2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)8.3　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第八章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.平面的基本性質(zhì) 兩點(diǎn)同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一條2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 3.異面直線所成的角(1)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的叫做異面直線a與b所成的角.4.等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).銳角(或直角)常用結(jié)論1.公理2的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有

2、且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.2.異面直線判定的一個定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.3.唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.()(2)兩個平面,有一個公共點(diǎn)A,就說,相交于A點(diǎn),記作=A ()(3)已知a

3、,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b不可能是平行直線.()(4)兩個不重合的平面,有一條公共直線a,就說平面,相交,并記作=a.()(5)若a,b是兩條直線,是兩個平面,且a,b,則a,b是異面直線.()2. 下列命題正確的個數(shù)為()梯形一定是平面圖形;若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行;兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;如果兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合.A.0B.1C.2D.3答案 C解析 因梯形有一組對邊平行,所以梯形可以確定一個平面,故正確;如等腰三角形中,AB,AC與底邊直線BC所成的角相等,而直線AB,AC不平行,故錯誤;兩兩相交的三條直線,

4、比如墻角處的三條交線最多可以確定三個平面,故正確;如果兩個平面有三個共線的公共點(diǎn),這兩個平面不重合,故錯誤.故選C.3.(2020浙江,6)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l,m,n.“l(fā),m,n共面”是“l(fā),m,n兩兩相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 B解析 由條件可知,當(dāng)m,n,l在同一平面內(nèi)時,三條直線不一定兩兩相交,有可能兩條直線平行;或三條直線平行;反過來,當(dāng)空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m,n,l兩兩相交時,如圖,三個不同的交點(diǎn)確定一個平面,則m,n,l在同一平面內(nèi),所以“m,n,l”共面是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件

5、.故選B.4.(2020河南鶴壁模擬)下列命題中,真命題的個數(shù)為()如果兩個平面有三個不在同一條直線上的公共點(diǎn),那么這兩個平面重合;兩條直線可以確定一個平面;空間中,相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi);若M,M,=l,則Ml.A.1B.2C.3D.4答案 B解析 根據(jù)公理2,可判斷是真命題;兩條異面直線不能確定一個平面,故是假命題;在空間中,相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角),故是假命題;根據(jù)平面的性質(zhì)可知是真命題.綜上,真命題的個數(shù)為2.5.設(shè)l,m是兩條不同的直線,是一個平面,以下命題正確的是()A.若l,m,則lmB.若l,ml,則mC.若l,ml,則mD.若l,m,則lm答案

6、D解析 由l,m是兩條不同的直線,是一個平面,知:在A中,若l,m,則l與m相交、平行或異面,故A錯誤;在B中,若l,ml,則m或m,故B錯誤;在C中,若l,ml,則m與相交、平行或m,故C錯誤;在D中,若l,m,則由線面垂直的性質(zhì)定理得lm,故D正確.故選D.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】 (1)(2020湖北襄陽五中模擬)以下命題中,正確命題的個數(shù)是()不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面;若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;依次首尾相接的四條線段必共面.A.0B.1C.2D.3(2

7、)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC與BD交于點(diǎn)M,則點(diǎn)O與直線C1M的關(guān)系是.答案 (1)B(2)點(diǎn)O在直線C1M上解析 (1)正確,可以用反證法證明,假設(shè)任意三點(diǎn)共線,則四個點(diǎn)必共面,與不共面的四點(diǎn)矛盾;若點(diǎn)A,B,C在同一條直線上,則A,B,C,D,E不一定共面,故錯誤;直線b,c可能是異面直線,故錯誤;當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時,四條線段不共面,故錯誤.(2)如圖所示,連接A1C,因?yàn)锳1C平面A1ACC1,OA1C,所以O(shè)平面A1ACC1,而O是平面BDC1與直線A1C的交點(diǎn),所以O(shè)平面BDC1,所以點(diǎn)O在平面BDC1與平面A1ACC1的交

8、線上.因?yàn)锳CBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以O(shè)C1M.解題心得 共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法:首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個平面,然后證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi);將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.(2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法:先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,=l,A,B,C,且Cl,直線ABl=M,過A,B,

9、C三點(diǎn)的平面記作,則與的交線必通過()A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M答案 D解析 A,B,MAB,M.又=l,Ml,M.根據(jù)公理3可知,M在與的交線上.同理可知,點(diǎn)C也在與的交線上.考點(diǎn)2空間兩條直線的位置關(guān)系(多考向)考向1兩直線位置關(guān)系的判定【例2】 (1)平面外有兩條直線a,b,它們在平面內(nèi)的射影分別是直線m,n,則下列命題正確的是()A.若ab,則mnB.若mn,則abC.若mn,則abD.若m和n相交,則a和b相交或異面(2)(2020四川綿陽中學(xué)模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,則EF與

