)IsinxI+1cosxI1例：在單位圓中分別畫出滿足sina=2、cosa=2、tana=l的角a的終邊，并求角a的取值集合考點(diǎn)四三角函數(shù)圖像與性質(zhì)性質(zhì)函數(shù).y=sinxy=cosxy=tanx圖象iy廠、.3I/;wV0-1Trn1X4-定義域RRr兀12J值域-1,1-1,1R最值當(dāng)x=2k+keZ)時，ymaxl；當(dāng)x=2k兀(keZ“時，yma=1；口yr曰，厶m

5、曰.訂、/古當(dāng)x=2kkeZ)時ymin-1當(dāng)x=2k+時，y.=-1-(kez)7min既無最大值也無最小值周期性2兀2兀兀奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在”2k在”2k兀數(shù).1(“上是增函數(shù)；-,2k+(kez)22n(kz)上是減函3keZ丿+,2k兀+22在（“上是增函數(shù)；bk兀一兀,2k兀（keZ“在2k兀,2k+（keZ）上是減函數(shù).在(k2,k+2J(keZ)上是增函數(shù).對稱性對稱中心(k冗,0)(kez)對稱軸x=k兀+(keZ)2對稱中心()1k+2,0l(keZ)對稱軸x=k冗(keZ)對稱中心（晉,0卜eZ）無對稱軸考點(diǎn)五正弦型（y二Asinx+如）余弦型函數(shù)（y=Aco

6、s（x+）正切性函數(shù)（y=Atan（sx+）圖像與性質(zhì)1.解析式求法（1）y=Asin（3x+）+B或y=Acos（sx+）+B解析式確定方法字母確定途徑說明A由最值確定A最大值一最小值A(chǔ)=2B由最值確定r最大值+最小值B-23由函數(shù)的周期確定相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為半個周期，最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)差的絕對值為0.25個周期由圖象上的特殊點(diǎn)確定可通過認(rèn)定特殊點(diǎn)是五點(diǎn)中的第幾個關(guān)鍵點(diǎn)，然后列方程確定；也可通過解簡單三角方程確定A、B通過圖像易求，重點(diǎn)講解、3求解思路:求解思路：冗代入圖像的確定點(diǎn)的坐標(biāo)如帶入最高點(diǎn)(珥,“或最低點(diǎn)坐標(biāo)W，打)，則+=込+2刼(kZ)

7、或3兀ex+，+2k兀(kZ)，求值.22易錯提醒：y=Asin(sx+),當(dāng)30，且x=0時的相位(sx+=)稱為初相如果不滿足0，先利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形，使之滿足上述條件，再進(jìn)行計算如y=-3sin(-2x+6O0)的初相是-60。3求解思路：利用三角函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系，解3相鄰的對稱中心之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期的四分之一.“一圖、兩域、四性”“一圖”：學(xué)好三角函數(shù)，圖像是關(guān)鍵。-向左y=5L11J1.-y八平旌聞卜單也尸iiu就來標(biāo)査為帀來的+倩R左5腫或舊仏i也U).融邸雙1“兩域”:定義域求三角函數(shù)的定義

8、域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象或數(shù)軸法來求解.值域(最值)：直接法(有界法)：利用sinx，cosx的值域.化一法：化為y=Asin(3x+)+k的形式逐步分析x+的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值).換元法：把sinx或cosx看作一個整體，化為求一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題.例：y=asinx2+bsinx+cy二asinx2+bsinxcosx+ccosx2y=(asinx+c)/(bcosx+d)y=a(sinxcosx)+bsinxcosx+c“四性”：單調(diào)性函數(shù)y=Asin(3x+)(A0,nn30)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由2kn

