信號與系統(tǒng)SandS-6-6課件

1、ThemeGallery PowerTemplate6-6 傳遞函數(shù)國家“十二五”規(guī)劃教材信號與系統(tǒng) 重點難點傳遞函數(shù)的定義與求解頻率響應(yīng)函數(shù)的求解6-6-1概念線性時不變離散系統(tǒng)針對任意輸入序列 所產(chǎn)生的輸出（響應(yīng)）序列 可以通過計算 和系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應(yīng) 的卷積和： 來獲得?，F(xiàn)對上式取z變換，應(yīng)用卷積性質(zhì)，就有：(7-6-1) 從應(yīng)用角度考慮，如果已知 和 ，則由上式直接可以求出系統(tǒng)輸出序列 的z變換 ，再經(jīng)過逆z變換得到系統(tǒng)的輸出 。另外，如果已知系統(tǒng)的輸入序列 ，并經(jīng)觀察或測試得到系統(tǒng)的輸出序列 ，則由上式可得到： (7-6-2)通過求 的逆z變換即可獲得系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) 系

2、統(tǒng)單位樣值響應(yīng) 的z變換由定義已知為： (7-6-3) 在這里就被稱之為系統(tǒng)函數(shù)， 單位樣值響應(yīng) 是系統(tǒng)函數(shù)的逆z變換。 系統(tǒng)函數(shù) 也叫傳遞函數(shù)或者傳輸函數(shù)。一般可以認(rèn)為是系統(tǒng)輸出的z變換 與系統(tǒng)輸入的z變換 的比值，但需要附加一個約束條件，即限定系統(tǒng)的初始條件為零。 6-6-1概念例7-6-1 設(shè)已知一系統(tǒng)的輸入信號序列是： 系統(tǒng)的輸出序列是：試求出描述系統(tǒng)行為特征的數(shù)學(xué)模型。解：根據(jù)系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的問題稱為系統(tǒng)辨識。 首先求出輸入和輸出序列的z變換6-6-1概念根據(jù)式(7-6-2)，可得到系統(tǒng)函數(shù)為：對上式求逆變換，即可獲得系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) ：6-6-1概念6-6-

3、2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程當(dāng)線性時不變系統(tǒng)由以下N階差分方程描述時，若限定系統(tǒng)初始條件為零， 則用式(7-6-2)求其系統(tǒng)函數(shù) 就顯得特別有意義： (7-6-4)對式(7-6-4)等式兩端同取z變換，運用時移性質(zhì)可得到：整理后可得：(7-6-5) 式(7-6-5)是用差分方程描述LTI系統(tǒng)時，其系統(tǒng)函數(shù) 的一般表現(xiàn)形式。 由系統(tǒng)函數(shù) 的一般形式，我們可以獲得系統(tǒng)兩種重要的特殊形式。 第一種特殊形式：當(dāng) 時，如果 ，式(7-6-5)將簡化為： (7-6-6)包含了M個零點以及在原點 處的一個M階極點；其中零點的值將由系統(tǒng)的參數(shù)集 確定。由于方程中僅含位于原點 處的極點以及M個非零值的零點， 故式(7-

4、6-6)稱之為全零點系統(tǒng)。顯然，全零點系統(tǒng)具有有限長度的單位樣值響應(yīng) （FIR，F(xiàn)inite Impulse Response）,因而又被稱之為FIR系統(tǒng)或滑動平均（MA）系統(tǒng)。6-6-2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程第二種特殊形式：當(dāng) 時，如果 ，式(7-6-5)將簡化為： (7-6-7) 式中 。包含了N個極點以及在原點 處的一個N階零點；其中極點 的值將由系統(tǒng)的參數(shù)集 確定。 由于一般不考慮在原點 處的零點，式(7-6-7) 也就僅包含非零值的極點，故稱之為全極點系統(tǒng)。由于這些極點的存在，導(dǎo)致全極點系統(tǒng)具有無限長的單位樣值響應(yīng)，因此它是IIR（IIR，Infinite Impulse Respons