10、BD1的位置關(guān)系是()A.相交但不垂直B.相交且垂直C.異面D.平行思考如何比較直觀地判斷兩直線的位置關(guān)系? 答案 (1)D(2)D解析 (1)由平面外有兩條直線a,b,它們在平面內(nèi)的射影分別是直線m,n,知:在A中,若ab,則m與n也有可能重合或平行,故A錯誤;在B中,若mn,則a與b也有可能異面,故B錯誤;在C中,若mn,則a與b平行或異面,故C錯誤;在D中,若m和n相交,由射影的性質(zhì)得a和b相交或異面,故D正確.(2)連接D1E并延長,與AD交于點(diǎn)M,由A1E=2ED,可得M為AD的中點(diǎn),連接BF并延長,交AD于點(diǎn)N,因?yàn)镃F=2FA,可得N為AD的中點(diǎn),所以M,N重合,所以EF和BD1

11、共面,且 ,所以EFBD1,故選D.考向2異面直線的判定【例3】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個結(jié)論:直線AM與CC1是相交直線;直線AM與BN是平行直線;直線BN與MB1是異面直線;直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上).思考空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法有哪些?答案 解析 因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故錯;取DD1中點(diǎn)E,連接AE,圖略,則BNAE,但AE與AM相交,故錯;因?yàn)锽1與

12、BN都在平面BCC1B1內(nèi),M在平面BCC1B1外,BN不過點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故正確;同理正確,故填.考向3異面直線所成的角【例4】 (1)(2018全國2,文9)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為()(2)(2020重慶南開中學(xué)期中)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2 ,D為棱A1B1的中點(diǎn),則異面直線AD與CB1所成角的大小為.解題心得 1.點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型,以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,準(zhǔn)確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、

13、面面垂直.2.空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法3.求解異面直線所成角的方法 方法解讀平移法通過作圖(如結(jié)合中位線、平行四邊形補(bǔ)形等)來構(gòu)造平行線,作出異面直線所成的角,通過解三角形來求解補(bǔ)形法補(bǔ)成長方體或正方體轉(zhuǎn)化法當(dāng)異面直線所成角為 時,可轉(zhuǎn)化為證明垂直對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)有兩條不同的直線m,n與兩個不同的平面,下列命題正確的是()A.m,n,且,則mnB.m,n,且,則mnC.m,n,且,則mnD.m,n,且,則mn(2)(2020遼寧大連模擬)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中點(diǎn),則異面直線BC1與PD所成的角等于()A.30B.45C.6

14、0D.90(3)在圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號)答案 (1)A(2)C(3)解析 (1)對于A,m,n,且,得mn,故正確;對于B,由m,n,得mn故錯誤;對于C,由m,n,且,得mn或m,n相交或異面,故錯誤;對于D,由m,n,且,得m,n的關(guān)系可以垂直,相交,平行,故錯誤.故選A.(2)取CD的中點(diǎn)Q,連接BQ,C1Q,P是AB的中點(diǎn),BQPD,C1BQ是異面直線BC1與PD所成的角.在C1BQ中,C1B=BQ=C1Q= ,C1BQ=60,即異面直線BC1與PD所成的角等于60,故選C.(3)圖中,

15、直線GHMN;圖中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖中,連接GM,GMHN,因此GH與MN共面;圖中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH與MN異面.所以在圖中,GH與MN異面.考點(diǎn)3空間中線面的位置關(guān)系【例5】設(shè)直線m與平面相交但不垂直,則下列說法正確的是()A.在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B.過直線m有且只有一個平面與平面垂直C.與直線m垂直的直線不可能與平面平行D.與直線m平行的平面不可能與平面垂直答案 B解析 如圖,m是平面的斜線,PA,l,lAB,則lm,平面內(nèi)所有與l平行的直線都垂直于m,故A錯;由題意可知過m有且只有一個平面PAB與平面垂

16、直,假設(shè)有兩個平面都與平面垂直,則這兩個平面的交線m應(yīng)與平面垂直,與條件矛盾,故B正確;又l,ll,l,lm,lm,故C錯;又在平面內(nèi)取不在直線AB上的一點(diǎn)D,過D可作平面與平面PAB平行,m,平面PAB,平面,故D錯.思考如何借助空間圖形確定線面位置關(guān)系?解題心得 解決這類問題的關(guān)鍵就是熟悉直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系及相應(yīng)的公理定理,歸納整理平面幾何中成立但立體幾何中不成立的命題,并在解題過程中注意避免掉入由此設(shè)下的陷阱.判斷時可由易到難進(jìn)行,一般是作圖分析,構(gòu)造出符合題設(shè)條件的圖形或反例來判斷.對點(diǎn)訓(xùn)練3已知a,b是兩條異面直線,直線c與a,b都垂直,則下列說法正確的是()A.若c平面,則aB.若c平面,則a,bC.存在平面,使得c,a,bD.存在平面,使得c,a,b答案 C解析 由a,b是兩條異面直線,直線c與a,b都垂直,知:在A中,若c平面,則a與相交、平行或a,故A錯誤;在B中,若c平面,則a,b與平面平行或a,b在平面內(nèi),故B錯誤;在C中,存在平面,使得c,a,b,故C正確;在D中,若存在平面,使得c,a,b,則ab,與已知a,b是兩條異面直線矛盾,故D錯誤.故選C.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù);公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù);公理3是證明