9、-23x+2kn+2，kGZ解得，單調(diào)遞減區(qū)間由n2kn+23x+2kn+1.5n,kZ解得;函數(shù)y二Acos(3x+)(A0,co0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由2kn+n3x+2kn+2n,kWZ解得，單調(diào)遞減區(qū)間由2kn3x+2kn+n,kZ解得；nn函數(shù)y=Atan(3x+)(A0,o0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由kn2ox+gkn+g,kZ解得,規(guī)律總結(jié)：注意3、A為負(fù)數(shù)時的處理技巧.對稱性n函數(shù)y=Asin(3x+)的圖象的對稱軸由x+=kn+(kZ)解得,對稱中心的橫坐標(biāo)由x+=kn(kZ)解得；n函數(shù)y=Acos(sx+)的圖象的對稱軸由3x+二kn(kZ)解得,對稱中心的橫坐標(biāo)由3x+二k

10、n+2(kWZ)解得；函數(shù)y=Atan(3x+)的圖象的對稱中心由x+=kn(kWZ)解得.規(guī)律總結(jié)：可以是單個角或多個角的代數(shù)式無需區(qū)分3、A符號.奇偶性n函數(shù)y=Asin(3x+),xWR是奇函數(shù)o=kn(kZ),函數(shù)y=Asin(sx+),xWR是偶函數(shù)o=kn+2(kWZ)；n函數(shù)y=Acos(3x+),xWR是奇函數(shù)o=kn+2(kWZ)；函數(shù)y=Acos(sx+),xWR是偶函數(shù)o=kn(kWZ)；kn函數(shù)y=Atan(3x+),xWR是奇函數(shù)o=一廠(kWZ).規(guī)律總結(jié)：可以是單個角或多個角的代數(shù)式無需區(qū)分3、A符號.周期性2n函數(shù)y=Asin(3x+)或y=Acos(ox+)的

11、最小正周期T=,|3|,一ny=Atan(3x+)的最小正周期T=.|3|考點(diǎn)六常見公式常見公式要做到“三用”：正用、逆用、變形用1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系sin2+cos2，1；tan=cos2 三角函數(shù)化簡思路：“去負(fù)、脫周、化銳”去負(fù)，即負(fù)角化正角：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；脫周，即將不在(0,2n)的角化為(0,2n)的角：sin(2kn+a)二sina；cos(2kn+a)二cosa；tan(2kn+a)=-tana；化銳，即將在(0,2n)的角化為銳角：6組誘導(dǎo)公式(l)sin(2k,a)sina，cos(2k,a)cosa，

12、tan(2k,a)tana(keZ).(2)sin(,a)一sina，cos(,a)一cosa，tan(,a)tana.(3)sin(-a)一sina，cos(-a)cosatan(一a)一tana2 #2 #(4)sin(,a)sina，cos(,a)一cosa，tan(，一a)一tana.(5)(兀sinaI2cosacosasina12丿2 #2 #,1acosa，cosf,1a2丿2丿一sina(6)sin口訣：奇變偶不變，符號看象限均化為“kn/2土a”，做到“兩觀察、一變”。一觀察：k是奇數(shù)還是偶數(shù)；二觀察：kn/2a終邊所在象限，再由kn/2土a終邊所在象限，確定原函數(shù)對應(yīng)函數(shù)值

13、的正負(fù)一變：正弦變余弦、余弦變正弦、正切利用商的關(guān)系變換.其中公式(1)也可理解為終邊相同角的三角函數(shù)值相同，公式(3)也可按照函數(shù)奇偶性理解兩角和差公式sin(aP)sinacosP土cosasinP；cos(aP)cosacosPsinasinP；tan(aP)tanatanP1tanatanP二倍角公式sin2asinacosa；cos2acos2asin2a2cos2a11一2sin2a；_2tanatan2a=1一tan2a二倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式，當(dāng)a=B時的特殊情況倍角是相對的，如0.5a是0.25a的倍角，3a是1.5a的倍角升降冪公式cos2a=cos2asi

