高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：5.1平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示21

1、第五章 平面向量本章知識結(jié)構(gòu)圖第一節(jié)平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示考綱解讀1、了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念及兩個(gè)向量相等的含義與向量的幾何表示.2、掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.3、了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，理解用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.命題趨勢探究從內(nèi)容上看，高考重點(diǎn)考查向量的基本概念及運(yùn)算，尤其是向量數(shù)量積運(yùn)算及其幾何表示，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算也是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，進(jìn)行垂直、平行關(guān)系的判定及夾角

2、的求解，從形式上看，既有選擇題，也有填空題，從能力上看，側(cè)重于對學(xué)生運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合能力進(jìn)行考查.平面向量的綜合問題時(shí)新熱點(diǎn)題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主.預(yù)測2019年高考本專題主要考查形式及內(nèi)容如下：（1）一道選擇題或填空題，重點(diǎn)考查平行關(guān)系的判定，屬于中低檔題目.（2）一道解答題，可能以三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何為載體，考查向量的運(yùn)算和性質(zhì).知識點(diǎn)精講一、向量的基本概念向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如（其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)）.注：談到向量必須說明其方向與大小.向量的大小，

3、有就是向量的長度（或稱模），記作或.2.零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量零向量：長度為零的向量，記為，其方向是不確定的.單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量.當(dāng)時(shí)，向量是與向量共線（平行）的單位向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因?yàn)槿魏纹叫邢蛄拷?jīng)過平移后，總可以移到同一條直線上.規(guī)定零向量與任何向量平行（共線），即.注：數(shù)學(xué)中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何中平行不可以重合；， ，不一定有，因?yàn)榭赡転?向量的線性運(yùn)算向量的加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做

4、向量的加法，已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，則向量叫做向量與的和（或和向量），即. 向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則.如圖5-1所示，向量=.注：若，為不共線向量，加法的三角形法則和平行四邊形法則都適用；當(dāng)，共線時(shí)，則只能用三角形法則求和向量，向量加法的本質(zhì)是首尾相接.三角形法則可推廣至若干向量的和.如圖5-2所示.圖 5-22向量的減法（1）相反向量.與長度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作-.規(guī)定：零向量的相反向量仍為零向量；-（-）=,+(-)=;若，互為相反向量，則=-，=-，+=.（2）向量的減法.向量與的相反向量的和叫做向量與的差或差向量，即-=

5、+（-）.向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖5-3所示，則向量.注：向量加法的三角形法則是兩向量首尾相連，和向量是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)；向量減法的三角形法則是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到一起，差向量是連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量的終點(diǎn)的向量.3.向量的數(shù)乘（1）實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作： ，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向不確定；時(shí)，方向不確定.（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則 ；.三、平面向量基本定理和性質(zhì)共線向量基本定理如果，則；反

6、之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為.叫做向量關(guān)于基底的分解式.注：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的. 叫做，的一個(gè)線性組合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).推論1：若，則.推論2：若，則.DA圖5-4CB線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖5-4所示，在ABC中

7、，若點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)，且（），則向量.在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握. 三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使,其中，O為平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.圖5-5DACBA、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得;存在唯一的實(shí)數(shù)，使得;存在唯一的實(shí)數(shù)，使得;存在,使得.中線向量定理如圖5-5所示，在ABC中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量,反之亦正確. 四、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那

8、么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對（）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（）.(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有向量（）向量點(diǎn)（）.（3）設(shè)，則，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.若=（），為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).（4）設(shè)A，B，則=,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).五、向量的平行設(shè)，.的充要條件是.除了坐標(biāo)表示外，下面兩種表達(dá)也經(jīng)常使用：當(dāng)時(shí)，可表示為；當(dāng)時(shí)，可表示為，即對應(yīng)坐標(biāo)成比例.題型歸納及思路提示題型72 平面向量的基

9、本概念思路提示準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長度相等，就是相等向量.共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無關(guān).例5.1已知下列三個(gè)命題：有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量與向量共線，則四點(diǎn)共線；如果， ，那么.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）.A0 B .1 C.2 D.3評注 本題容易忽視零向量這一特殊向量，認(rèn)為命題是正確的.變式1給出下列六個(gè)命題：兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同；若，則；若，則ABCD為平行四邊形；在平行四邊形ABCD中，一定有；若， ，則；

10、若， ，則.其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）.A.2 B.3 C.4 D.5題型73平面向量的線性表示1線段定比分點(diǎn)的向量形式在向量線性表示（運(yùn)算）中的應(yīng)用例5.2設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（ ）.A B. C. D. 變式1已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且,那么（ ）.A B. C. D. 變式2如圖5-7所示，在平行四邊形ABCD中，,M為BC的中點(diǎn)，則（用表示）. 例5.3在ABC中，若點(diǎn)D滿足則=（ ）A. B. C. D. 評注 若則,利用此結(jié)論，本題可直接的到正確選項(xiàng).變式1（2012大綱全國理6改編）在ABC中，AB邊上的高為CD，若，則（用表示）. 變式2

11、 在ABC中，點(diǎn)D在邊上，平分A，若，則等于（ ） 變式3 設(shè)D,E,F分別是ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且,則與 ( ).A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直變式4 如圖5-10所示，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若,其中，則.變式5 在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若，則=（ ） 2向量線性運(yùn)算的幾何意義在解題中的應(yīng)用例5.4若非零向量滿足，則（ ） 變式1 已知向量，滿足對任意，恒有，則（ ）A. B. C. D. 變式2 已知在ABC中，若對任意，則ABC一定為 （

