知識點29等腰三角形與等邊三角形2017解答題

1、三、解答題（2017四川內(nèi)江，18, 9分）如圖，AD平分/ BAC, AD BD,垂足為點 D, DE/ AC. 求證： BDE是等腰三角形.思路分析：如圖，直接利用平行線的性質(zhì)得出/1 = /3,進而利用角平分線的定義結(jié)合互余的性質(zhì)得出/B=/ BDE,即可得出答案. AD平分/ BAC, .1 = 7 2.2 = 7 3.AD BD,/ 2+/B=90, Z 3+Z BDE= 90.B= / BDE. BDE是等腰三角形.（2017江蘇連云港，22, 10分）如圖，已知等腰三角形 ABC中，AB = AC ,點D , E分別在邊 AB、AC上，且AD= AE ,連接BE、CD , 交于點

2、F .（1）判斷/ABE與/ACD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求證：過點 A、F的直線垂直平分線段 BC .思路分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定 SAS可證明 AB巨 ACD,然后證/ ABE = /ACD , （2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得 AB=AC,從而得 ZABC-ZACB , = / ABE / ACD，/ FBC / FCB，F(xiàn)B - FC ,得點 A、F 均在線段BC的垂直平分線上，即可證出結(jié)論，解：（1） / ABE =/ACD .因為 AB = AC, /BAE=/CAD, AE = AD ,所以 ABEACD .所以 Z ABE -ZACD .(2)因為 AB - AC ,所

3、以 /ABC /ACB.由(1)可知 Z ABE =/ACD ,所以 /FBC = /FCB ,所以 FB = FC .又因為AB = AC,所以點A、F均在線段BC的垂直平分線上，即直線AF垂直平分線段BC .3.18. (2017呼和浩特)(6分)如圖，等腰三角形 ABC中，BD, CE分別是兩腰上的中線.(1)求證：BD= CEA的距離與底(2)設(shè)BD與CE相交于點O,點M, N分別為線段BO和CO的中點.當(dāng)/ ABC的重心到頂點 邊長相等時，判斷四邊形DEMN的形狀，無需說明理由.(1)證明：AB、AC為等腰三角形的兩腰AB= AC.BD, CE分別是兩腰上的中線AE= AD在 AEC

4、A ADB 中AE= AD/ A= / AAC= AB. AE ADBBD= CE(2)四邊形DEMN為正方形4. 26. (2017寧夏，9分在邊長為2的等邊三角形 ABC中，P是BC邊上任意一點，過點 P分別作 AC, M、N分別為垂足.(1)求證：不論點 P在BC邊的何處時都有 PM+PN的長恰好等于三角形 ABC一邊上的高；(2)當(dāng)BP的長為何值時，四邊形 AMPN的面積最大，并求出最大值.PMXAB, PN思路分析：(1)連結(jié)A巳將 ABC分割成兩個三角形，結(jié)合等邊三角形的三條邊相等,利用面積公式，即可求證結(jié)論；(2)設(shè)BP的長為x,利用面積的和差關(guān)系，將四邊形AMPN的面積S用含x

5、的代數(shù)式表示，將幾何問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)式求最值問題，在此即是的二次函數(shù)，運用配方法求出最值.S關(guān)于x(1)解：連結(jié)AP, ABC是等邊三角形,故不妨設(shè) AB=BC=AC=a ,其中BC邊上的高記作h, PM LAB, PNXAC,1 一 . Sa ABC =Sa ABP+Sa ACP= AB MP 2-11 .又 Saabc = BC h ah , 221 -11AC PN 1a(PM PN),PM+PN =h,即不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形 ABC一邊上的高;(2)解：設(shè) BP=x,在 RtBNP 中，/ BMP=90,/ B=60, BP=x,BM=BP cos60