14、n2a=2cos2a11一2sin2a(升幕縮角).cos2a1cos2a,sm2a1一cos2a2_降幕擴(kuò)角)，2 #2 #輔助角公式 #+9) asin+bcos=a2+b2sin(+,)(輔助角,所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定，tan,=,-*,n).a22半角公式A-1-cosAsin2=廠A：1+cosAcos=22A11一cosAtan=21+cosAA1-cosAsinAtan=2sinA1+cosA #+9) # #+9) #其它公式a1+sina=(sin+cos)2；aa1-sina=(sin-cos)2萬能公式2tan2sina=1+(tan)22cosaa1-(tan

15、)22tan2t2a=；tana=1+(tan#)21-(tan#)222和差化積sina+sina+bb=2sincoscosa+costana+tana-ba+ba-b；sina-sinb=2cossin2222a+ba-ba+ba-b=2coscos；cosa-cosb=-2sinsin2222sin(a+b)cosacosb #+9) # +9) #積化和差11sinAsinB二-cos(A+B)-cos(A-B)；cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)厶厶11sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)；cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)22三

16、倍角公式sin30=3sin9一4sin39=4sin9sin(3-9)sin(3+9)13tan29cos39=4cos39-3cos9=4cos9cos(-9)cos(+9)；tan39=3tan99=tan9tan(-9)tan(331-3tan2933常見計算技巧簡單的三角方程的通解sinx=aox=k冗+(-1)karcsina(kgZ,1aI1).cosx=aox=2k土accosa(kgZ,IaI1).tanx=aa(Ial1)xg(2k,+arcsina,2k,+,-arcsina),kgZ.sinxa(IaIa(IaI1)xg(2k,-arccosa,2k,+arccosa)

17、,kgZ.cosxa(IaIa(agR)nxg(k,+arctana,k,+),kgZ.2,tanxa(agR)nxg(k,-k,+arctana),kgZ例：已知sina*、cosa*、tana一l、sina-#、cosa-*、tana2i考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量的加法法則平行四邊形法則：共起點(diǎn)，指向?qū)蔷€；起點(diǎn)相同、終點(diǎn)相同，首尾相連、路徑不限三角形法則：首尾相連，可理解為“條條大路通羅馬”HOA+OB，OCOA-OB，BA向量的減法原則：起點(diǎn)相同、指向被減2(a+b)=2OC,1(a-b)=2BA兩個向量共線只可用三角形法則；封閉圖形、首尾相連、相加為零向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的積叫做

18、向量的數(shù)乘，記作a.其幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮(1)a，|a(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0,P在線段PP內(nèi)，X”0,12x+XxX21+Xy+Xyy=121+X2P在PP夕卜)，且12,P為PP中點(diǎn)時,1212xx=12y+yy=122y),C(x,y)則ABC重心G的坐標(biāo)是fx1+x233,:+x2如：ABC，A(x，y),B(x,1122.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,則O為ABC的外心OA2=OB2=OC2.O為ABC的重心OA+OB+OC=0.O為ABC的垂心OA-OB=OB-OC=OC

19、-OA.O為ABC的內(nèi)心a甲+bOB+cOC=0.OB+cOC.(1)(2)(3)(4)(5)3.A(X,y)、B(x2，y2)、C(x3,y)三點(diǎn)共線0C=入0A十+uOB，且入+u=1TT呻O為ABC的A的旁心|a?A(X1-X2)(y2-y3)=(X2-X3)(yi-y2)等, +9) #向量的三角形不等式和方程11aI-Ib|Ia+bIIaI+IbI當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，左邊取等號；當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，右邊取等號IIaI-IbIIIa-bIIaI+IbI當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，左邊取等號；當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，右邊取等號記憶規(guī)律：(1)與(2)的幾何意義為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊Ia+bI2+Ia-bI2=2(IaI2+IbI2)，該式幾何意義為平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和ab0推不出a與b的夾角為銳角，可能為0；ab0推不出a與b的夾角為鈍角，可能為180點(diǎn)的平移公式x=x,hx=x-hOP=OP,PP.y=y，ky=y-k注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在