高等學(xué)校數(shù)學(xué)-線性函數(shù)的和與數(shù)量乘積PPT課件

1、主要內(nèi)容線性函數(shù)的和與數(shù)量乘積L(V , P) 的維數(shù)第二節(jié) 對(duì)偶空間對(duì)偶空間關(guān)閉手機(jī)積極參與心態(tài)歸零遵守時(shí)間課堂要求不要大聲喧嘩注意安全注意環(huán)境衛(wèi)生保持禮儀課間要求課后要求一、線性函數(shù)的和與數(shù)量乘積設(shè) V 是數(shù)域 P 上一個(gè) n 維線性空間，V 上全體線性函數(shù)組成的集合記作 L(V , P).可以用自然的方法在 L(V , P) 上定義加法和數(shù)量乘法.1. 線性函數(shù)的和定義2 設(shè) f , g 是 V 的兩個(gè)線性函數(shù)，定義函數(shù) f + g 如下：(f + g )() = f () + g () , V .f + g 稱為 f , g 的和.性質(zhì) f + g 是線性函數(shù).證明(f + g )(

2、+ ) = f ( + ) + g ( + )= f ( ) + f () + g ( ) + g ()= (f + g )( ) + (f + g )() ，(f + g )(k ) = k f ( ) + k g ( ) = k(f + g )( ) .證畢2. 數(shù)量乘積定義3 設(shè) f 是 V 上線性函數(shù)，對(duì) P 中任意數(shù) k，定義函數(shù) k f 如下：(k f ) () = k (f ( ) ， V ，k f 稱為 k 與 f 的數(shù)量乘積 .容易證明 k f 也是線性函數(shù).容易檢驗(yàn)，在這樣定義的加法和數(shù)量乘積下，L(V , P) 成為數(shù)域 P 上的線性空間.二、 L(V , P) 的維數(shù)取

3、定 V 的一 組基 1 , 2 , , n , 作 V 上 n 個(gè)線性函數(shù) f1 , f2 , , fn , 使得因?yàn)?fi 在基 1 , 2 , , n 上的值已確定，這樣的線性函數(shù)是存在且唯一的.對(duì) V 中向量有fi() = xi , (2)即 fi() 是 的第 i 個(gè)坐標(biāo)的值.引理 對(duì) V 中任意向量 ，有而對(duì) L(V , P) 中任意向量 f , 有證明(3) 是 (2) 的直接結(jié)論，而由 (1) 及 (3)就得證畢定理 2 L(V , P) 的維數(shù)等于 V 的維數(shù)，而且f1 , f2 , , fn 是 L(V , P) 的一組基.證明首先證明 f1 , f2 , , fn 是線性無

4、關(guān)的.設(shè)c1 f1 + c2 f2 + + cn fn = 0 (c1 , c2 , , cn P) .依次用 1 , 2 , , n 代入，即得c1 = c2 = = cn = 0 .因此 f1 , f2 , , fn 是線性無關(guān)的.又由知 L(V , P) 中任一向量都可由 f1, f2, , fn 線性表出，所以 f1 , f2 , , fn 是 L(V , P) 的一組基，于是dim L(V , P) = n = dim V .證畢三、 對(duì)偶空間1. 定義定義 4 L(V , P) 稱為 V 的對(duì)偶空間.L(V , P) 的一組基稱為 1 , 2 , , n 的對(duì)偶基.以后我們簡(jiǎn)單地把

5、 V 的對(duì)偶空間記為 V * .例 考慮實(shí)數(shù)域 R 上的 n 維線性空間 V = Pxn對(duì)任意取定的 n 個(gè)不同實(shí)數(shù) a1 , a2 , , an , 根據(jù)拉格朗日插值公式，得到 n 個(gè)多項(xiàng)式它們滿足p1(x) , p2(x) , , pn(x) 是線性無關(guān)的，因?yàn)橛蒫1 p1(x) + c2 p2(x) + + cn pn(x) = 0 ，用 ai 代入，即得 又因 V 是 n 維的，所以 p1(x) , p2(x) , , pn(x) 是 V 的一組基 .設(shè) Li V * ( i = 1 , 2 , , n ) 是在 ai 點(diǎn)的取值函數(shù)：Li(p(x) = p(ai) , p(x) V ,

6、 i = 1 ,2 , , n .則線性函數(shù) Li 滿足因此，L1 , L2 , , Ln 是 p1(x) , p2(x) , , pn(x) 的對(duì)偶基.2. 兩組基的對(duì)偶基之間的關(guān)系設(shè) V 是數(shù)域 P 上一個(gè) n 維線性空間.1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是 V 的兩組基. 它們的對(duì)偶基分別是 f1 , f2 , , fn 及 g1 , g2 , , gn . 再設(shè)(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) A，(g1 , g2 , , gn ) = (f1 , f2 , , fn ) B，其中由假設(shè)i = a1i1 + a2i2 + + anin

7、, i = 1 , 2 , , n. gj = b1j f1 + b2j f2 + + bnj fn , j = 1 , 2 , , n. 因此= b1j a1i + b2j a2i + + bnj ani =1 , i = j ;0 , i j ,i , j = 1 , 2 , , n .由矩陣乘法定義，即得BTA = E ，即 BT = A-1 .因此有下述定理：定理 3 設(shè) 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n是線性空間 V 的兩組基，它們的對(duì)偶基分別為 f1 , f2 , , fn 及 g1 , g2 , , gn .如果由 1 , 2 , , n 到 1 , 2 , ,

8、 n 的過渡矩陣為 A，那么由 f1 , f2 , , fn 到 g1 , g2 , , gn 的過渡矩陣為 (AT)-1 .設(shè) V 是 P 上一個(gè)線性空間，V * 是其對(duì)偶空間,取定 V 中一個(gè)向量 x ，定義 V * 的一個(gè)函數(shù) x* 如下：x*( f ) = f (x) , f V * .根據(jù)線性函數(shù)的定義，容易檢驗(yàn) x* 是 V * 上的一個(gè)線性函數(shù)，因此是 V * 的對(duì)偶空間 (V * )* = V * * 中的一個(gè)元素.定理 4 V 是一個(gè)線性空間，V * 是 V 的對(duì)偶空間的對(duì)偶空間.V 到 V * 的映射xx *是一個(gè)同構(gòu)映射.證明對(duì)任意 x1 , x2 V , f V* 有(x1 + x2 )* ( f ) = f (x1 + x2 )= f (x1) + f (x2)= x1* ( f ) + x2* ( f ) = (x1* + x2 * ) ( f ) ，(kx1)* ( f ) = f (kx1) = k f (x1) = k x1* ( f ) = ( k x1*)( f ) . 因此(x1 + x2 )* = x1* + x2 * ， (kx1)* = k x1* .所以這個(gè)映射保持加法和數(shù)量乘法.如果 x* 為 V * 上零函數(shù)，即對(duì)任一 f V* 都有f (x) = 0 ,則由得，x = 0 .故這個(gè)映射是單射，又因V 與