12、）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上都不對題型74 向量共線的運(yùn)用思路提示要證明A，B,C三點(diǎn)共線，只需證明與共線，即證=（）.若已知A,B,C三點(diǎn)共線，則必有與共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得=.例5.5對于非零向量，“”是“”的（ ）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件變式1 平面向量共線的充要條件是（ ）.A. 方向相同 B. 兩向量中至少有一個(gè)為零向量C. ， D.存在不全為零的實(shí)數(shù)，變式2（2017全國3理12）在矩形中，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上若，則的最大值為（ ）.A3BC.D2變式3 已知A（1,3），B（4，

13、-1），則與向量同方向的單位向量為 （ ）A. B. C. D. 例5.6設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線.如果，求證：A，C，D三點(diǎn)共線；如果，且A，C，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.分析 三點(diǎn)共線問題可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題解決.例如若A,B,C三點(diǎn)共線，則或.變式1 已知向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（ ）.A.A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D題型75 平面向量基本定理及應(yīng)用平面向量的基本定理思路提示平面向量基本定理是指同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合，這就為向量的坐標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ)，在向量運(yùn)算及證明有關(guān)問題方面有廣泛的應(yīng)用.例5.7 已知向量滿足，則

14、的值為_.例5.8如圖5-12所示，在平行四邊形ABCD中，M和N分別為DC和BC的中點(diǎn)，已知，試用，表示和.評注 注意轉(zhuǎn)化思想在本題中的應(yīng)用，通過本題可以發(fā)現(xiàn)，只要是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都可以作為一組基底，而恰當(dāng)?shù)剡x取平面的一組基底，往往可以提高解題效率.三點(diǎn)共線定理及其應(yīng)用例5.9點(diǎn)P在AB上，求證：且（，O是AB外一點(diǎn)）.評注 本題考查平面向量基本定理即對共線向量的理解，所證明的結(jié)論即為三點(diǎn)共線定理.應(yīng)該廣泛應(yīng)用本題所得到的結(jié)論進(jìn)行解題.三點(diǎn)共線定理： A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使,其中，O為AB外一點(diǎn).變式1 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3,1），B

15、（-1,3），若點(diǎn)C滿足,其中,，則點(diǎn)C的軌跡方程為 （ ） 變式2 已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為.若點(diǎn)，且P,A,B三點(diǎn)共線，則=_.變式3 如圖5-14所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M和N，若，則的值為_.例5.10給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為，點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓弧上運(yùn)動.若，其中，則的最大值是_.評注 本題解法一利用三點(diǎn)共線的向量形式，巧妙地利用轉(zhuǎn)化思想化曲為直，解法之妙值得品味.變式1 如圖5-16所示，在扇形OAB中，AOB=，C為弧AB上一個(gè)動點(diǎn)，若，則的取值范圍是_.例5.11如圖5-17所示，在平行四邊形ABC

16、D中，E,F分別是BC，CD的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)H，設(shè)，則等于 （ ） 評注 應(yīng)熟練掌握平面向量解決三點(diǎn)共線問題的基本方法，即A,B,C三點(diǎn)共線有且只有一組實(shí)數(shù)，使得，且.O為平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn).變式1 如圖5-19所示，設(shè)是OAB的重心，過G的直線與OA，OB分別交于P和Q，已知，求證：.題型76 向量與三角形的四心思路提示用向量有關(guān)知識表示三角形的內(nèi)心、外心、垂心、重心的位置實(shí)質(zhì)是描述三角形的角平分線、垂直平分線、高及中線.（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上. P為ABC的內(nèi)心.（2）外心：P為ABC的外心.（3）垂心：P為ABC的垂心.（4）重心：P為ABC的重心.一、內(nèi)心

17、例5.12 O為ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足,則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）.A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心變式 1 已知非零向量與滿足=0,且，則ABC為 （ ）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形二、重心例5.13 若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，,則O是ABC的 （ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心變式1 在ABC中，O為平面上任意一點(diǎn)，證明：G為ABC的重心.三、垂心例5.14 求證：ABC中，O為ABC的垂心.變式1 O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，（）則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC（ ）.A. 內(nèi)心

18、 B. 外心 C. 重心 D. 垂心四、外心例5.15 求證：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，則（歐拉定理的引理）.評注 由三角形重心的性質(zhì)定理可以很快地得到歐拉定理：對于ABC的重心G，再由上述引理，所以，即三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線（歐拉線），且重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍.變式1 已知點(diǎn)O，N,P在ABC所在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的 （ ）A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心題型77 平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算思路提示 向量的坐標(biāo)是向量的代數(shù)表示，每一種向量運(yùn)算都對應(yīng)著其坐標(biāo)運(yùn)算，因此解決向量的相關(guān)問題可以通過

19、向量的代數(shù)運(yùn)算去進(jìn)行.例 5.16 已知平面向量，向量,其中和是不同時(shí)為零的實(shí)數(shù).若，求此時(shí)和滿足的函數(shù)關(guān)系式.）.變式1 平面內(nèi)給定3個(gè)向量，回答下列問題.（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)；（4）設(shè)滿足，且=1，求.題型78 向量共線（平行）的坐標(biāo)表示思路提示向量平行（共線）問題，可以轉(zhuǎn)化為向量的幾何表示，如果涉及到坐標(biāo),則有其坐標(biāo)表示形式如下：平面向量，若，則=0，（或，）.但要問同向或反向還需求.例 5.17 已知兩個(gè)向量，當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，向量與平行？評注 本題從兩向量平行的線性表示與坐標(biāo)表示形式兩個(gè)角度來解決問題，兩種方法的本質(zhì)是一樣的，在研究兩向量平行時(shí)，若向量的坐標(biāo)的坐標(biāo)已知，用解法二更簡單一些.變式1 設(shè)向量滿足，且的方向相反，則的坐標(biāo)為_.例5.18 已知向量，且A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（ ） 變式1 設(shè)，且，則銳角為_.變式2 ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分