數(shù)學建模連續(xù)模型類型和講解

1、數(shù)學建模連續(xù)模型類型和講解 2.1 微分方程模型2.2 變分法模型2.1.1 微分方程建模的基本方法 1、根據(jù)規(guī)律列方程例：質(zhì)量為m的球，用長為l的細線懸掛在O點，在地球引力下作往復運動，若不計懸線的質(zhì)量，求擺球m的運動方程式。2、微元法分析例：將一水平的金屬桿的兩端置于支架上，其間的距離為L，設桿件的左端維持在一固定溫度，右端也維持在另一固定溫度，假定右端溫度小于左端溫度，且溫度與時間無關(guān)。此桿的導熱系數(shù)為k，形狀類似一個扁鐵條，截面面積為A，截面周界為P，桿件表面對周圍介質(zhì)的傳熱系數(shù)設為常數(shù)a，介質(zhì)桿的周圍介質(zhì)溫度為 ， 試確定桿件中任何點的溫度與此點離熱端的距離之間的關(guān)系。3、模擬近似法

2、例：生物種群數(shù)的增長 4、微分方程建模的基本步驟由實際問題建立相應的微分方程模型。求解與分析這一模型，即求出相應的微分方程的解，或是精確解，或是近似解，其中還包括分析解的特性。利用所得的數(shù)學結(jié)果，利用解的形式和數(shù)值，利用解的定性分析，解釋實際問題，從而預測某些自然現(xiàn)象甚至社會現(xiàn)象中的特定性質(zhì)，以便達到能動地改造世界解決實際問題的目的。2.1.2 超聲速流與沖擊波從交通流模型談起城市交通擁阻的分析與治理（2001年全國大學生數(shù)學建模夏令營數(shù)學建模題目）許多大中城市的交通擁阻造成了時間的浪費、工作的耽誤和心理的煩躁，直接、間接帶來了相當大的經(jīng)濟損失。緩解擁阻需要多方努力、綜合治理，現(xiàn)在請就你所了解

3、的城市的情況，應用數(shù)學建模方法提出、分析并探討解決城市交通擁阻問題的辦法。下面的問題只是一個十字路口的典型環(huán)境下相當簡化的情形，不一定限于此。1）在你的所在城市選擇一個交通堵塞比較嚴重的十字路口，如圖，到達十字路口的四隊車流的每一隊，都有直行、左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)三個方向。在交通高峰時間實際調(diào)查這些車流的數(shù)據(jù)，以及現(xiàn)行的交通調(diào)度方案（包括路口三個方向行車道的劃分、紅綠燈的控制等）。2）分析交通堵塞的原因，提出治理方案。3）對你的方案作計算機模擬，評價其效果。交通模型考察高速公路上形勢的交通車輛的流動模型假設無窮長公路單向運動不允許超車公路無岔路符號q(x,t):時刻t單位時間內(nèi)通過點x的車輛數(shù) :時刻t

4、點x處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)u(x,t):時刻t通過點x的車流速度 為速度最大值 為密度最大值流量與速度和密度的關(guān)系連續(xù)流模型車輛數(shù)守恒：時段t,t+dt中在區(qū)間x,x+dx內(nèi)車輛數(shù)的增量應等于時段t,t+dt中通過點x的車流量減去時段t,t+dt中通過點x+dx的車輛流量（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界；（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。 基于以上原因，目前表示自由形狀大都采用參數(shù)形式。隨著計算機輔助幾何設計的研究，人們提出了許多自由形狀的表示方法，下面就介紹幾種有代表性的表示方法。假設有關(guān)函數(shù)連續(xù)可微Greenshield

