2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國Ⅲ卷)文-試卷真題、答案及詳細(xì)解析

1、絕密 啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國卷,文)(本試卷共4頁,23小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=1,2,3,5,7,11,B=x|3x0)交于D,E兩點(diǎn),若ODOE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)8.點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()A.1B.2C.3D.29.右圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+2310.設(shè)a=log32,b=l

2、og53,c=23,則()A.acbB.abcC.bcaD.ca0,b0)的一條漸近線為y=2x,則C的離心率為.15.設(shè)函數(shù)f(x)=exx+a.若f(1)=e4,則a=.16.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為數(shù)列l(wèi)og3an的前n項(xiàng)和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.18.(12

3、分)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)0,200(200,400(400,6001(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的22列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中

4、到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?人次400人次400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.19.(12分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.證明:(1)當(dāng)AB=BC時(shí),EFAC;(2)點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.21.(12分)已知橢圓C:x225+y2m2=

5、1(0m5)的離心率為154,A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q在直線x=6上,且|BP|=|BQ|,BPBQ,求APQ的面積.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2-t-t2,y=2-3t+t2(t為參數(shù)且t1),C與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn).(1)求|AB|;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求直線AB的極坐標(biāo)方程.23.選修45:不等式選講(10分)設(shè)a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(

6、1)證明:ab+bc+ca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c中的最大值,證明:maxa,b,c34.2020年數(shù)學(xué)(全國卷,文)查缺補(bǔ)漏表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏1(集合)選擇題集合的基本運(yùn)算(交集);數(shù)學(xué)運(yùn)算4,10,12,15,20(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))選擇題函數(shù)應(yīng)用;數(shù)學(xué)建模選擇題對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算;數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題函數(shù)的性質(zhì);邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、利用某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求解參數(shù);數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)、求參數(shù)的取值范圍;數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算5,11(三角函數(shù)與解三角形)選擇題三角恒等變換;數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題解三角形、三角公式;數(shù)學(xué)運(yùn)

7、算6(平面向量)選擇題平面向量的數(shù)量積、軌跡與軌跡方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象17(數(shù)列)解答題等比數(shù)列基本量的計(jì)算、等差數(shù)列的判斷與求和公式的應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算13(不等式)填空題線性規(guī)劃;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算9,16,19(立體幾何)選擇題三視圖求表面積;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題空間圖形的位置關(guān)系(球切接于圓錐)、球的體積;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題空間線線垂直的證明、點(diǎn)線、面的位置關(guān)系;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算7,8,14,21(平面解析幾何)選擇題直線與拋物線的位置關(guān)系(相交)、拋物線的焦點(diǎn);直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題點(diǎn)到直線的距離;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題雙曲線的漸近線與離心率;數(shù)學(xué)

8、運(yùn)算解答題求橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系;邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算續(xù)表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏3,18(概率與統(tǒng)計(jì))選擇題方差;數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題互斥事件的概率、均值估計(jì)、獨(dú)立性檢驗(yàn);數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析2(復(fù)數(shù))選擇題復(fù)數(shù)的運(yùn)算(除法)、共軛復(fù)數(shù);數(shù)學(xué)運(yùn)算22(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)解答題參數(shù)方程的應(yīng)用、直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算23(不等式選講)解答題重要不等式的應(yīng)用、不等式證明;邏輯推理【試題分析】2020年全國卷文科數(shù)學(xué),突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)(約占40%)以及主干內(nèi)容的考查,如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(32分),立體幾何(22分),平面解析幾何(27分),概率與統(tǒng)計(jì)(17分)

9、,三角函數(shù)與解三角形(10分),數(shù)列(12分).縱觀全卷,在穩(wěn)定中求創(chuàng)新,重視對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法與能力的考查,關(guān)注學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí),試卷梯度明顯,有良好的區(qū)分度.試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì),突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用,突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查.第4題以新冠疫情為背景,考查數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用,突出了數(shù)學(xué)的實(shí)用性,考查學(xué)生的分析能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).第18題以空氣質(zhì)量與健康鍛煉設(shè)計(jì)問題,考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)中實(shí)際數(shù)據(jù)的分析處理能力,培養(yǎng)學(xué)生的生態(tài)文明與健康觀念.1.B根據(jù)交集的定義,AB=5,7,11.故選B.2.D由z(1+i)=1-