5、e） 系統(tǒng)。 6-6-2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程例7-6-2 設(shè)因果LTI系統(tǒng)由以下差分方程描述： 試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 和單位樣值響應(yīng) 解：如前所述，根據(jù)式(7-6-5)可以直接寫出系統(tǒng)函數(shù)為：因為系統(tǒng)是因果的（對應(yīng)右邊序列），故單位樣值響應(yīng) 可以通過求 的逆變換得到，即：6-6-2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程例7-6-3 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式所示： 試求出對應(yīng)的系統(tǒng)差分方程。解：首先將 寫成關(guān)于 的多項式之比的形式，即對其分子、分母多項式同乘 后得： 將上式與式(7-6-5)比較，可知 因此系統(tǒng)的差分方程為：6-6-2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程6-6-3系統(tǒng)描述的不同形式應(yīng)用中有三種重要的線性時不變系統(tǒng)的描述形式：差

6、分方程：可以通過對系統(tǒng)函數(shù) 運用交叉相乘和逆z變換來得到（系統(tǒng)的差分方程）。系統(tǒng)函數(shù)：可以通過對系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)序列 進(jìn)行z變換來得到。 沖激響應(yīng)序列：可以通過對系統(tǒng)函數(shù) 的逆z變換來得到。例7-6-4 令 ，試用不同的系統(tǒng)描述形式表示之。 解：對原差分方程進(jìn)行z變換，得到經(jīng)整理后得：系統(tǒng)函數(shù)： 沖激響應(yīng)： 6-6-3系統(tǒng)描述的不同形式例7-6-5 令 ，試用不同的系統(tǒng)描述形式表示之。 解：對原差分方程進(jìn)行z變換，經(jīng)整理后得系統(tǒng)函數(shù)為 或運用交叉相乘，得到或運用前向差分或后向差分可以得到系統(tǒng)的差分方程為（前向差分形式）或（后向差分形式） 6-6-3系統(tǒng)描述的不同形式6-6-4有理系統(tǒng)函數(shù)的系

7、統(tǒng)響應(yīng)考慮由式(7-6-5)給出的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) ： (7-6-8) 式中 是 的分子多項式， 是 的分母多項式。 設(shè)輸入序列 的有理z變換為： 則 的部分分式展開為：如果系統(tǒng)具有零初始狀態(tài)，則系統(tǒng)輸出序列 的z變換就具有如下的有理形式： (7-6-9) 現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)函數(shù) 具有N個單極點 ， 具有L個單極點 ，且對所有的K和i滿足 。另外，還假設(shè)上式的分子多項式和分母多項式不存在零、極點的對消，也就是說它們沒有相同的零極點。 (7-6-10)6-6-4有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)對上式求其逆z變換，可獲得系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 如下：(7-6-11) 其中等式右端第一項是系統(tǒng)極點 （稱為系統(tǒng)的自然頻率）

8、的函數(shù)，因與外加激勵無關(guān)，故稱之為系統(tǒng)的自然響應(yīng)；而輸入序列對該部分的影響 則由系數(shù)或尺度因子 所施加。等式右端第二項是輸入序列的極點 的函數(shù)， 因是外加激勵項，故稱之為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，至于系統(tǒng)本身對第二部分的影響則由系數(shù)或尺度因子 所施加。6-6-4有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)6-6-5系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)通過式(7-6-11)分成了自然響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)兩項。其中因果信號的自然響應(yīng)應(yīng)具有如下形式：(7-6-12)其中 是系統(tǒng)的極點，而 是由初始條件和輸入序列特性所決定的系數(shù)或尺度因子。 如果對于所有的k，有 ，則可看出隨著n的增長，自然響應(yīng) 將呈指數(shù)衰減項。在這種情況下， 系統(tǒng)的