5、模型流量與密度的關(guān)系連續(xù)交通流方程模型求解各種不同身高的人在一條直線上前進，人的數(shù)目足夠多，可以看成是一個連續(xù)模型。以h(t,x)表示t時刻位于x處（或其附近）的人的身高。考察函數(shù)h(t,x)所滿足的方程。模型一:所有的人以勻速a沿x軸正方向運動在直線x-at=c上，h取常數(shù)值（對應于同一個人?。┕恃卮朔较?qū)的導數(shù)滿足h(t,x)滿足的偏微分方程通解公式模型二:速度a隨時間t以及空間坐標x變化每個人的運動規(guī)律 為此人的初始位置沿著此常微分方程的任一積分曲線x=x(t)，h=h(t,x(t)=常數(shù)。特例：速度和身高成正比為簡單起見，比例系數(shù)設為1，即h=h(t,x)滿足求解求解常微分方程沿著此

6、常微分方程的任一積分曲線x=x(t)，h=h(t,x(t)=常數(shù)于是左邊常微分方程的積分曲線為直線，在其上h取常數(shù)值,且其斜率即為此常數(shù)值。解的表達式過 點的積分曲線為在其上疏散波初始時高個子在前，矮個子在后，人群越來越疏散，永遠不會出現(xiàn)追趕上的現(xiàn)象壓縮波初始時，高個子在后，矮個子在前，人群將變得越來越密集，最終要出現(xiàn)追趕上的現(xiàn)象兩種波的復合間斷交通流模型任取一時間段 及區(qū)間段 進行考慮，在時段 中在 上車輛數(shù)的增加量應等于在時段 中經(jīng)過 處的流量減去經(jīng)過 處的流量，車輛數(shù)守恒的積分形式在連續(xù)可微流場中解出現(xiàn)間斷間斷連接條件或者2.1.3 金融衍生物的定價一、期權(quán)基礎概念歐式期權(quán)(Europe

7、an Option) 在未來某一確定的時間買賣某種金融資產(chǎn)的權(quán)利美式期權(quán)(American Option) 在未來一定時期內(nèi)買賣某種金融資產(chǎn)的權(quán)利歐式期權(quán)歐式認購期權(quán) 在某一個確定的到期日，以確定的價格購買某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利歐式認沽期權(quán) 在某一個確定的到期日，以確定的價格賣出某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利美式期權(quán)美式認購期權(quán) 在未來某一段時間范圍內(nèi)以確定的價格購買某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利美式認沽期權(quán) 在未來某一段時間范圍內(nèi)以確定的價格賣出某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利期權(quán)價格買賣合約的雙方確定的關(guān)于合約的價格問題一例：今天是2003年5月5日， X股票今天的價格為每股25元，現(xiàn)有一認購期權(quán)合約，其投

8、資者可以在半年以后以25元的價格購買一股X股票，則這一合約的價格是多少呢？問題一解答忽略其他因素，只考慮基礎資產(chǎn)價格變化的影響 如果半年后，該股票的價格變?yōu)?7元，該期權(quán)合約的持有者選擇執(zhí)行該合約，盈利2元如果半年后，該股票的價格下降為23元，合約無利可圖，持有者不執(zhí)行該合約規(guī)定股票價格變化只有兩種可能，上升為27元的概率和下降為23元的概率相同，都是，則該合約的價格應該為例一中購買認購期權(quán)與直接購買股票的不同點說明以1元購買認購期權(quán)，半年后可能盈利1元，也可能損失1元，盈利和損失的比例都是初始投資的100%。但是如果投資者現(xiàn)在就以25元購買股票，盈利或者損失的比例都只有8%。影響期權(quán)價格的因

9、素基礎資產(chǎn)價格執(zhí)行價格到期期限基礎資產(chǎn)價格波動率無風險利率擬派發(fā)紅利單一因素變化對期權(quán)價格的影響變量歐式認購期權(quán)歐式認沽期權(quán)美式認購期權(quán)美式認沽期權(quán)股票價格+-+-執(zhí)行價格-+-+到期期限？+波動率+無風險利率+-+-紅利-+-+期權(quán)的作用投機保值期權(quán)定價理論的一般性期權(quán)定價理論不僅僅可以用來為期權(quán)定價，原則上，只要一種資產(chǎn)的價格隨著另一種資產(chǎn)的變化，期權(quán)定價理論都可以用來為該衍生產(chǎn)品定價。例1：煤礦的價值定價例2：菜地的價值定價利率的作用一般假定無風險利率為常數(shù)，如有必要，再放松這一假設。貼現(xiàn)公式 假定在T時刻，為了得到數(shù)量為E的貨幣，在T之前的t時刻，應投入的貨幣數(shù)量為二、金融資產(chǎn)變化模型