6、 =1 x,2MP=BP sin60 =言 SaBMP= BM MP=- PC=2-x,同理可得:S PNC=(2-x)2；8S 四邊形 AMPN= SaABC-SaBMP -SPNC一 %3 2 .3232 3.33 x -(2- x)2= (x-1)2+.一 ,. _ 3. 3當(dāng)BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，是4（2017 北京，19, 5 分）如圖，在 ABC中，AB= AC, Z A = 36, BD 平分/ ABC交 AC于點 D.求證：AD= BC.點F ,使得BE BF .（1）求證：四邊形 BDEF為平行四邊形；DHF,利用勾股定理求解思路分析：由等腰三角形性質(zhì)及三角形

7、內(nèi)角和定理，可求出/ABD=/C= BDC再據(jù)等角對等邊，及等量代換即可求解.解： AB= AQ Z A=36. .Z ABC= / C=工（180 -/A）= 1 X （18036 ）= 72 ,又 BD 平分/ ABC,/ ABD= / 22DBC= 1 Z ABC= 1 X 72= 36, / BDC= Z A+Z ABD= 36 +36 =72,/ C= /BDC, /A=/ABD, . AD= BD22= BC.（2017黑龍江大慶，24, 7分）如圖，以BC為底邊的等腰 ABC,點D,E,G分別在（2）當(dāng) C 45, BD 2時，求D,F兩點間的距離思路分析：（1）證明兩組對比分別

8、平行（2）構(gòu)造直角4解：（1） EG/BC,EF/BD,/ AEG=/ABC, AB=AC,/ ABC=/ACB=/AGF,又BE=BF,/F=/FEB=/AEG=/AGE,，BF/ AC, ED/ AC；, z. BF/ DE, 四邊形 BDEF為平行四邊形.（2）如圖，作FHL DE交DE延長線于點 H,則四邊形FBEH正方形，F(xiàn)F+EF+EB/ACB=45 ,. ABC和 EDB都是等腰直角三角形，: BD=2,BE=2X sin45 = E分別是OA、OB、AB的中點，CE/ OD, OC/I DE.四邊形ODEC是平行四邊形.OC= DE.PC= DE同理可證 CE= DQ, / B

9、DQ= 90 . CE/ OD, OC/ DE,./ ACE= / AOD= / EDB./ PCE= / EDQ.APCEAEDQ.EP= EQ.(3)連接OG. OPA等腰直角三角形，點 C是OA的中點，OC= PC, / PCA= 90 . PC垂直平分OA.點 G 在 PC上,AG= OG.同理可證點 G在QC上，BG= OG./ PCA= / PCA / PCA= / PCA. ABG為等邊三角形，/ AGB= 60 .四邊形的內(nèi)角和為 360。，/AOB的度數(shù)=1 (四邊形的內(nèi)角和一/ AGB的度數(shù))=1 (360 60 ) =150228. 21.（本題滿分9分）（2017山東萊

10、蕪，21, 9分） 己知 ABC與 DEC是兩個大小不同的等腰直角三角形.（1）如圖所示，連接（2）如圖所示，連接 位置關(guān)系，并說明理由.AE、DB.試判斷線段 AE和DB的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由;90到DF,連接AF,試判斷線段 DE和AF的數(shù)量和DB,將線段DB繞D點順時針旋轉(zhuǎn)（第21題圖）EB* ADF即可得解.思路分析：（1）通過證明 RtAACERtBCD即可解決；（2）通過證明4 解：（1） AE= DB, AE DB.理由：由題意可知，CA= CB, C曰CD, /AC巳/BCD= 90, RtA ACE RtA BCDAE= DB.延長DB交AE于點M, RtA AC RtA BCD/ AEG= / BDC又 / AEO / EAC= 90,/ BDC+ / EAC= 90,在 AMD 中，Z AMD=180 - 90 = 90 , . . AE, DB.(2) DE= AF, DEAF.理由：設(shè) ED與AF相交于點N,由題意可知，BE= AD. / EBD= /