9、自然響應(yīng)又可稱之為暫態(tài)響應(yīng)。由式(7-6-11)知，系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)應(yīng)具有如下形式：(7-6-13) 其中 是強(qiáng)迫函數(shù)的極點，而 是由輸入序列和系統(tǒng)特性所決定的系數(shù)或尺度因子。對于因果正弦輸入序列，它的極點位于單位圓上，而且強(qiáng)迫響應(yīng)也是正弦信號，對所有 其值均不為零，此時，系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)又被稱之為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-6-5系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 例7-6-6 當(dāng)輸入序列 時，求出由差分方程 描述的系統(tǒng)的響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。 解：系統(tǒng)函數(shù)為因此系統(tǒng)在 處有一個極點。輸入序列的z變換是（查表）： 因此， 自然（或暫態(tài)）響應(yīng)為：強(qiáng)迫（或穩(wěn)態(tài)）響應(yīng)為：6-6-5系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)6-6-6因果

10、性和穩(wěn)定性一個因果線性時不變系統(tǒng)是一個單位樣值響應(yīng) 滿足 因此，因果線性時不變系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) 的系統(tǒng)。可以通過對系統(tǒng)函數(shù) 求右邊序列的逆z變換得到。 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù) 的收斂域是以r為半徑的圓的圓外部分（包括 點）時， 系統(tǒng)就是因果的。時域中線性時不變系統(tǒng)的有界輸入、有界輸出（BIBO）的穩(wěn)定性定義要求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)序列 是絕對可求和的。 如果連續(xù)時間因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，且滿足以下兩個條件：1）分子多項式的階次小于或等于分母多項式的階次；2）所有極點位于s的左半開平面，則系統(tǒng)具有BIBO穩(wěn)定性。針對一個因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù) 的極點位于z平面的單位圓內(nèi)，系統(tǒng)就滿足BIBO穩(wěn)定性。 1

11、）輸入信號即使有界，分布于單位圓外的極點 也將導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出以指數(shù)形式遞增。 例如系統(tǒng)函數(shù)為 的系統(tǒng)輸出有遞增指數(shù) 6-6-6因果性和穩(wěn)定性2）分布于單位圓上的多重極點也將導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出以指數(shù)形式遞增。例如系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)將在 中產(chǎn)生一個斜坡函數(shù)。 3）分布于單位圓上的單極點（即無重根）也將導(dǎo)致系統(tǒng)的無界輸出。 例如單位圓 上的單極點一般由形如 的系統(tǒng)函數(shù)給出。如果系統(tǒng)輸入 在 上也有極點，則系統(tǒng)輸出響應(yīng) 將含有 ，這就意味著系統(tǒng)輸出有遞增項存在。 上述形式中的時域項均不滿足絕對可求和條件，因此這些項的存在就直接導(dǎo)致了系統(tǒng)的不穩(wěn)定。有界函數(shù)，則系統(tǒng)的全部極點必須位于z平面的單位圓內(nèi)。滿足這個條

12、件，對于任意有界輸入序列及任意的初始條件，如果希望系統(tǒng)的輸出序列也是 就稱系統(tǒng)具有漸進(jìn)穩(wěn)定性。6-6-6因果性和穩(wěn)定性例7-6-7 試討論系統(tǒng)函數(shù)為 的遞歸濾波器的穩(wěn)定性。 解：如果系統(tǒng)的收斂域為 ，則系統(tǒng)沖激響應(yīng) ，因此系統(tǒng)是因果的。 系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則要求 。 如果系統(tǒng)的收斂域為 ，則系統(tǒng)沖激響應(yīng) ， 因此系統(tǒng)是非因果的。系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則要求 。 6-6-6因果性和穩(wěn)定性例7-6-8 已知一個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。假設(shè)系統(tǒng)是：a) 穩(wěn)定的；b) 因果的。解：系統(tǒng)的3個極點是 和 。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么收斂域應(yīng)包括單位圓。顯然，位于單位圓內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)極點對 構(gòu)成系統(tǒng)單位樣值