10、i,知z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,則z=i.故選D.3.C設(shè)x1,x2,xn的平均數(shù)為x,方差為s2,10 x1,10 x2,10 xn的平均數(shù)為x,方差為s2,則s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,x=10 x,故s2=1n(10 x1-x)2+(10 x2-x)2+(10 xn-x)2=1n(10 x1-10 x)2+(10 x2-10 x)2+(10 xn-10 x)2=102s2,又s2=0.01,故s2=1000.01=1.故選C.4.C由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*-53)=119,

11、兩邊取以e為底的對(duì)數(shù),得-0.23(t*-53)=-ln 19-3,所以t*66.5.B根據(jù)兩角和的正弦公式展開得sin +sin+3=sin +12sin +32cos =32sin +32cos =1,即3sin+6=1,解得sin+6=33.故選B.6.A以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(-a,0),則B(a,0),C(x,y),則AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由ACBC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即點(diǎn)C的軌跡為圓.故選A.7.B拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱,直線x=2垂直于x軸,又ODOE,ODE是

12、等腰直角三角形.不妨設(shè)點(diǎn)D在第一象限,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2),將其代入y2=2px,得p=1,所以拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為12,0.8.B直線y=k(x+1)過定點(diǎn)(-1,0),當(dāng)過點(diǎn)(0,-1)與點(diǎn)(-1,0)的直線與直線y=k(x+1)垂直時(shí),點(diǎn)(-1,0)到直線y=k(x+1)的距離最大,故最大距離等于(0,-1)和(-1,0)兩點(diǎn)之間的距離,為2.故選B.9.C由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,是棱長為2的正方體一角,其表面積為31222+122222sin 60=6+23.10.A32a=32log32=log3223=log981,a1,b23.又c=23,ac400空氣質(zhì)量好3337

13、空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得K2=100(338-2237)2554570305.820.由于5.8203.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).19.證明 (1)如圖,連接BD,B1D1.因?yàn)锳B=BC,所以四邊形ABCD為正方形,故ACBD.又因?yàn)锽B1平面ABCD,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如圖,在棱AA1上取點(diǎn)G,使得AG=2GA1,連接GD1,FC1,FG.因?yàn)镈1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四邊形ED1GA為平行四邊形,故AEGD1.因?yàn)锽

14、1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四邊形FGD1C1為平行四邊形,故GD1FC1.于是AEFC1.所以A,E,F,C1四點(diǎn)共面,即點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).20.解 (1)f(x)=3x2-k.當(dāng)k=0時(shí),f(x)=x3,故f(x)在(-,+)單調(diào)遞增;當(dāng)k0,故f(x)在(-,+)單調(diào)遞增.當(dāng)k0時(shí),令f(x)=0,得x=3k3.當(dāng)x-,-3k3時(shí),f(x)0;當(dāng)x-3k3,3k3時(shí),f(x)0.故f(x)在-,-3k3,3k3,+單調(diào)遞增,在-3k3,3k3單調(diào)遞減.(2)由(1)知,當(dāng)k0時(shí),f(x)在(-,+)單調(diào)遞增,f(x)不可能有三個(gè)

15、零點(diǎn).當(dāng)k0時(shí),x=-3k3為f(x)的極大值點(diǎn),x=3k3為f(x)的極小值點(diǎn).此時(shí),-k-1-3k33k3k+1且f(-k-1)0,f-3k30.根據(jù)f(x)的單調(diào)性,當(dāng)且僅當(dāng)f3k30,即k2-2k3k90時(shí),f(x)有三個(gè)零點(diǎn),解得k0,由題意知yP0.由已知可得B(5,0),直線BP的方程為y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ|=1+yQ2.因?yàn)閨BP|=|BQ|,所以yP=1,將yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直線BP的方程得yQ=2或8.所以點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直線P1Q1的方程為y=13x,點(diǎn)A(-5,0)到直線P1Q1的距離為102,故AP1Q1的面積為1210210=52.|P2Q2|=130,直線P2Q2的方程為y=79x+103,點(diǎn)A到直線P2Q2的距離為13026,故AP2Q2的面積為1213026130=52.綜上,APQ的面積為52.22.解 (1)因?yàn)閠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C與y軸的