2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國卷1)-試卷真題、答案及詳細(xì)解析

1、絕密 啟用前試卷類型:A2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國卷1,理)本試卷共4頁,23小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1. 答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答

2、案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)z=1-i1+i+2i,則|z|=A.0B.12C.1D.22.已知集合A=x|x2-x-20,則RA=A.x|-1x2B.x|-1x2C.x|x2D.x|x-1x|x23.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收

3、入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=A.-12B.-10C.10D.125.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6.在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+1

4、4ACD.14AB+34AC7.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為A.217B.25C.3D.28.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FMFN=A.5B.6C.7D.89.已知函數(shù)f(x)=ex,x0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三

5、個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為,黑色部分記為,其余部分記為.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自,的概率分別記為p1,p2,p3,則A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=A.32B.3C.23D.412.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為A.334B.233C.324D.32二、填空題:本題共4小

6、題,每小題5分,共20分.13.若x,y滿足約束條件x-2y-20,x-y+10,y0,則z=3x+2y的最大值為.14.記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=.15.從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)16.已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.(12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,

7、AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.18.(12分)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.19.(12分)設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:OMA=OMB.20.(12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更

8、換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?21

9、.(12分)已知函數(shù)f(x)=1x-x+aln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:f(x1)-f(x2)x1-x21的解集;(2)若x(0,1)時(shí)不等式f(x)x成立,求a的取值范圍.數(shù)學(xué)(全國卷1,理)1.C因?yàn)閦=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.2.B解一元二次不等式x2-x-20,可得x2,則A=x|x2,所以RA=x|-1x2.3.A設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為1,則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2,建設(shè)前種植收入為0.6,建設(shè)后種植收入為20.37=0.74,故A不正確;建設(shè)前的其他收入為0.04,養(yǎng)殖收入為0.3,建

10、設(shè)后其他收入為0.1,養(yǎng)殖收入為0.6,故B,C正確;建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和所占比例為58%,故D正確,故選A.4.B因?yàn)?S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.設(shè)公差為d,則3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.5.D因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,則f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)處的切線斜率k=f(0)=1.故切線方程為y=x.6.A如圖,EB=-BE=-12(BA+BD)=12A

11、B-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.7.B如圖所示,易知N為CD的中點(diǎn),將圓柱的側(cè)面沿母線MC剪開,展平為矩形MCCM,易知CN=14CC=4,MC=2,從M到N的路程中最短路徑為MN.在RtMCN中,MN=MC2+NC2=25.8.D易知F(1,0),過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線方程為y=23(x+2).聯(lián)立拋物線方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨設(shè)M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.9.C要使得方程g(x)=f(x)+x+a有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程f(

12、x)=-x-a有兩個(gè)實(shí)根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x-a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),從圖象可知,必須使得直線y=-x-a位于直線y=-x+1的下方,所以-a1,即a-1.故選C.10.A設(shè)AB=b,AC=a,BC=c,則a2+b2=c2.所以以BC為直徑的圓面積為c22,以AB為直徑的圓面積為b22,以AC為直徑的圓面積為a22.所以S=12ab,S=12b24+12a24-12c24-12ab=12(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,S=12c24-12ab,所以S=S,由幾何概型,知p1=p2.11.B由條件知F(2,0),漸近線方程為y=33x,所以NOF=MOF=30,MON

13、=6090.不妨設(shè)OMN=90,則|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30=3,所以|MN|=3.12.A滿足題設(shè)的平面可以是與平面A1BC1平行的平面,如圖(1)所示.圖(1)再將平面A1BC平移,得到如圖(2)所示的六邊形.圖(2)圖(3)設(shè)AE=a,如圖(3)所示,可得截面面積為S=122(1-a)+2a+2a232-312(2a)232=32(-2a2+2a+1),所以當(dāng)a=12時(shí),Smax=32-214+212+1=334.13.6作出可行域,如圖陰影部分所示(包括邊界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直線y=-32x并向上平移,顯

14、然l過點(diǎn)B(2,0)時(shí),z取最大值,zmax=32+0=6.14.-63Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1(n2).-,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n2).又S1=2a1+1,a1=-1.an是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則S6=-1(1-26)1-2=-63.15.16方法一:當(dāng)3人中恰有1位女生時(shí),有C21C42=12種選法.當(dāng)3人中有2位女生時(shí),有C22C41=4種選法.故不同的選法共有12+4=16種.方法二:6人中選3人共有C63種選法,當(dāng)3人全是男生時(shí)有C43種選法,所以至少有1位女生入選時(shí)有C63-C43=16種選法.16.-332由題意可得T=

15、2是f(x)=2sin x+sin 2x的一個(gè)周期,所以求f(x)的最小值可考慮求f(x)在0,2)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.令f(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x0,2)時(shí),解得x=3或x=53或x=.因?yàn)閒(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=3,x=53,x=或x=0時(shí)取到,且f3=332,f53=-332,f()=0,f(0)=0,所以函數(shù)f(x)的最小值為-332.17.解 (1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由題設(shè)知,5sin4

16、5=2sinADB,所以sinADB=25.由題設(shè)知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.18.解 (1)由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HF的方向?yàn)閥軸正方向,|BF|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以

17、PE=3.又PF=1,EF=2,故PEPF.可得PH=32,EH=32.則H(0,0,0),P0,0,32,D-1,-32,0,DP=1,32,32,HP=0,0,32為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為,則sin =HPDP|HP|DP|=343=34.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為34.19.解 (1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.由已知可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,22或1,-22.所以AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2.(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),OMA=OMB=0,當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線,所以O(shè)MA=OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)

18、,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x12,x20;當(dāng)p(0.1,1)時(shí),f(p)400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).21.解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.若a2,則f(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=1時(shí)f(x)=0,所以f(x)在(0,+)單調(diào)遞減.若a2,令f(x)=0得,x=a-a2-42或x=a+a2-42.當(dāng)x0,a-a2-42a+a2-42,+時(shí),f(x)0.所以f(x)在0,a-a2-42,a+a2-42,+單調(diào)遞減,在a-a2-42,a+a2-42單調(diào)遞增.(2)由(1)知,f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨設(shè)x11.由于f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+aln x1-ln x2x1-x2=-2+aln x1-ln x2x1-x2=-2+a-2ln x21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x2a-2等價(jià)于1x2-x2+2ln x20.設(shè)函數(shù)g(x)=1x-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)單調(diào)遞減,又g(1)=0,從而當(dāng)x(1