13、響應(yīng)中的右邊序列項。而位于一外的極點則構(gòu)成系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)中的左邊序列項。 因此，對于情況a)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的有：6-6-6因果性和穩(wěn)定性對于情況b），因為系統(tǒng)是因果的，系統(tǒng)所有的極點構(gòu)成了單位樣值響應(yīng)中的右邊序列項，故有：另外，由于極點 位于單位圓外，因此該系統(tǒng)不是穩(wěn)定的的因果系統(tǒng)。6-6-6因果性和穩(wěn)定性6-6-7逆系統(tǒng)定義：如果系統(tǒng)的輸入可由系統(tǒng)的輸出唯一地恢復(fù)，就稱為可逆系統(tǒng)。 可逆系統(tǒng)的概念可用下圖說明。級聯(lián)系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)等于 與逆系統(tǒng) 的卷積和， 同時要求該級聯(lián)系統(tǒng)的輸出等于輸入，即(7-6-14)顯然滿足上式的條件是：(7-6-15) 對上式兩邊取z變換，可得到逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

14、滿足：(7-6-16) 或(7-6-17)因此，線性非時變離散逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，就是原系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的逆。 如果 由式(7-6-8)描述，則其逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(7-6-18) 的零點是 的極點，而 的極點是 的零點。6-6-7逆系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)線性非時變離散系統(tǒng) 的所有零點都位于單位圓內(nèi)時，才存在 的穩(wěn)定的因果逆系統(tǒng)。 若 有任何一個零點位于單位圓外，就不存在，穩(wěn)定的因果逆系統(tǒng)。 如果一個系統(tǒng)的所有零點和極點均分布于單位圓內(nèi)，則稱其為最小相位系統(tǒng)。6-6-7逆系統(tǒng)例7-6-9 已知一個系統(tǒng)的差分方程為 求出逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，并且判斷該系統(tǒng)是否存在穩(wěn)定的的因果逆系統(tǒng)。解：系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為： 系統(tǒng)函數(shù)

15、的零點是 和 ，二階極點為 。 求出的逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：7-6-7逆系統(tǒng)6-6-7逆系統(tǒng)顯然，逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零點是二階零點 ，極點為 和 。由于極點都在單位圓內(nèi)，故逆系統(tǒng)是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)； 又由于逆系統(tǒng)的二階零點也在單位圓內(nèi)，故該系統(tǒng)又是最小相位系統(tǒng)。例7-6-10 已知一個二徑信道的差分方程為 求出逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程描述形式，要使逆系統(tǒng)是 穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，參數(shù)a應(yīng)滿足什么條件。解：二徑信道的系統(tǒng)函數(shù)為： 二徑信道逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：它滿足如下的差分方程：當(dāng) 時，逆系統(tǒng)是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。6-6-7逆系統(tǒng)6-6-8頻率響應(yīng)函數(shù)如果系統(tǒng)函數(shù) 的收斂域包括單位圓( )，則可以在這個單位

16、圓上計算 ，得到頻率響應(yīng)函數(shù)或傳遞函數(shù) 。它正好是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)序列 的DTFT。 現(xiàn)將式(7-6-5)的分子、分母寫成z的降冪形式并進(jìn)行因式分解，即(7-6-19) 則頻率響應(yīng)為(7-6-20) 式中分子中的因子 可視為z平面中由零點 指向單位圓上 處的向量， 分母中因子 可視為z平面中由極點 指向單位圓上 處的向量，如圖所示。 6-6-8頻率響應(yīng)函數(shù)6-6-8頻率響應(yīng)函數(shù)幅度響應(yīng)函數(shù)為(7-6-21)相位響應(yīng)函數(shù)是(7-6-22)上式可看成是常數(shù)項、線性相位項與非線性相位項三個部分的線性和形式。如果已知離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) ，則還可以根據(jù)定義直接求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即：(7-6-23) 6-6-8頻率響應(yīng)函數(shù)例7-6-11 求出以下系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 1) 單位樣值響