5-1數(shù)學(xué)物理方程演示教學(xué)

1、第五章 貝塞爾函數(shù)本章討論瞬時(shí)狀態(tài)圓盤上的熱傳導(dǎo)問題，通過別離變量，導(dǎo)出貝塞爾方程。然后討論 Bessel 方程的解及解的性質(zhì)，最后給出在有關(guān)問題中的應(yīng)用.5.1 貝塞爾方程的引出設(shè)有半徑為 R 的薄圓盤，其側(cè)面絕緣，邊界上溫度始終保持為零，且初始溫度，求圓盤的溫度分布規(guī)律。這個(gè)問題可以歸結(jié)為求解如下定解問題：令 ，代入方程得 進(jìn)而得齊次偏微分方程化為兩個(gè)微分方程:它的解為：(2) 亥姆霍茲方程(Helmholtz) 由邊界條件，可知：在極坐標(biāo)系下，問題可以寫成再次別離變量,令代入方程得：特征值問題：特征值：特征函數(shù)：n 階貝塞爾方程. 將 代入另一方程得由條件 以及溫度是有限的, 原問題就轉(zhuǎn)

2、化為求貝塞爾方程在條件 下的特征值和特征函數(shù).自然邊界條件第一類邊界條件做代換 ,并記方程轉(zhuǎn)化為這是 n 階貝塞爾方程的最常見的形式.用 x 表示自變量, y=y(x) 表示未知函數(shù),那么 n 階貝塞爾方程為:其中n 為任意實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù), 僅討論 的情形.5.2 貝塞爾方程的求解Gamma函數(shù)代入方程確定系數(shù) 和 c ： 比較系數(shù)得暫取由于 , 可以得到 , 有代入到 2.代入到 3.，得暫取由于 , 可以得到 , 有代入到 2.代入到 3.，得, 由得選取, 由得選取這樣，得到方程的一個(gè)特解：稱 為 n 階第一類貝塞爾函數(shù). 取 類似推導(dǎo)可得方程的一個(gè)特解：方程的兩個(gè)特解：當(dāng) n 為整數(shù)時(shí)

3、與 是線性相關(guān)的。當(dāng) n 為整數(shù)時(shí) 與 是線性相關(guān)的。在級(jí)數(shù)解法中，總是自然地約定級(jí)數(shù)解的首項(xiàng)系數(shù)不為0，但是現(xiàn)在在導(dǎo)出 時(shí)，我們選取了所以方程的通解可以表示為：當(dāng) n 不為整數(shù)時(shí), 和 線性無關(guān)，二階齊次線性方程n 不為整數(shù)如果選取方程的通解也可表示為得到另一個(gè)和 線性無關(guān)的特解：稱 為 n 階第二類貝塞爾函數(shù)或者牛曼函數(shù), n 不為整數(shù) 5.3 n為整數(shù)時(shí)貝塞爾方程的通解此時(shí)定義第二類貝塞爾函數(shù)為： 不為整數(shù).可以證明 和 線性無關(guān)，通解可寫為：當(dāng) n 為整數(shù)時(shí) 與 是線性相關(guān)的。n 為整數(shù)5.4 貝塞爾函數(shù)的遞推公式首先考慮零階和一階貝塞爾函數(shù)之間關(guān)系.分別令 n=0 及 n=1 得:建立不同階的貝塞爾函數(shù)之間遞推公式.n =0,1,2微分 的第 (k + 2) 項(xiàng)是 的 項(xiàng)系數(shù)的負(fù)值, 所以又有即一般的, 有上面兩式左邊的導(dǎo)數(shù)求出來, 并經(jīng)過化簡,那么得兩式相加減分別消去 和 , 可以得到若知道 的值,就可以求出進(jìn)而得到任意正整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的值. 貝塞爾函數(shù)的遞推公式(1)-(6) 式為對(duì)于第二類貝塞爾函數(shù), 也有相應(yīng)的遞推公式. 這里微分算子 表示算子 連續(xù)作用 m 次的縮寫. n 為半奇數(shù), 可以用初等函數(shù)來表示: 例例 求不定積分解 由 ，可得例 利用遞推公式證明P