相似三角形培優(yōu)專題

1、相似三角形培優(yōu)專題1.如圖，在 Rt&BC 中，Z ACB=90 , CDLAB 于 D.求證：(1)4ACDs ABC;2(2)AC =AD*B;2(3)CD =ADRB.證明：(1)/ACB=90 , CD LAB,.Z CDA = 90 = Z ACB,. Z A= Z A,.ACDA ABC./A ACDA ABC,.AC =ADAB AC 2 .AC = AD SB;.CDAB,.Z ADC= Z BDC = 90 ,. /A+/ACD = 90 , Z ACB= 90.Z A+ZB= 90Z ACD= Z B.A ACDA BCD,.CD _ADBD - CD 2.CD = ADZ

2、)B .2.如圖，點(diǎn) C, D在線段AB上，4PCD是等邊三角形，且 /APB=120,求證: (1)AACPA PDB,(2)CD2=ACjBD.證明：(1);4 PCD是等邊三角形，/ PCD = / PDC = / CPD = 60, ./ACP= ZPDB = 120,. / APB= 120 ,./ APC+/ BPD= 60,. / CAP+Z APC=60./ BPD= / CAP, .,.ACPAPDB ;(2)由(1)得 AACPs PDB ,PD BD.PCD是等邊三角形,.-.PC = PD=CD,AC CD一二一，CD BD.CD2=AC?BD.3.如圖，正方形 DEF

3、G的邊EF在4ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊 AB、AC上，已知那BC 的邊 BC= 15,高 AH= 10,(1)求證：AADGsABC;(2)求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和面積.解：(1)二.四邊形形DEFG是正方形,DG / BC.ADGAABC;(2)如圖，高 AH交DG于M, 設(shè)正方形 DEFG的邊長(zhǎng)為x,則DE = MH=x,AM = AH - MH= 10 - x,. ADGA ABC,DG AM- ，BC AH,x 10f，1510. . x = 6,x2= 36.答：正方形DEFG的邊長(zhǎng)和面積分別為 6, 36.4.如圖，有一塊三角形的余料 ABC,它的高 AH = 40mm,邊

4、BC=80mm,要把它加工成一個(gè)矩 形，使矩形的一邊 EF落在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn) D、G分別在AB、AC上.(1)求證： ADGA ABC;(2)設(shè)DE = xmm,矩形DEFG的面積為ymm2,寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；解：(1)二.四邊形DEFG是矩形,DG / EF,.ADGAABC, DE=xRH = DE = xAR=AH-RH =40-x.ADGAABC,DG AR 二 , BC AH.DG 40 -x, , ， 8040 .DG = 2 (40-x)y = x?2 ( 40 - x) = - 2x2+80 x5.如圖，在 GABC中，Z B=90, AB=20m, BC=12m,

5、點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿 AB邊向點(diǎn) B以2m/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以1m/s的速度移動(dòng)，P、Q分別從A、B點(diǎn)同時(shí) 出發(fā)，時(shí)間為ts.求當(dāng)t為何值時(shí)，APBQ與祥BC相似？解：由題意得，BP=20-2t, BQ-t,當(dāng)4PBQ與AABC相似時(shí)，=或=BA BC BC BA TOC o 1-5 h z 20-2tt 20-2tt即1=一或二一，2012122060100解得，t二/或t二大，1113“100當(dāng)t=7T或t二二時(shí)，4PBQ與9BC相似；6.如圖，已知AABC中AB=6cm, AC=4cm,動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從 A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿 AC、B-A 方向勻速移動(dòng)，它們的

6、速度分別是1cm/s和2cm/s,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，D、E兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)， 那DE與9BC相似？解：根據(jù)題意得： BE=2t, AD = t,.AE=6- 2t,AE AD當(dāng)=時(shí)，AB AC TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 6-2t tI?即 =一，解得：t二；647AE AD當(dāng)一=時(shí)，AC AB HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 6-2t tg即 * =一,解得：t二-；464g 12綜上所述：當(dāng)t二二或一時(shí)，AADE與AAB

7、C相似.4 7.如圖所示，矩形 ABCD中，AB=8, BC= 6, P是線段BC上的一點(diǎn)(P不與B重合)，M是DB 上一點(diǎn)且 BP=DM,設(shè)BP=x, 4MBP的面積為 y.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)寫(xiě)出自變量的取值范圍.解：(1)矩形 ABCD 中，ZC = 90, CD = AB=8,根據(jù)勾股定理得，BD = /根+CD? = V空+群=10,過(guò)點(diǎn)M作MN XBC于N,則MN / CD,所以，ABNMsBCD,MN BM.一 一二MN 10 TOC o 1-5 h z 即,S10“口4解得 MN 二二(10 一x),2所以，4MBP 的面積為 y=.BP7MN=-x7(10-x)=x2+4x HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 22 55即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y二一三x2+4x;J(2)P是線段BC上的一點(diǎn)(P不與B重合)，BC=6,0 x6.如圖，RtAABC 中，/ B=90 , AB= 12cm, BC= 10cm,點(diǎn) D 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB 以 2cm/s 的速度 向點(diǎn)B移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B處停止運(yùn)動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中始終保持DE / BC, DF /AC（點(diǎn)E、F分別在AC、BC上）.求經(jīng)過(guò)t時(shí)四邊形 DFCE的面積y.解：運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t,則 AD=2tcm, DB=(12-2t)cm.DE / BC