10、S 金融資產(chǎn)價格t 時間 資產(chǎn)價值的平均增長率 收益變動的標準差，描述價格變動的波動程度dx 取自正態(tài)分布中的一個樣本值描述金融資產(chǎn)變化的簡單方程Wiener過程物理學中的Brown 運動數(shù)學中用Wiener過程描述Brown運動滿足下列性質(zhì)的dx稱標準Wiener過程dx是隨機變量，遵從正態(tài)分布dx的均值為零dx的值相互獨立dx的表達式是在標準正態(tài)分布中取值的隨機變量標準正態(tài)分布具有零均值、單位方差并且概率密度函數(shù)為正態(tài)分布函數(shù)數(shù)學期望如果是離散型隨機變量，它的可能值為 且 定義其數(shù)學期望為如果是連續(xù)型隨機變量，它的分布函數(shù)為 定義其數(shù)學期望為方差離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量一段相當長的時間

11、T中x的變化數(shù)學期望為0方差為T標準差為任意變量S的一般的Wiener過程均值為方差為標準差為稱S遵從幾何Brown運動，其均值為Sdt，方差為 ，標準差為對數(shù)正態(tài)分布遵從幾何Brown運動的隨機變量S的密度函數(shù)遵從對數(shù)正態(tài)分布，變量S的概率密度函數(shù)是：估計假定有n+1個S的歷史數(shù)據(jù)，定義則有Ito定理假定f(S,t)是S的光滑函數(shù)，隨機變量S遵從幾何Brown運動，則期權(quán)定價的基本假定基礎資產(chǎn)價格遵從對數(shù)正態(tài)隨機過程在期權(quán)有效期內(nèi)，無風險利率r和基礎資產(chǎn)價格波動方差是時間的已知函數(shù)。套期保值沒有交易成本期權(quán)有效期內(nèi)，基礎資產(chǎn)不付紅利沒有套利機會基礎資產(chǎn)可以連續(xù)交易允許賣空，資產(chǎn)可以細分各種符

12、號說明S表示基礎資產(chǎn)t表示時間V=V(S,t)表示期權(quán)的價值C=C(S,t)表示認購期權(quán)P=P(S,t)表示認沽期權(quán)E表示執(zhí)行價格T表示到期日r表示利率表示基礎資產(chǎn)的變動程度無風險投資組合在小時間間隔中構(gòu)造投資組合消除隨機因素設在dt時間間隔內(nèi)有一常量，并假定則利用Ito定理，得到構(gòu)造無風險投資組合，取= 套利原理假定無風險利率為r，則 考慮到 并選取 得到Black-Scholes公式邊界條件 標準歐式期權(quán)邊界條件認購期權(quán)C(S,t)邊界條件認沽期權(quán)P(S,t)邊界條件認購期權(quán)定價公式 認沽期權(quán)定價公式問題二有一個6個月到期的認購期權(quán)，相關(guān)股價是110，執(zhí)行價是100，股票收益率波幅為，無風險利率為6%，求期權(quán)價值。S=110,E=100,r=0.06,T-t=0.5,代入期權(quán)價格公式得到微分方程模型習題試按年齡分組，建立用常微分方程組描述的人口模型。試對病愈后有一段時間免疫力，但不能終身免疫的傳染病，建立用偏微分方程表示的數(shù)學模型。許多海生甲殼類動物通過在水中揮動生有一排排化學感覺器官的觸角來捕獲氣味分子。在這個過程中，包含平流輸送和分子擴散兩