6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2課時）正弦定理（1）

1、余弦定理、正弦定理第2課時正弦定理教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊（人教A版）第六章平面向量及其應(yīng)用， 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)正弦定理，用正弦定理來解三角形。正弦定理是三角形理論中的一個重要內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系。 在此之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)、余弦定理，知識儲藏已足夠。它是后續(xù)課程中解三角形的 理論依據(jù)，也是解決實際生活中許多測量問題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形打下 堅實基礎(chǔ)，并能在實際應(yīng)用中靈活變通。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A理解并掌握正弦定理的證明；B.運用正弦定理解三角形；C探索正弦定理的證

2、明過程，并能掌握多 種證明方法。.數(shù)學(xué)抽象：正弦定理的識記；.邏輯推理：正弦定理的證明；.數(shù)學(xué)運算：用正弦定理解三角形；教學(xué)重難點.教學(xué)重點：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及應(yīng)用；.教學(xué)難點：正弦定理的探索及證明，兩邊和一對角解三角形時三角形解的個數(shù)。課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.余弦定理及其推論【答案】a1 =b2 +c2 -2bccosA, b2 =a2 +c2 -2accosBc2 = a2 +b2 -2abcosC, b2 +c2 -a2_ a2 +c2-b2 k a1 +b2 -c22bclac2ab二、探索新知探究：余弦定理及其推論

3、分別給出了兩邊及其夾角，三邊直 接解三角形的公式。如果兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三 角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三邊、三角之間的什么關(guān)系式？【分析】在直角三角形ABC中，由銳角三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得sin A = ,sinB = c ca b=csin A sin BsinC = l,所以a _ b _ csin A sinB sinCa h c思考1：對于一般的三角形， = - =一仍然成立嗎? sin A sinBsinC【解析】分銳角三角形、鈍角三角形證明。(1)在銳角三角形A4BC中。過點a作單位向量，垂直于ACo由+= 兩邊同乘以單位向量j 得,J (AC

4、+CB) = j AB,那么 jAC+JC3 = /AB,所以通過復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)， 引入本節(jié)新課。建立 知識間的聯(lián)系，提高 學(xué)生概括、類比推理 的能力。通過探究，由直 角三角形得一結(jié)論， 提高學(xué)生的解決問 題、分析問題的能 力。通過思考，分析在銳 角三角形、鈍角三角 形該式子成立，得正 弦定理。提高學(xué)生分 析問題、概括能力。171| ACcos90+| jCB cos(90-C) H JII AB|cos(90- A)sin A sinC整理得 aisnC = csin A /.-=- b csin B sinC同理，過點C作與CB垂直的單位向量可得sin A sin 5 sinC(2)在鈍角三

5、角形AABC中，不妨設(shè)A為鈍角，6 如圖。過點A作與AC垂直的單位向量了。人a h c同理可得一 二，一 =一。sin A sin BsinC1.正弦定理：在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,口門 a b c即-=-=-sin A sin B sin C變形：(1) : /?: c = sin A: sin B: sin C ；z 、a sin A a sin A b sinBb sinB c sinC c sinC(2): = -= ;，二 ;思考2：利用正弦定理可以解決一些怎么樣的解三角形問題呢？【分析】正弦定理可用于兩類：(1)三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊與另一角；、品

6、一中生 . 止通過思考，進一步(2)三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，計算其他的角與邊.刀丁什說的、一中 解正弦定理的運用例1 .在AA5c中，A = 15,B = 45,c = 3 +JW,解這個三角形。提高學(xué)生分析問題【解析】由三角形內(nèi)角和定理，得的能力。C = 180(A + 8) = 180(15+45) = 120由正弦定理，得_ csinA _(3 + g)sinl50 _ (3 + J)sin(45 30)sin C sin 120sin 120(3 +V3)(sin 45 cos30 - cos45 sin 30)sinl20（3 +揚（巨叵巨，）一上。=叵V3csin B (

7、3 +V3)sin 450 (3 + 3)sin C sin 120V3TX- = V6 + V2例2 .在AABC中，B = 30,b =夜,。=2,解這個三角形。叼 百丁武m csinB 2sin30 V2 內(nèi)生角牛：由正弦ze理，得sinC = 產(chǎn)=，因為b 叵 2cb,B = 30,所以30 vCvl80。于是。= 45 或C = 135。(1)當(dāng)。= 45 時，A = 105此時a =Z?sin A V2 sin 105 V2 sin(60 +45)sin B sin 30sin 30V2(sin 60 cos 45 +cos60 sin 45)通過例題讓學(xué) 生熟悉正弦定理的 運用，

8、提高學(xué)生運用 所學(xué)知識解決問題 的能力。sin 30叵心x叵+ 1當(dāng)22 2 2 =C + 12(2)當(dāng) C = 135 時，A = 15。此時Z?sin A _ V2 sin 15 _ &sin (45 30)sin B sin 30sin 30夜(sin 45 cos30 - cos45 sin 30)sin 30乙叵V3 V2 17 2 (xx 一)一t乙工=6一1。2三、達標(biāo)檢測.判斷正誤(1)正弦定理不適用直角三角形.()通過練習(xí)鞏固本節(jié) 所學(xué)知識，通過學(xué)生 解決問題的能力，感 悟其中蘊含的數(shù)學(xué) 思想，增強學(xué)生的應(yīng) 用意識。(2)在ABC 中，Z?sin A = asinB總成立.(

9、)在一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值.()【答案】(l)x (2)sinB,那么有()ababa,匕的大小無法判定【答案】c【解析】因為總=蔡，所以胃=需.在中，三個內(nèi)角A, B,。的對邊分別為a, b, c,。 =爽，b=小,8=60。，那么A等于()A. 135 B. 90 C. 45 D. 30【答案】c,也X坐 r-。 b ,日.& tzsin B v / yJ2【解析】由而1=而得而4=丁=方=勺，4=45?；?135.又：ab, ：.AB, AA=45. r1.在ABC 中，4= q , q=，c,那么一=.【答案】1【解析】由;1=前下得sin。=交乎=+x乎=

10、3，匹又0b, A5=450.A = 60。或120。.當(dāng) A = 60。時，C=180o-45-60o = 75,_/?sin C_750_加+也sin B sin 45。-2；當(dāng) A=120。時，C=180o-45-120o=15,_ /?sin C_小sin 15。_加一也sin B sin 450 -2,綜上，可知 A 60。，C-75, cV ?；?A120, C15。，c 2.四、小結(jié).正弦定理；.利用正弦定理可以解決的三角形。五、作業(yè)習(xí)題 6.47 (1) , 10 題通過總結(jié)，讓學(xué)生 進一步鞏固木節(jié)所 學(xué)內(nèi)容，提高概括能 力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué) 運算能力和邏輯推 理能力。教學(xué)反思本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生